1、天津学而思 page 1数论 50 题1 由 1，3 ，4，5，7，8 这六个数字所组成的六位数中，能被 11 整除的最大的数是多少？【分析】 各位数字和为 1+3+4+5+7+8=28所以偶数位和奇数位上数字和均为 14为了使得该数最大，首位必须是 8，第 2 位是 7，14-8=6那么第 3 位一定是 5，第 5 位为 1该数最大为 875413。2 请用 1，2，5，7，8，9 这六个数字（每个数字至多用一次）来组成一个五位数，使得它能被 75 整除，并求出这样的五位数有几个？【分析】 75=325若被 3 整除，则各位数字和是 3 的倍数，1+2+5+7+8+9=32所以应该去掉一个被
2、 3 除余 2 的，因此要么去掉 2 要么去掉 8先任给一个去掉 8 的，17925 即满足要求1） 若去掉 8则末 2 位要么是 25 要么是 75，前 3 位则任意排，有 3！=6 种排法因此若去掉 8 则有 2*6=12 个满足要求的数2） 若去掉 2则末 2 位只能是 75，前 3 位任意排，有 6 种排法所以有 6 个满足要求综上所述，满足要求的五位数有 18 个。3 已知道六位数 20279 是 13 的倍数，求中的数字是几？【分析】 根据被 13 整除的判别方法，用末三位减去前面的部分得到一个两位数，十位是 7，个位是（9-） ，它应该是 13 的倍数，因为 13|78,所以 9
3、-=8中的数字是 14 某自然数，它可以表示成 9 个连续自然数的和，又可以表示成 10 个连续自然数的和，还可以表示成 11 个连续自然数的和，那么符合以上条件的最小自然数是？（2005 全国小学数学奥赛）【分析】 可以表示成连续 9 个自然数的和说明该数能被 9 整除，可以表示成连续 10 个自然数的和说明该数能被5 整除，可表示成连续 11 个自然数的和说明该数能被 11 整除因此该数是9,5,11=495 ，因此符合条件的最小自然数是 495。5 一次考试中，某班同学有 考了优秀， 考了良好， 考了及格，剩下的人不及格，已知该班同学的人数不超13217过 50，求有多少人不及格？【分析
4、】 乍一看这应该是一个分数应用题，但实际上用到的却是数论的知识，由于人数必须是整数，所以该班同学的人数必须同时是 2，3，7 的倍数，也就是 42 的倍数，又因为人数不超过 50，所以只能是 42 人，因此不及格的人数为（1- - - ）42=1 人16 （1）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个能被 4 整除？（2）从 1 到 3998 这 3998 个自然数中，有多少个数的各位数字之和能被 4 整除？（第14届迎春杯考题）【分析】 （1）3998/4=999.6 所以 1-3998 中有 996 个能被 4 整除的天津学而思 page 2（2）考虑数字和，如果一个一个找
5、规律我们会发现规律是不存在的因此我们考虑分组的方法我们补充2个数，0000和3999，此外所有的一位两位三位数都在前面加上0补足4位然后对这4000个数做如下分组（0000，1000，2000，3000）（0001，1001，2001，3001）（0002，1002，2002，3002）.(0999，1999，2999，3999)共1000组，容易发现每一组恰好有个数字和是4的倍数，因此共有1000个数字和是4的倍数但注意到我们补充了一个0000进去。所以原来的3998个数里，有999个数字和是4的倍数。7 是否可在下列各数之间添加加号或者减号，使得等式成立？1 2 3 4 5 6 7 8 9
6、 10=36若可以，请写出符合条件的等式；若不可以，请说明理由。【分析】 无论是加还是减，对奇偶性没有影响，如果全是加号的话，那么算出的结果是 55 是个奇数，因此某些加号变成减号后所得结果仍然是奇数，不可能是 36，因此不可能使等式成立。8 黑板上写着两个数 1 和 2，按下列规则增写新数，若黑板有两个数 a 和 b，则增写 abab 这个数，比如可增写 5（因为 12125）增写 11（因为 1515 11 ） ，一直写下去，问能否得到 2008，若不能，说明理由，若能则说出最少需要写几次得到？（2001 年同方杯试题改编）【分析】 开始是一奇数一个偶数，根据规则变成的新数是奇数偶数+奇数
7、+偶数，仍然是一个奇数，此时我们有2 个奇数，一个偶数，如果还用奇数和偶数来进行运算的话我们新添的仍然是奇数，若用 2 个奇数进行运算，则新添的数是奇数奇数+ 奇数+ 奇数，仍然是奇数。因此无论我们怎么算都只能增写奇数，不可能写出 2008 这个偶数。9 从 1，2 ，3，4，5，6，7，8，9 中任意选出三个数，使它们的和为偶数，则共有几种不同的选法？【分析】 3 个数的和是偶数有 2 种可能1） 三个都是偶数，从2，4，6，8 里选3个有4种可能2） 两个奇数一个偶数，从1，3 ，5，7 ，9里选2个有10种可能，从2 ，4，6，8 里选一个有4种可能，根据乘法原理有40种选法综上所述，共
8、有44种不同的选法。10 已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这 3 个质数的乘积是多少？【分析】 最小的合数是 4，其平方为 16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这3个质数中必然有 2那么其余2个的和是14只能一个是3一个是11因此这3个质数的乘积是23 11=6611 有 1997 个奇数，它们的和等于它们的乘积。其中有三个数不是 1，而是三个不同的质数。那么，这样的三个质数是 、 、 【分析】 设这 3 个不同的质数分别是 a，b，c根据题意 abc=1994+a+b+c这3个质数不可能都很大，假如最小的是11的话，那么11*13*17=2431,太大了天津学而思 pag
9、e 3所以a，b，c中一定有一个是3，5，7中的若a=3，那么3bc=1997+b+c,c=(1997+b)/(3b-1)试验一下发现b=5可以使c是整数，c=143，但143不是质数，b=7，11，13都不行那么我们不妨再让a=5，那么5bc=1999+b+cc=(1999+b)/(5b-1) b=7时 算得c=59，是质数，符合要求因此a=5，b=7，c=59为满足条件的三个质数。12 利用约数个数公式1）分别求12，35和420的约数个数2）分别求4，6，和24的约数个数问题1：对于1）的结果，你是否发现了什么规律？问题2：对于2）该规律是否仍然成立？问题3：该规律成立的条件是什么，并证
10、明你的结论【分析】 1）d(12)=6 d(35)=4 d(420)=24规律：1235=420d(12)d(35)=d(420)2) d(4)=3 d(6)=4 d(24)=8,规律不再成立3） 规律是若(a,b)=1，则d(a)d(b)=d(ab)证明用约数个数公式即可13 一个数的完全平方有 39 个约数，求该数的约数个数是多少？【分析】 设该数为 p1a1p2a2pnan那么它的平方就是p1(2a1)p2(2a2)pn(2an)因此(2a1+1)(2a2+1)(2an+1)=39由于39=313=139（1）所以2a1+1=3,2a2+1=13a1=1,a2=6故该数的约数个数为(1+
11、1)(6+1)=14（2）或者：2a1+1=39a1=19,那么19+1=20个14 从 1/2 1/4 1/6 1/8 1/10 1/12 中去掉 2 个分数，可使得剩下 4 个分数之和为 1，问去掉哪两个？（希望杯试题）【分析】 单纯试的方法当然可以，但本题如果我们对数论知识理解透彻并应用上的话不需要任何计算就可以“看出”去掉的是 1/8 和 1/10理由如下1）因为分母里8是独一无二的有3个质因子2的，所以必须去掉2）因为10是分母里独一无二的含有质因子5的，所以也必须去掉15 甲乙两数最小公倍数是 60，最大公约数是 6，已知甲数是 12，求乙数。【分析】 直接用公式a,b(a,b)=
12、ab，代入即得乙数=3016 已知甲乙两数的和加上它们的最大公约数恰好等于它们的最小公倍数，求它们的最小公倍数除以它们的最大公约数所得的商是几？天津学而思 page 4【分析】 设甲数为 a，乙数为 b，并设 a=（a,b）a，b=(a,b)b,则a,b=(a,b)ab根据题意得 (a,b)ab =（a,b ）a+(a,b)b+（a,b）两边同时约掉(a,b)得到 ab =a+b+1所以a b-a-b+1=2 (a-1)(b-1)=2 得a=3 b =2最小公倍数除以最大公约数得到的是ab =32=617 三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的连续三个正整数的乘积称为“美妙数” ，问所
13、有的“美妙数”的最大公约数是多少？（第九届华杯赛）【分析】 这样的数有 345 8910 151617 242526容易发现它们的最大公约数是345=60下面给出证明，首先任意连续3个正整数中必然有一个是3的倍数，所以美妙数一定能被3整除，其次，任何一个完全平方数要么是4的倍数要么被8除余1，所以美妙数一定也能被4整除最后，任何一个完全平方数的末位数字都是0，1，4，5，6，9，无论是哪一个，它们自己加上前后各一个数中必然有一个是0或5，因此美妙数一定也是5的倍数综上所述，所有美妙数的最大公约数是6018 10 个非零自然数的和是 1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？（2002 我爱数
14、学少年夏令营）【分析】 设这 10 个非零自然数分别是 a1,a2,a3,.a10,它们的最大公约数是 a那么a1，a2，,a10都是a的倍数因此1001是a的倍数，1001=7*11*13a是1001的约数，显然a不能取1001，若a取143，则a1+a2+a10至少是1430也不可能因此a最大是7*13=9119 一个偶数，它的约数里最大的两个之和是 120，求该数是多少？【分析】 设这个数是 2a那么它最大的两个约数显然是 2a 和 a2a+a=120解得 a=40所以 2a=24080所以这个数是80。20 已知一个苹果重 千克，一个梨重 千克，且苹果和梨的总重量相同，求最少有几个苹果
15、和几个梨？415524【分析】 本题实质上就是一个求分数得最小公倍数的问题，这类问题有固定的解法，一般地，对于两个分数，它们的最小公倍数是 ，这里a,c 代表 a,b 的最小公倍数，(b,d)代表 b,d 的最大公约数。和badcd)(b,ca解法一：根据上述分析本题实质上是求 和 的最小公倍数4152天津学而思 page 5由上面给出的结论知道这个数是 =），（ ， 241530所以苹果和梨的总重量都是 千克30因此苹果个数是 =25 个2415梨的个数是 =32 个。解法二：设苹果有 x 个，梨有 y 个所以 x= y，推出 x:y=25:321542故 x 最小是 25，y 最小是 32
16、。x= 25 30所以总重量是 千克。21 一个正整数加上 32 和 132 后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？【分析】 设该正整数为 a，根据题意得a+32=m2 a+132=n2两式相减得(n+m)(n-m)=100,注意到n+m和n-m的奇偶性相同所以n+m=50,n-m=2 解得n=26 m=24因此a=2626-132=544所以这个正整数是54422 一间屋子里有编号为 1-100 的 100 盏灯，全都是亮的，有编号为 1-100 的 100 名同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名同学把所有的灯都拉了一遍，第二名同学拉了所有号码是 2 的倍数的灯，第 3 名同学拉了所有号
17、码是 3 的倍数的灯第 100 名同学拉了所有号码是 100 的倍数的灯，问最后有几盏灯是灭的？【分析】 要考虑灯是亮的还是灭的，关键看灯被拉了奇数次还是偶数次，因为原来都亮，要我们求灭的灯的个数，那么也就是求那些被拉了奇数次的灯有几个注意拉灯的规则我们不难发现，每盏灯被拉的次数恰好是它的约数的个数又因为约数个数是奇数等价于该数是完全平方数，因为1-100中的完全平方数有10个因此最后有10盏灯是灭的。23 一间屋子里有 100 盏灯，全都是亮的，有编号为 1-100 的 100 名同学依次进入房间拉灯，规则如下：第一名同学先拉 1 号灯，然后隔一个拉一个；第 2 名同学先拉 1 号灯，然后隔
18、两个拉一个；第 3 名同学先拉 1 号灯，然后隔 3 个拉一个；第 100 名同学先拉 1 号灯，然后隔 100 个拉一个，问最后有几盏灯是灭的？【分析】 我们要求的仍然是被拉了奇数次的灯有几个注意到规则已经产生变化，方便起见我们先举一个简单的例子个大家看1号同学拉的都是被2除余1的2号同学拉的都是被3除余1的天津学而思 page 6100号同学拉的是被100除余1的我们来看7号灯，7被谁除余1呢，那么就要看7-1能被谁整除了，注意到6有4个约数，1，2，3，6，但被1除余1的并没被拉过，因此7号灯被3个同学拉过（2号，3号，6号）由此可见，n号灯被拉的次数等于（n-1）的约数个数-1（特别的
19、，1号灯被拉了100次）我们要求的是被拉奇数次的，那么就要使n-1的约数个数是偶数，即不是完全平方数0-99中的完全平方数有10个，所以不是完全平方数的就有90个，因此最后有90盏灯是灭的。24 已知 a,b,c 都是整数，且（a,b,c）=1,满足 ab+bc=ac,求证 a-b 是完全平方数【分析】 证明：ab+bc=ac，变形得 ac-ab-bc=0,即 ac-ab-bc+b2=b2因此(a-b)(c-b)=b2任取a-b的一个质因子q（若无质因子那么a-b=1，是完全平方数）那么b的平方就能被q整除，由于q是质数，所以b就能被q整除，又因为a-b可被q整除那么a也能被q整除。若c-b也
20、有质因子q，那么c就也能被q整除了，和（a，b，c）=1矛盾所以c-b里无因子q由此可知b2里所含的质因子q都在a-b中，必然是偶数个（完全平方数的每个质因子都是偶数个）由q的任意性可知，a-b里每个质因子的指数都是偶数，因此a-b是完全平方数。25 已知 2008 被一些自然数去除，得到的余数都是 10这些自然数共有几个？（15 届迎春杯）【分析】 2008 被这样的自然数除余数是 10，那么 1998 就是这些自然数的倍数，换句话说我们要求1998的约数有几个，但注意到除数比余数大，所以我们要求的是1998的约数中那些大于10的，枚举显然不可取，我们考虑用约数个数公式1998=2*33*3
21、7,d(1998)=(1+1)*(3+1)(1+1)=16其中小于10的约数有1，2，3，6，9去掉它们还有11个因此这样的自然数共有11个。26 有一串数：1，3，8，22，60，164，448，其中第一个数是 1，第二个数是 3，从第三个数起，每个数恰好是前两个数之和的 2 倍。那么在这串数中，第 2000 个数除以 9 的余数是 【分析】 把这串数除以 9 的余数列出来如下1，3，8，4，6，2，7，0，5，1，3，.发现恰好每9个一循环2000被9除余数是2，所以第2000个和第2个是一样的，除以9的余数是327 用自然数 n 去除 63，91，129 所得余数之和是 25，求 n【分
22、析】 方便起见我们把 3 次除法的商和余数都设出来63n=ar191n=br2129n=cr3r1+r2+r3=25根据带余除法，(a+b+c)n+(r1+r2+r3)=63+91+129即(a+b+c)n=258=2*3*43试验后易知n=43天津学而思 page 728 一个小于 200 的自然数，被 7 除余 2，被 8 除余 3，被 9 除余 1，这个数是多少？【分析】 注意到 7-2=8-3=5也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的倍数因此这个数只可能是56-5 56*2-5 56*3-5经检验发现只有56*3-5=163被9除余1符合要求，因此该数为16329 一堆糖果
23、，如果每 2 块分一堆剩 1 个，每 3 块分一堆剩 1 个.每 10 个分一堆也剩 1 个，且这堆糖果的个数在 99-5000 之间，求这堆糖果的个数？【分析】 糖果数减掉 1 的话就能同时被 2，3，4，10 整除1,2,3,10=2520因此糖果数被2520除余1，在题目要求的范围里这样的数只有2521，因此这堆糖果的个数是2521。30 若有一数介于 300 与 400 之间，以 3 除剩 1，以 8 除剩 5，以 11 除剩 4。问此数为何？【分析】 下面介绍一种通用的方法第一步：先找一个被3除余1，被8和11同时整除的数，容易找到是88第二步：找一个被8除余1，被3和11同时整除的
24、数，容易找到是33第三步：找一个被11除余1，被3和8同时整除的数，容易找到是144最后一步，算出该数1*88+5*33+4*144=829但该数不在300-400之间怎么办呢？我们只需要减去3,8,11=264那么该数被3，8，11除的余数都不会改变，829-264-264=301因此所求数为301，经检验的确符合要求31 已知三个连续自然数，它们都小于 2002，其中最小的一个自然数能被 13 整除，中间的一个自然数能被 15 整除，最大的一个自然数能被 17 整除。那么，最小的一个自然数是多少？（第18届迎春杯）【分析】 假设中间一个是 a，那么 a 被 13 除余 1，被 15 整除，
25、被 17 除余 16先满足前2个条件，被15整除且被13除余1因为15除以13余2，2*7=14除以13余1，所以该数为15*7=105如果加上13，15=195仍然符合前2条，因此该数形如105+195n我们只需要满足该数被17除余16即可105+195n=(102+187n)+(3+8n)所以8n+3被17除余16即可，即8n被17除余13，n=8即可满足要求因此a=105+195*8=1665所以最小一个自然数是166432 红、黄、白和蓝色卡片各 1 张，每张上写有 1 个数字，小明将这 4 张卡片如下图放置，使它们构成 1 个四位数，并计算这个四位数与它的各位数字之和的 10 倍的差
26、。结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是 1998。问：红、黄、蓝 3 张卡片上各是什么数字？【分析】 设红、黄、白、蓝色卡片上的数字分别是 a3，a2，a1，a0，则这个四位数可以写成 1000a3+100a2+10a1+a0，它的各位数字之和的 10 倍是10（a3+a2+a1+a0）=10a3+10a2+10a1+10a0，这个四位数与它的各位数字之和的 10 倍的差是990a3+90a2-9a0=1998，110a3+10a2-a0=222。天津学而思 page 8比较上式等号两边个位、十位和百位，可得a0=8，a2=1，a3=2。所以红色卡片上是 2，黄色卡片上是 1，
27、蓝色卡片上是 8。33 筐里共有 96 个苹果，如果不一次全拿出，也不一个个地拿；要求每次拿出的个数同样多，拿完时又正好不多不少，有_种不同的拿法.【分析】 按题目的规定，每次拿的个数都是 96 的约数(除 96 和 1 之外)，这样问题转化为求 96 的约数个数.将 96分解质因数，得 96=222223.除去 96 和 1 之外，96 的约数有 10 个：答：有 10 种不同拿法. 2；3；4；6；8；12；16；24；32；48.34 十二张扑克牌，2 点、6 点、10 点各四张.你能从中选出七张牌，使上面点数之和等于 52 吗?说明理由.【分析】 每张牌的点数除以 4，都余 2，所以任
28、取七张，点数之和被 4 除都余 2，而 52 被 4 整除，所以不能使点数之和等于 52。35 现有三个自然数，它们的和是 1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？【分析】 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是 1111”入手分析。三个数的和是 1111，它们的公约数一定是 1111 的约数。因为 1111=10111，它的约数只能是 1，11，101 和 1111，由于三个自然数的和是 1111，所以三个自然数都小于 1111，1111 不可能是三个自然数的公约数，而 101 是可能的，比如取三个数为 101，10
29、1 和 909。所以所求数是 101。36 如果 N 是 1，2，3，1998，1999，2000 的最小公倍数，那么 N 等于多少个 2 与 1 个奇数的积？【分析】 因为 =1024， =20482000，每一个不大于 2000 的自然数表示为质因数相乘，其中 2 的个数不多01于 10 个，而 1024= ，所以，N 等于 10 个 2 与某个奇数的积。37 求这样的三位数，它除以 11 所得的余数等于它的三个数字的平方和。【分析】 三位数只有 900 个，可用枚举法解决，枚举时可先估计有关量的范围，以缩小讨论范围，减少计算量。设这个三位数的百位、十位、个位的数字分别为 x，y，z。由于
30、任何数除以 11 所得余数都不大于 10，所以 x2+y2+z210，从而 1x3，0y3，0z3。所求三位数必在以下数中：100，101，102，103，110，111，112，120，121，122，130，200，201，202，211，212，220，221，300，301，310。不难验证只有 100，101 两个数符合要求。38 在 1-600 中，恰好有 3 个约数的数有几个？【分析】 我们只需要注意到有 3 个约数的数一定是质数的完全平方2,3,5,7,11,13,17,19,23 这 9 个数的平方数在 1-600 之间共有 9 个符合要求39 有 3 张扑克牌，牌面数字都在
31、 10 以内。把这 3 张牌洗好后，分别发给小明、小亮、小光 3 人。每个人把自己牌的数字记下后，再重新洗牌、发牌、记数，这样反复几次后，3 人各自记录的数字的和顺次为13，15，23。问：这 3 张牌的数字分别是多少？【分析】 13+15+23=51，51=317。 因为 1713，摸 17 次是不可能的，所以摸了 3 次， 3 张扑克牌数字之和是 17，可能的情况有下面 15 种：1，6，10 1，7，9 1，8，8 2，5，10 2，6，9 2，7，8 3，4，10 3，5，9 3，6，8 天津学而思 page 93，7，7 (11)4，4，9 (12)4，5，8(13)4，6，7 (1
32、4)5，5，7 (15)5，6，6只有第种情况可以满足题目要求，即3+5+5=13；3+3+9=15；5+9+9=23。这 3 张牌的数字分别是 3，5 和 9。40 写出 12 个都是合数的连续自然数。【分析】 分析一：在寻找质数的过程中，我们可以看出 100 以内最多可以写出 7 个连续的合数：90，91，92，93，94，95，96。我们把筛选法继续运用下去，把考查的范围扩大一些就行了。解法 1：用筛选法可以求得在 113 与 127 之间共有 12 个都是合数的连续自然数：114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126。分析二：如
33、果 12 个连续自然数中，第 1 个是 2 的倍数，第 2 个是 3 的倍数，第 3 个是 4 的倍数第 12 个是 13的倍数，那么这 12 个数就都是合数。又 m+2，m+3，m+13 是 12 个连续整数，故只要 m 是 2，3，13 的公倍数，这 12 个连续整数就一定都是合数。解法 2：设 m 为 2，3，4，13 这 12 个数的最小公倍数。m+2，m+3，m+4，m+13 分别是 2 的倍数，3 的倍数，4 的倍数13 的倍数，因此 12 个数都是合数。说明:我们还可以写出13！+2，13！+3，13！+13（其中 n！=123n）这 12 个连续合数来。同样， （m+1）！+2
34、， （m+1）！+3， （m+1）！+m+1 是 m 个连续的合数。41 将 100 以内的质数从小到大排成一个数字串，依次完成以下 5 项工作叫做一次操作： （1）将左边第一个数码移到数字串的最右边；（2）从左到右两位一节组成若干个两位数；（3）划去这些两位数中的合数； （4）所剩的两位质数中有相同者，保留左边的一个，其余划去； （5）所余的两位质数保持数码次序又组成一个新的数字串。 问：经过 1999 次操作，所得的数字串是什么？【分析】 第 1 次操作得数字串 711131131737； 第 2 次操作得数字串 11133173； 第 3 次操作得数字串111731； 第 4 次操作得数
35、字串 1173； 第 5 次操作得数字串 1731； 第 6 次操作得数字串 7311； 第 7次操作得数字串 3117； 第 8 次操作得数字串 1173。不难看出，后面以 4 次为周期循环，1999=4499+3，所以第 1999 次操作所得数字串与第 7 次相同，是 3117。42 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆车可乘 36 人。两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的 11 人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车。参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念。如果每个胶卷可拍 36 张照片，那么拍完最后一张照片后，相机里的胶卷还可拍几张照片？【分析】 甲代表团坐满
36、若干辆车后余 11 人，说明甲代表团的人数（简称甲数）除以 36 余 11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余 36-11=25（人） ，即乙代表团的人数（简称乙数）除以 36 余 25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数乙数”张照片，因为每个胶卷拍 36 张，所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数乙数”除以 36 的余数。因为甲数除以 36 余 11，乙数除以 36 余 25，所以“甲数乙数”除以 36 的余数等于 1125 除以 36 的余数。（1125）36=723，即最后一个胶卷拍了 23 张，还可拍 36-23=13（张） 。天津学而思 p
37、age 1043 (第五届小学数学报竞赛决赛)用某自然数 去除 ，得到商是 ，余数是 ，求 和 a19246rar【分析】 因为 是 的 倍还多 ,得到 ，得 ，所以 ， 192a46r463L192314431r44 一个两位数除以 的商是 ，除以 所得的余数是 ，求这个两位数31【分析】 因为一个两位数除以 的商是 ，所以这个两位数一定大于 ，并且小于 ；又因613678(6)9为这个两位数除以 余 ，而 除以 余 ，这个两位数为 167878545 除以一个两位数，余数是 求出符合条件的所有的两位数0312【分析】 ， ，那么符合条件的所有的两位数有 ，因为“余数203 ,91小于除数”
38、,所以舍去 ，答案只有 ,9146 ( 年全国小学数学奥林匹克试题)两数相除，商 余 ，被除数、除数、商数、余数四数之和等于 ，48 415则被除数是_【分析】 因为被除数减去 后是除数的 倍，所以根据和倍问题可知，除数为84，所以，被除数为 7914415）（）（ 327947 有一个整数，除 所得的余数都是 ，求这个数3,53【分析】 (法 ) ， ， ， 的约数是 ，1961473(6,14)21,2346,因为余数为 要小于除数，这个数是 ；(法 )由于所得的余数相同，得到这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差，也就是说它是任意两数2差的公约数 ， ， ，所以这个数是 5139214
39、73908(12,)4,61248 有一个大于 的整数，除 所得的余数相同，求这个数,【分析】 ， ， ， 的约数有 ，所以这个数可能为 104569451(6,4)11,2742,71449 甲、乙、丙三人打牌。第一局，甲输给了乙和丙，使得乙、丙手中的点数都翻了一番。第二局，甲和乙赢了，从而甲、乙手中的点数翻了一番。最后一局，甲、丙获胜，两人手中的点数翻了一番。这样，甲、乙、再三人每人都是二赢一输，并且每人手中的点数完全相等，可是甲发现自己输了 100 点。请问：开始时，甲手上有多少点?(每局三人的点数总和保持不变)【分析】甲 乙 丙开始时 1.625 0.5 0.8751 0.25 1 1.752 0.5 2 0.53 1 1 1100(1.625-1)1.625=26050 两个数的最大公约数是 21，最小公倍数是 126。这两个数的和是_【分析】 12621=6 6=16=23所以 211+216=147 或 212+213=105
