1、内江师范学院学年论文目录摘要 1ABSTRACT .11引言 22公式法 23错项相消法 34倒序相加法 45通项分析法 56待定归纳法 67裂项法 78. 逐差法 .89. 组合数法 .910导数求和法 1011数学归纳法 1112递推数列求和法 1213无穷递缩等比数列求和法 12小结 14参考文献 14致谢 15内江师范学院学年论文1摘要:初学者对这部分的内容有畏难情绪，以至没有学好此内容.关于数列求和前人也作过不少文章，但随着数学的发展，数列求和出现了新题型，数列求和的若干方法不但解决了数列的一般求和也很好的处理了递推问题.要解决一类问题，数列求和是从它们的本质特点出发，去寻找最一般的
2、方法，从而得出的结论比较具有针对性，可以普遍推广.本章的内容规律性比较强，只要抓住它们的不同特点，相应的归类就比较容易地解答.根据数列的不同特点，给出了数列通项与求和的一般形式，很好地解决了数列求和的若干问题，为学好本章起到很大的帮助作用.关键词：数列；前 项和；通项公式；递推求和nABSTRACTSeries summation series are the focus of this chapter , but also difficult . Sometimes such problems is to much trouble , if not impossible to do this
3、 , this part of the contents of beginners have fear of difficulty , emotional , and so has failed to learn this content . Summation series about it for a number of previous article , but with the development of math , sum series of new questions have also emerged , a number of series summation of th
4、e series will not only solve the general sum is also a very good deal with the delivery pushing problem . One type of problem to solve , a number of series summation are from their nature , characteristics , the go looking for the most general way to compare the conclusions thus targeted to the gene
5、ral promotion . Regularty of the contents of this chapter are relatively strong , as long as they grasp the different characteristics ,the corresponding classification can easily answer . According to the general form , a very good solution to a series summation of a number of issues , in order to l
6、earn to play a great help in this chapter .Key words : series ； pre-n and ; formula ; recursive summation内江师范学院学年论文21引言数列是高中代数的重要内容，是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列外，大部分求和都需要技巧，下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧.2公式法对于以下数列可利用公式直接求和.（1）等差数列： （其中： ：前 n 项和，11()()22nnaSdS：首项，： 末项，d：公差，
7、n：项数，下同）aa（2）等比数列： 11,nnqSa(3) 自然数的和 1()2ni（4）自然数的平方和 )12(61nin（5）自然数的立方和 213)(4in例 1 求和 222nS分析：由 得3()3kk，令 =1、2、3 、 得321 n21323内江师范学院学年论文332431321nn把以上各式两边相加得： 322131nn 312nSn因此， 16n例 2 求和： cossincosincosincosi 1253 解：设所求之和为 ，则S，这是公比为 的等比数列)sisii(snc 1253nnS 2si前 项之和.（1） 、若 即 则有,1i2q,),sin(sin)(co
8、22tgSn（2） 、若 即 则有,1q,0nS3错项相消法如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列对应之积形成，那么此数列可采用错项相减消法. 例 3 求和 211332nnnS解：由原式乘以公比 得：23112nn原式与上式相减，得内江师范学院学年论文421122n nS3n例 4 设 求数列 、 、 的前 项和0aa23na分析：这个数列的每一项都含有 ，而 =1 或不等于 1，对数列求和方法上有本质的不同，所以解题时需要进行讨论.解：若 ，12)(32nSn若 ， ，aaa此时，该数列可以看成等差数列 1、2、3 与等比数列 、 、 的积na23na构成的数列，且公比 ，在上述
9、等号两边同时乘 ，有q132 nn aaS两式相减得 132)1( n所以， 11)(nnaSa从而得 21212 )()( annnn 4倒序相加法如果一个数列与首末两项等距的 两项之和等于两项之和，可采用正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和.例 5 已知 为等差数列，求na123naa解：令 123nS将上式中各项的次序反过来就得到： 121nnaa上两式相加的 211nnnnSaa内江师范学院学年论文5由等差数列性质得： 1211nnnaaa所以得 2nS所以 1nn例 6 求和： nnCC36321 .解：令 .90nnnS将上式中各项的次序反过来，得： .03)2(3)
10、1(31nnnnn C上述 2 式左右两边分别相加，并利用 ，得knk.2)(1210 nnnn CCS 所以 35通项分析法对数列的通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和.例 7 求数列 1， ， ， ，的前 项和 ， （2a43a4365annS）0a解：当 =1 时， 则.k)1(nSn当 时， ， （ 为偶数）和 ， （ 为奇数）10kaka可见 2)(nSn当| | 时， ，a1akk12所以 )()()() 12523 nn aaS = 1(12na内江师范学院学年论文6= )1)(1()1)(122 nnn aaaa6待定归纳法解决与自然数有关的某一问题，首先应对结论
11、的代数形式做一个正确推测，并将结论用待定系数设出来，随之令其满足数学归纳法的各个步骤，从中得到得到待定系数的方程，求出待定系数，即可使问题得解.例 8 求数列 ， ， ， ， 的前 项和21243265 21nnnS因为数列 它是关于 的多项式，与之类似的数列8nan求和问题我们熟悉的有 21351 2123nn 23334以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于 的多项式，对n其次数进行比较便可得到这样的结论：若数列 的通项公式是关于 的多项na式，则其前 项和是比通项公式高一次的多项式，对本题而言，因为通项公式n23218na是关于 的三次多项式，所以我们猜想该数列的前 项和 是
12、关于 的四次多nnS项式，故可设 432nSABCDnE即 ， ， 时上式均成立，有1nk1SBCDE432k32111AkDkE即 4321 6432kSBACABCDkABCE又因为 1kkSa内江师范学院学年论文7所以 432181602kSABkCkDkE比较上两式同类项系数可得 46316202CABDE解方程得 , , , ,43130E故 4212nSn7裂项法顾名思义，裂项法就是把数列的项拆成几项，然后相加时各项相消，达到求和目的的一种方法.通项分解如： 1naffn n 21112nann 2n例 9 求数列 的前 项和)12(,756,34122n nS分析：该数列的分子是
13、偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积，用分子凑分母的方法，化简分式，然后再拆项，有解： nnnnnSn )12()513()21)21()513(2)1(2)12(534122 +).()()(1)(22 nnnn内江师范学院学年论文812)()1(2n例 10 求和 个nS33解： 个nn3= ）（ 个 n99= )101010332 n（）（）（）（ = 3(2793n8 逐差法针对一类高阶等差数列求和的问题.某些数列的构成规律不十分明显.我们可以逐次求出它的各阶差数列，如果某一阶差数列正好是等差数列或者为等比数列，那么可以利用这些数列的有限和得出原数列的一个通项公式，然后再求出其前 项
14、和 .nnS例 11 求数列 的前 项和5,691,32 nnS考虑数列的各差数列：原数列： ,一阶差数列： 1375二阶差数列： 2,486由于二阶差数列是等比数列，可用逐差法求数列的通项，然后再求出其前 项n和 .nS解：设原数列为 ，一阶差数列为 ，二阶差数列为nanbnc那么 21bc3243c内江师范学院学年论文91nnbc以上 个式子相加，有11231nbcc48621n因为 ，所以1b21nnb又 a3243b1nna所以 1123121nmnnnmabb54n数列 的前 项和为a1112424nnnmmSn1722n9组合数法原数列各项可写成组合数的形式，然后再利用公式 求解.
15、1mmnC内江师范学院学年论文10例 12 求 ， ， ， ，123 123n由 知可以利用“组合数法”求和3nnC解 S 113622341nCC2232n1610导数求和法通过对数列的通项进行联想，合理运用逆向思维，由求导公式 1/)(nnx，可联想到它们是另外一个和式的导数.关键要抓住数列通项的结构特征.例 13 求和： )0(3211xnxSn解：当 =1 时，xSn=1+2+3+= 2)(1当 1 时，x,132xnn两边都是关于 的函数，求导得x（ ,)()/1/32 xxnn即 .)1(12112 xnxSnn 内江师范学院学年论文1111数学归纳法有些题目通过求出的 的前 项之
16、和，猜想出 ，然后用数学归纳法证明.nanS例 14 设数列 的前 项之和为 ，满足 3 求nbnS*12(),nb.nS解：因为 由，3 ，得,1S12nb3（ 1)2所以 4而 21bS所以 3 2121()SS得 27同理 求 得 310推测 ).(*nSn下面用数学归纳法加以证明（1） 、当 =1 时，结论显然成立（2） 、假设 时结论成立，即k31kS由题设有知1113()2knkSb又因为 11kkSb所以 有31Sk13()k则 时结论亦成立.n由（1） （2）知，对于 总成立.13,*nSn11kkb内江师范学院学年论文1212递推数列求和法递推数列求和是较难的一类，针对这类题
17、，一般先要研究通项公式，而求通项公式又往往是难点，通项求出就可以从本质上去求和，下面介绍地推数列通项的方法.例 15 已知数列 中 求na,23,2,111nnaaS解：要求 ，首先寻找Sn因 故02311nna )(11nan所以 是以 2 为公比， 为首项的等比数列.2所以 11nn所以 12211 )()()( aaann = 1032n所以 .1nnS13极限求和当数列为无穷数列，这就是我们高等数学要学的一个重要组成部分级数，那它的和怎么求啦？有些我们可以直接运用公式，有些我们还是可以裂项，然后再求极限.例 16 求数列 的前 项和1,248n 解：由题设可知此数列为递缩等比数列，公比
18、 ，故前 项和12qn1122nnnS故 limn内江师范学院学年论文13例 17 求数列 11,32452n 解：因为 n所以 11123242Sn = n所以 113limli224nSn内江师范学院学年论文14结束语数列求和问题虽然很难，但我总可以通过找出共同的特点和规律或进行恒等变换得到解决的途径.以上几种方法是求数列较适用的方法，是从根本上去认识数列求和.类型较全，公式简单易懂，对学好数列的求和有很大的帮助.参考文献人民教育出版社中学数学室，高一数学上册 .北京人民教育出版社；1 M泸海运、付延卫、田春林等.创新方案 .北京：中国青年出版社；2叶锋，浅谈数列的求和 .成都教育出版社
19、2006.6；3J广冬雁、李居强、刘利琴，数列求和十法 .数理化学习（高中版） ；4 J李增旺、宋胜利.名师一号 .北京：人民日报出版社；56 刘玉琏、 数学分析讲义（下册）M，北京：高考教育出版社，2003；7 陈传璋，数学分析讲义下册J,北京：高考教育出版社，2004.内江师范学院学年论文15致谢经过几个月的奋斗，我的学年论文终于完成了，在此我要感谢我的指导老师曾德强老师，没有他就没有我这篇论文的一些思想，没有他我很多地方的数学思维是不可能有的，他使我的数学水平提过了一个档次，明白了如何写数学论文，如何查找文献等等，也感谢他在每周星期六上午对我们的辅导，在这些时间里我学会了很多利用数学建模的思想去解决实际问题，如何把实际中的问题与数学联系起来，使我数学有了长足的进步，他也对我大四写毕业论文做了很多指导，使我对以后有了信心，我也可以写出好的论文.另外，在论文资料的收集上，我要谢谢我们学校的图书馆，在上面我找到了很多有用资料，对我论文的书写有了很大的帮助.但由于初次尝试写论文，有很多地方想的并不是很周到，如有不足之处，希望大家批评指正.
