1、7.5 对称变换和对称矩阵授课题目：7.5 对称变换和对称矩阵教学目的：1掌握对称变换的概念，能够运用对称变换和对称矩阵之间的关系解题 2掌握对称变换的特征根、特征向量的性质3对一个实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使 为对角形TA授课时数：3 学时教学重点：对称变换的特征根、特征向量的性质; 对实对称矩阵，能熟练地找到正交矩阵，使 为对角形TA教学难点：定理 7.5.4 的证明教学过程：一、 对称变换1、一个问题问题：欧氏空间 V 中的线性变换 应该满足什么条件，才能使它在某个正交基下的矩阵是对角形？V 满足： V,)(,） ，（2、对称变换的定义设 是欧氏空间 V 中的线性变换，如果 都有
2、、,)(,） ，（则称 是 V 的一个对称变换例 1 以下 的线性变换中,指出哪些是对称变换? 3R231231()(,)xxx1 23, ;x323213()(,)xx3、对称变换与对称矩阵的关系Th1：n 维欧氏空间 V 中的线性变换 是对称变换的充分必要条件是：关于任意一个正交基的矩阵是实对称矩阵证：必要性：设 是对称变换， 关于 V 的标准正交基 的矩阵是,21nA= 即)(),(RnijuAaA21 ,21n则 knkiia1)(i因 是对称变换， 是标准正交基，所以,21nijknkji jijijkiji aa 1, )(,),(,因此，A 是对称矩阵充分性 设 关于 V 的标准
3、正交基 的矩阵是 A= 是实对称矩,21n )(ija阵，即A，A=)()(,(21n ,21n 对任意 ，有Vnxx21 ,21n yy , y于是A)(,21n A, y其中 A ，A 分别是 ， 关于标准正交基 的坐标列向量，因)(,21n此AYTT)()(,因 A= 故 = A,二、对称变换的基本性质1、特征根的性质Th2 实对称矩阵的特征根都是实数证明：设 A= 是一个 n 阶实对称矩阵， 是 A 在复数域内的任意一个特征)(ija根，nc21是 A 的属于特征根 的特征向量，于是有， 为 了 证且 A0记 nij caA21,)(， 两端取共轭转置，由复数共轭的性)(RnuA， 在
4、故质及 得 A ATTT )(所以 A),)(),( 2121 nn CC =),(21n c21),(21n c2又因为 即 A =nc21n21所以 1122122(,) =(,) nnccCAC 1212(,)nc 11221212(,)(,)nnccCC 即 )()(11 nnccc 100,k因 从 而 由 消 去 律 得 ， 即 为 实 数对称变换的特征多项式在 C 内的根都是实根2、特征向量的性质Th3：n 维欧氏空间的一个对称变换的属于不同特征根向量彼此正交。证：设 是 n 维欧氏空间欧氏空间 V 的一个对称变换， 是 V 的特征向,量。则 )(,)(则有=),(, ,)(,因
5、为 0，所 以三、主要结果1、主要定理Th4：设 是 n 维欧氏空间 的一个对称变换，那么存在 的一个标准基，使得 关于这VV个基的矩阵是对角形式。证明：对 n 用数学家归纳法，n =1 时是明显的，因为关于任意单位向量的矩阵都是对角形式。设 n 1，并且假设对于 n-1 维欧氏空间的对称变换来说定理成立，现在设 n 维欧氏空间 的一个对称变换 ， 有特征根，令 是 的一个特征根， 是 中属于Vl1V的一个特征向量，并且可设 是单位向量：l 11(),l令 ， 在 之下不变LWV也在之下不变，事实上，设 ，对于任意 我们有 W(),()0所以 ， 在 上的限制 是 的一个对称变换，并且|的特征
6、根都是 的特征根，因 。W| 1dimn2、求使 为对角形正交矩阵 U 的步骤.TUATh5：设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，那么存在一个 n 阶正交矩阵 U，使得 是一个TA对角形。按下列步骤求出使 （A 是实对称矩阵）为对角形的正交矩阵 U，T（1）求实对称矩阵 A 的全部特征根。（2）对每个不同和特征根 ，求出齐次线性方程解（ ）X= 的基础解系，并l lIA0将其正交化、单位化，得到 A 的属于特征根 的一组两两正交的单位特征向量。l（3）以这些单位特征向量为列作成一个矩阵 U，则 U 就是要求的正交阵，以 U 的列为坐标写出对应的向量，它是 的特征向量组成的标准正交基。例 3：设 A= 求正交矩阵 U，使 为对角形矩阵。010TA解：因为 A 的特征多项式为 ，故 A 的特征根为3()(1)AfxIx1（三重）和-3（单根） 。当 =1 时， （ ）X= 的基础解系为：lI013TUA把它正交化得： 1(,0)212332311(,0), 1(,),3再 位 化 ， 得123 12（ ， ， 0， ） （ ， ， ， 0）26（ -， ， ， ）当 时， （-3I-A） 的基础解系为04（ 1， -， ， 1）单位化得 41（ ， -， ， ）2以 为列作矩阵 ，则 U 是正交矩阵。1234， ， ， 112260132U
