1、第四节 正态总体的置信区间与其他总体相比, 正态总体参数的置信区间是最完善的,应用也最广泛。在构造正态总体参数的置信区间的过程中，t 分布、 分布、F 分布以及标准正态分布 扮演了重2)1,0(N要角色.本节介绍正态总体的置信区间,讨论下列情形:1. 单正态总体均值(方差已知 )的置信区间;2. 单正态总体均值(方差未知 )的置信区间;3. 单正态总体方差的置信区间;4. 双正态总体均值差(方差已知 )的置信区间;5. 双正态总体均值差(方差未知但相等 )的置信区间;6. 双正态总体方差比的置信区间. 注: 由于正态分布具有对称性, 利用双侧分位数来计算未知参数的置信度为 的置1信区间, 其区
2、间长度在所有这类区间中是最短的.内容分布图示 引言 单正态总体均值（方差已知）的置信区间 例 1 例 2 单正态总体均值（方差未知）的置信区间 例 3 例 4 单正态总体方差的置信区间 例 5 双正态总体均值差（方差已知）的置信区间 例 6 双正态总体均值差（方差未知）的置信区间 例 7 例 8 双正态总体方差比的置信区间 例 9 内容小结 课堂练习 习题 6-4 返回内容要点：一、单正态总体均值的置信区间(1)设总体 其中 已知, 而 为未知参数, 是取自总体 X 的一),(2NX2nX,21个样本. 对给定的置信水平 , 由上节例 1 已经得到 的置信区间1,2/2/ nuXnu二、单正态
3、总体均值的置信区间(2)设总体 其中 , 未知, 是取自总体 X 的一个样本.),(2NX2n,21此时可用 的无偏估计 代替 , 构造统计量2S,nXT/从第五章第三节的定理知 ).1(tS对给定的置信水平 , 由1,1)(/)(2/2/ ntXntP即 ,1)()1(2/2/ nStXnStXP因此, 均值 的 置信区间为1.)(,)(2/2/ tt三、单正态总体方差的置信区间上面给出了总体 的区间估计，在实际问题中要考虑精度或稳定性时，需要对正均 值 态总体的方差 进行区间估计.2设总体 其中 , 未知, 是取自总体 X 的一个样本. 求方差),(NX2nX,21的置信度为 的置信区间.
4、 的无偏估计为 , 从第五章第三节的定理知,21S,)(2n对给定的置信水平 , 由 ,1)()1( ,)()(2/12/ 2/2/1 nSnSP于是方差 的 置信区间为21 )(,)(2/12/而方差 的 置信区间 .)(,)(2/12/ nSnS四、双正态总体均值差的置信区间(1)在实际问题中，往往要知道两个正态总体均值之间或方差之间是否有差异，从而要研究两个正态总体的均值差或者方差比的置信区间。设 是总体 的容量为 的样本均值, 是总体 的容量为 的样本X),(21N1nY),(2N2n均值, 且两总体相互独立, 其中 已知.2因 与 分别是 与 的无偏估计, 从第五章第三节的定理知Y1
5、2),10(/)()(21nYX对给定的置信水平 , 由 ,/)()(2/212 uP可导出 的置信度为 的置信区间为21 ., 212/212/ nuYXnuYX五、双正态总体均值差的置信区间(2)设 是总体 的容量为 的样本均值, 是总体 的容量为 的样本),(21N1 ),(2N2n均值, 且两总体相互独立, 其中 , 及 未知.从第五章第三节的定理知12).2(/)()(121ntnSYXTw其中 .21212nSw对给定的置信水平 , 根据 t 分布的对称性, 由,1)2(|1/ nTP可导出 的 置信区间为21 .1)2()(,)2()( 212/211/ nSntYXSntYX
6、ww六、双正态总体方差比的置信区间设 是总体 的容量为 的样本方差, 是总体 的容量为 的样本21S),(21N12S),(2N2方差, 且两总体相互独立, 其中 未知. 与 分别是 与 的无偏估计, 从211第五章第三节的定理知 ),(2121nFSF对给定的置信水平 , 由1 ,1),(),( 212/212/ nP , 2212/21212/ SnFSF可导出方差比 的 置信区间为21/ .),(,),( 212/2112/ n例题选讲：单正态总体均值的置信区间(1)例 1（讲义例 1）某旅行社为调查当地一旅游者的平均消费额, 随机访问了 100 名旅游者, 得知平均消费额 元. 根据经
7、验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准差80x元, 求该地旅游者平均消费额 的置信度为 95%的置信区间.2例 2（讲义例 2）设总体 其中 未知, 为其样本.),(2NX.42nX,1(1) 当 时, 试求置信度分别为 0.9 及 0.95 的 的置信区间的长度 .16n (2) n 多大方能使 的 90%置信区间的长度不超过 1?(3) n 多大方能使 的 95%置信区间的长度不超过 1?单正态总体均值的置信区间(2)例 3（讲义例 3）某旅行社随机访问了 25 名旅游者, 得知平均消费额 元, 子样标80x准差 元, 已知旅游者消费额服从正态分布, 求旅游者平均消费额 的 95%置信
8、区间.12s 例 4（讲义例 4） 有一大批糖果.现从中随机地取 16 袋, 称得重量(以克计) 如下:506 508 499 503 504 510 497 512514 505 493 496 506 502 509 496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体均值 的置信水平为 0.95 的置信区间.单正态总体方差的置信区间例 5（讲义例 5）为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取了样本容量为 25 的一样本, 并测得样本均值 样本标准差 . 假定所论胆固醇水平 与,186x12s ),(2NX均未知. 试分别求出 以及 的 90%置信区间.2双正态总体均值差的置信区间(1)
9、例 6（讲义例 6）1986 年在某地区分行业调查职工平均工资情况: 已知体育、卫生、社会福利事业职工工资 X (单位 :元) ; 文教、艺术、广播事业职工工资 Y (单位:元) )218,(N, 从总体 X 中调查 25 人, 平均工资 1286 元 , 从总体 Y 中调查 30 人, 平均工)27,(N资 1272 元, 求这两大类行业职工平均工资之差的 99%的置信区间.双正态总体均值差的置信区间(2)例 7 （讲义例 7） A, B 两个地区种植同一型号的小麦. 现抽取了 19 块面积相同的麦田, 其中 9 块属于地区 A, 另外 10 块属于地区 B, 测得它们的小麦产量(以 kg
10、计) 分别如下:地区 A: 100, 105, 110, 125, 110, 98, 105, 116, 112;地区 B: 101, 100, 105, 115, 111, 107, 106, 121, 102, 92.设地区 A 的小麦产量 地区 B 的小麦产量 , , , 均未知. ),(21NX )(2NY12试求这两个地区小麦的平均产量之差 的 90%置信区间.21例 8 为比较 I, II 两种型号步枪子弹的枪口速度 , 随机地取 I 型子弹 10 发, 得到枪口速度的平均值为 , 标准差 , 随机地取 II 型子弹 20 发, 得到枪口)/(501smx)/(0.sms速度的平均
11、值为 标准差.4962 .2假设两总体都可认为近似地服从正态分布. 且由生产过程可认为方差相等. 求两总体均值差 的一个置信水平为 0.95 的置信区间.1双正态总体方差比的置信区间例 9（讲义例 8）某钢铁公司的管理人员为比较新旧两个电炉的温度状况, 他们抽取了新电炉的 31 个温度数据及旧电炉的 25 个温度数据, 并计算得样本方差分别为 及7521S. 设新电炉的温度 , 旧电炉的温度 . 试求 的 95%置102S )(21NX),(2NY/信区间.课堂练习1. 已知某地区农户人均生产蔬菜量为 X (单位:kg), 且 现随机抽取 9 个),(2X农户, 得人均生产蔬菜量为75, 143, 156, 340, 400, 287, 256, 244, 249问该地区农户人均生产蔬菜量最多为多少 ?)05.(2.为了考察温度对某物体断裂强度的影响, 在 70与 80时分别重复了 8 次试验,测试值的样本方差依次为 ,826.,857.021ss假定 70下的断裂强度 80下的断裂强度 且 与 相)(21NX),(2NYXY互独立, 试求方差比 的置信度为 90%的置信区间.2/
