1、1正弦函数、余弦函数的图象贵州省开阳县楠木渡镇中学 申潜一、教材分析教材与学生的简要分析：这是高中数学（人民教育出版社）必修 4第一章第 1.4、1节三角函数的 图象与性质的内容。本 节课是在学生已经学习了任意三角函数的定义，三角函数 线，三角函数的诱导 公式等知识基础上进行学习的，主要是对正弦函数和余弦函数的 图象进行系 统的研究。作为函数，它是已学过的指数函数与对数函数的后 继内容，也是后面学 习三角函数的性质的重要基础依据，为 今后学习正弦型函数 y Asin (x )的图象及运用数形结合思想研究正、余弦函数的性质打下坚实的知识基 础。因此，本节课的内容是至关重要的，它对 知识的掌握起到
2、了承上启下的作用。三角函数是基本初等函数之一,它是中学数学的重要内容之一,也是学习高等数学的基 础,研究办法主要是代数变形和图象分析,因此三角函数的研究已 经初步把几何与代数 联系起来了.三角函数是数学中主要的数学模型之一,是研究度量几何的基 础,又是研究自然界周期变化规律最强有力的数学工具学情分析学生在初中已经学习过三步作图法（列表，描点、连线）“ 描点作图”法，对于函数 ysinx，当 x 取值时，y 的值大都是近似值，加之作图上的误差，很难认识新函数 ysinx 的图象的真实面貌。因为在前面已经学习过三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础。动手作出函数 ysinx 和 y=cosx 的
3、图象，学生不会感到困难。从身心上，高一学生对于比较抽象的内容不是很感兴趣，所以借助多媒体创设教学情境引起学生的兴趣，另外让学生自己动手画函数图象，使所有学生都参与进来，以达到较好的教学效果。从知识上，学生在前面学习的基2础上，已经对三角函数有了一个较为深刻的认识，但他们还是习惯于在三角函数的求值、化简、 证明等内容上，提到三角函数的定义，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值这一点还是掌握得很牢固的，另外，他们提到角，还是首先想到角度，而后才想到弧度，所以，在给出正弦函数和余弦函数的定义时，学生可能会觉得不太习惯。另外，在利用正弦线画正弦函数在0,2上的图象的过程中，学生很可能会遇到横坐标和
4、纵坐标两方面的困难，所以在教学时，教师要尽量引导，动画演示，多设置问题， 让学生一步步得出图二、教学目标根据本节课在数学课程中的地位以及在高考中的分量，加上本节内容与实际生活联系也比较紧密，本节课的教学目的确立为以下几点：知识与技能1理解并掌握用正弦线作正弦函数图象的方法；2理解并熟练掌握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法过程与方法：通过简谐运动实验，感知正弦、余弦曲线的形状；学生经历利用正弦 线作正弦函数图象的 过程，理解并掌握用正弦 线作正弦函数图象的方通过观 察发现确定函数 图象形状的关键点. 从一般到特殊、从特殊到一般。情感态度与价值观：体会数形结合、化归转化的数学思想 . 培养学
5、生数学学习兴趣、增强学生数学学 习信心。三、教学重点和难点对于本节课内容，由于有研究指数函数、对数函数的基础，再加上前面单元学习的三角变换为图形变换 提供了依据，为数形 结合创造了条件，因此学生接3受起来并不十分困难。但作函数的图象方法有两种：描点法和几何法。描点法在初中已学过，并且是非常容易接受的一种方法，要求学生全员掌握。几何画法，也就是用正弦线作出正弦曲线，这是一种全新的作图方法。学生刚学习三角函数线，这就为用几何法作图提供了基础，能不能正确应用来画图，这还需要我们老师做进一步的指导。根据以上分析，我确定本节课的重点和难点是：教学重点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象以及五点法画正弦函
6、数、余弦函数的图象 正弦函数、余弦函数的 “五点作 图法”；教学难点：用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象正弦函数与余弦函数图象间的关系，图象的变换；而要想在教学中很好的突出重点，突破难点，这就需要学生能正确了解有关概念和理解图象制作原理，这是教学的关键。教学方法：讲授、启发、探究发现教学教 具：多媒体、实物投影仪，几何画板四、教学设计与教学媒体的运用根据新课程理念，要以学生发展为本，为学生的自主发展创设条件，学生不仅要增长学习知识，而且还要掌握学习知识的方法，就是学会学 习，所以在本节中，充分利用多媒体资源，调动学生兴趣，在教 师的引导下，学生逐渐得出画正弦曲线的方法，自己动手得到 图象。通过
7、创设情境，合理 设置台阶，师生互动等方式让学生自主探究去获 得知识，不断体验成功的快。1、本节课作图的思维方法和前面学生所学的作图方法有所不同，要取得好的教学效果，就需要我们认 真梳理好讲解的顺 序，采取适当的探究教学方法。根据教材内容的特点与学生的实际情况，本节课 的教学方法是：观察、启发、探究相结合组织教学。因 为：“ 观察”遵循了从具体到抽象的认识规律，为抽象概括奠定了基础。作 图时， 让 学生在 观察和实践中发现问题 、解决问题，这样印象较深，记得牢。而 实行探究式教学的关 键，在于使学生有思考 问题、发现问题、解决问题的要求，教师的责任就是 创造条件，使学生成 为学习的主人。具体操作
8、设想：4(1) 以 “察”之方式来激发学生探索。 (2) 以“ 探”之方式来启发学生深思。 (3) 以“动”之方式来诱导学生灵活善 变。 (4) 以“练”之方式来引导学生归纳总结。2、采用多媒体的表现方式，将教学的主要内容、图象等呈现在特定的显示设备上，以辅 助教师的讲解，从而达到知 识的高质 量的传播。教师通过多媒体课件，将教学内容的重点、难点、作图过程，通 过动 画演示的方式表 现出来，有利于学生的理解和接受，从而达到知识的有效传播。同 时，它能够有效地激发学生的学习兴趣，使学生产生强烈的学 习欲望，从而形成学 习动机。五、教学程序：本节课的教学程序，主要是从“三性”即“ 课堂流程的可操作
9、性，知识目标的可接受性，学生主动学习的 积极性”考虑的，对 整个教学过程作如下安排：1、导入先复习以前学过的函数图象的作法描点法，再让学生观察波动图象演示仪，激起学生的 兴趣指出这种形状的曲 线就是今天要研究的正、余弦函数的图象如何作出该 曲线呢？以设问和探索的方式 导入新课，创设情境，激发思维，让 学生带着问题 ，有目的地参与下列教学活 动2、几何法作图引 导学生在单位圆中作出特殊角的三角函数线，并进行平移，描点作图先作出 ysinx(x 0，2)和 y=cosx(x0，2的图象，再依据诱导公式一平移图象得出 ysinx，x R 的图象同法得出 y=cosx，xR 的图象3、多媒体展示教 师
10、利用多媒体展示用 Flash 动画制作的课件，规范作图过程和步骤,统一认识 ysinx（x 0，2）和 y=cosx(x0，2的图象，在此提醒学生在直角坐标系中，横、纵坐标轴的长度单位必 须一致。否则画出的图象不是正弦函数的真实面貌。4、“五点法”作图曲线形成后，让学生观察图象的形状特征，分析讨论，提炼出五个关键点， 归纳出“ 五点法”作图步骤55、总结让学生自己总结本节课的重点、 难点和学习目标，教师再补充这样做，会检测 出学生听课、分析、思考和掌握知 识 的情况，对本节课的教学起到画龙点睛的作用六、教学过程设计（一）、情景创设：（1）从具体实例教材 30页（简谐振动）中获得正、余弦函数的直
11、观印象（学生自主观察）. 再来看两个 简谐运动的例子。物理中把 简谐运动的图象叫做“正弦曲线”或“余弦曲线”。设计意图以课本为纲，通过单摆实验和弹簧振子实验，让学生对正弦函数或余弦函数的图象有一个直 观的印象，也可以借此 实验激发学生听课的积极性和兴趣.（2）探究：如何利用数学方法精确地作出正弦、余弦函数的图象？设计意图利用正弦线比较精确地画出正弦函数的图象.师生互动过程复习正弦线的知识，提出问题如何在坐标系中准确地作出点 ，让学生自主探究回答，教 师纠正其中 错误.（二）、重点讲授探究环节：1、探究：能否借助上面作点 的方法在直角坐标系中作出正弦函数y sinx,x0,2的图象呢？2、利用正
12、弦线画 ysinx,x 0,2的图象.（1）作直角坐标系，并在直角坐标系中 y 轴左侧画单位圆.（2）把单位圆分成 12 等份。过单位圆上的各点作 x 轴的垂线可以得到对应于0， ， ， ，.，角的正弦线.6（3）找横坐标：把 x 轴上从 0 到 6.28 这一段分成 12 等份.（4）找纵坐标：将正弦线对应平移，即可指出相应的 12 个点.（5）连线：用平滑的曲线将 12 个点依次从左到右连接起来，即得y sinx,x0,2的图象.设计意图让学生自己动手作图，并归纳步骤。3、探究：如何作正弦函数 ysin x, xR 的图象呢？师生互动过程 由 sin (x2 k )sin x，k z可知只
13、须作ysin x，x0， 2 的 图象，然后将此 图像左右平行移 动（每次 2 个单位长度），就可以得到 ysin x，xR 的图象。即正弦曲 线。4.引出“五点法”作图设计意图：提示学生从正弦线的“周而复始”的变化规律进行思考，利用其变化规律作图。自主探究过程让学生自主观察找出 ysin x,x0,2 图象上的五个关键点，介 绍五点作图法，并强调五个点的选取由取 值区间决定.生：关键五点：（0，0）、（ ，1）、（，0）、（ ，-1）、（2，0）。师：事实上，只要指出这五个点， ysin x,x0,2 的图象形状就基本定位了。因此在精确度要求不高时，我们就常先找出 这五个关键点，然后用光滑的
14、曲线将它们连结起来，就得到函数的 简图，这种作 图的方法称为“五点法”作图。设计意图：教师引导学生思考，学生利用诱导公式，回答两个函数之间的关系，再用坐标变换作出余弦函数 图象。（三）、巩固演练过程（例题探究）设计意图让学生学会“五点法”作图与图象变换作图.例 1：画出 ysinx+1,x0,2的图象。（动画演示五点法作图）.7师生互动教师分析，板书例 1，作图步骤：列表（五点法）、描点、连线.学生自主探究ysinx+1,x0,2与 ysinx,x0,2图象之间的关系.总结归纳要得到 ysinx+k 的图象只需将 ysinx 的图象向上（k0）或向下(k cosx 课堂设计:学生演练完毕后可采
15、用实物投影仪将学生画的图象进行展示,当场修改其中的错误.（五）、课堂小结设计1、本节课学习了哪些内容？2、你学会了哪些学习方法？先让学生小结，然后教师小结：91、本节课先用平移正弦线的方法得到了正弦曲线在一个周期上的函数，然后又经平移得到了它在上的函数图象，接着根据诱导公式由图象变换得到了余弦函数的图象，最后在知道的图象的形状后，归纳出了用“五点法”画函数图象的简图。2、通过本节课的学习，我们掌握了另一种作函数图象的方法，学会了由已知去探索未知的方法，体会了转化的数学思想。设计意图：回顾本节内容，同时培养学生的归纳概括能力。最后教师将本节内容进行升华。（六）、作业设计：作业：教科书 46页习题
16、 1.4A组 1.（七）板书设计：七、教学设计说明1.本设计对于正弦曲线、余弦曲线首先从实验入手形成直观的印象，然后探究画法，这样设计 比较自然、合理、符合 认知 规 律，能够激发学生学习的兴趣.102.本设计对于正弦函数的图象的画法，先作 ysin x,x0,2 内的图象，再得到正弦曲线，这样由局部到整体，由点到面，符合探究问题的一般方法.3.对于余弦曲线的画法，本设计从一道例题入手，让学生自己画出余弦函数的图象，在从 图象的变换 的角度去讲解如何由正弦函数的 图象得到余弦函数的图象，体现 了由未知向已知 转化的方法，化陌生 为熟悉的方法，体现了转化与化归的数学思想.4.本设计在画出了正弦、余弦曲线后，又运用从一般到特殊，从整体到局部的方法，根据曲线的特征得到画正弦曲 线、余弦曲 线简图的“五点法”，这样设计抓住了正弦曲线、余弦曲线的关键和本质.5.本设计对于例题的安排也作了精心地设计，例题的安排由易到难体现了学生思维发展的趋势，更加有利于拓展学生的 发 散思维.
