1、椭圆中的一组“定值”命题江苏省泰州市第三高级中学 周淦利 （225300）圆锥曲线中的有关“定值”问题，是高考命题的一个热点，也是同学们学习中的一个难点。笔者在长时间的教学实践中，以椭圆为载体，探索总结出了椭圆中一组“定值”的命题，当然属于瀚宇之探微，现与同学们分享。希望对同学们的学习有所帮助，也希望同学们能在双曲线、抛物线等的后续学习中，能够利用类比的方法，探索总结出相关的结论。命题 1 经过原点的直线 与椭圆 相交于 M、N 两点，P 是椭圆上的动l )0(12bayx点，直线 PM、 PN 的斜率都存在，则 为定值 .PNMk2证明：设 ， ， ，则),(P0yx),(1yx),(1yx
2、（*） ，而点 P、M 均在椭圆 上，故2101010kNPM 12byax， ，代入（*）便可得到 .)(220axby)(21axby 2kPN练习： 已知 A、B 分别是椭圆 的左右两个顶点，P 是椭圆上异于 A、B 的任意一1962y点，则 . （答案： ）.Pk命题 2 设 A、B、C 是椭圆 上的三个不同点，B 、C 关于 轴对称，直)0(12bayx x线 AB、AC 分别与 轴交于 M、N 两点，则x为定值 .ONM2a证明：设 ， ， ，),(1y),(2y),(C2yx则直线 AB 的方程为 ，令121得 M 点的横坐标0y，同理可得 N 点的横坐标 ，于是12121yxx
3、yx 12Nyxx，由于21ONMyxxN，因此有2121121212221 yaxybayxbyax .221ONMxN练习： 设 分别是椭圆 的上下两个顶点，P 是椭圆上异于 的动点，21B， 65y 21B，直线 分别交 轴于 M、N 两点，则 . （答案：25）.21P， xON命题 3 过椭圆 上一点 任意作两条斜率互为相反数的直线交)0(12bay),(P0yx椭圆于 M、N 两点，则直线 MN 的斜率为定值 .02证明：设直线 PM 的方程为 ，则直线 PN 的方程为 ， )(0xky )(00xky联立 和 组成方程组，消去 y 可得)(00xky12ba.设 ，则0)()2)
4、( 2002 bakxyxkyba ),(),(21yxNM，可得 ，同理可得2001(kx 221ky， 则 ， ，于是20022)(bkayx2021)(bkaxx20214bkayx， 故直线 MN 的斜20021020121 )()()( kyky 率为 .021yaxbx练习： 已知椭圆 ，过点 作两条倾斜角互补且不平行于坐标轴的直线，162)23,(A分别交椭圆于 P、Q 两点，则直线 PQ 的斜率为 . （答案： ）.123命题 4 分别过椭圆 上两点 作两条斜率互为相反数)0(12bayx ),(),(P00yxQ的直线交椭圆于 M、N 两点，则直线 MN 的斜率为定值.)(0
5、2yaxb证明：设直线 PM 的方程为 ，联)(00xky立 和 组成方程组，消去)(00xky12bay 可得 . 设 ，0)()( 202022 bakxyaxkyba ),(),(21yxNM则 ，可得 ，同理可得2001 )(kxx 21 y，则 ，20022)(bay 20021 )()(bkayxkx ，于是有20021 )()(kyaxkx 002100121 )()()()( yxkxkyy . 因为点 P、Q 都在椭圆上，所以 ，200bkayxkb 120bax，两式相减可得 ，同理可得 ，令120yax )(020yaxbx )(2121yxy， ，则)(00xtb t，将、代入便有)()(22)( 0022121 ybkaxkbayaxy ，即直线 MN 的斜率为定值 .)(021xb )(02yx练习： 分别过椭圆 上两点 作两条倾斜角互补且不平行于坐1482y1,6,AB标轴的直线，交椭圆于另外两点 P、Q，则直线 PQ 的斜率为 . （答案：）.236
