1、2019年4月27日星期六,1,第1讲 预备知识,命题逻辑基础 命题公式：联结词、真值表、永真式、符号化 等值演算：等值式、等值演算 形式化证明：命题逻辑推理 数理逻辑基础 个体、谓词与量词 命题符号化 一阶谓词逻辑公式及分类 一阶谓词逻辑等值式与基本等值式前束范式重要的推理定律,2019年4月27日星期六,2,命题公式联结词,命题：能表达判断，并且具有确定真值的陈述句。 简单命题： p, q, r, p1, q1, r1, 联结词 ： 合取联结词：“与” 析取联结词：“或” 否定联结词： 蕴涵联结词：“充分条件” 等价联结词：“充分必要条件” 逻辑真值： 0，1, (F，T 或 假，真),2
2、019年4月27日星期六,3,联结词否定,P为真当且仅当P为假.例 p：上海是一个大城市。p：上海不是一个大城市。上海是一个不大的城市。,2019年4月27日星期六,4,pq为真当且仅当p与q同时为真.例 (1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓一边吃苹果一边看电视,联结词合取,2019年4月27日星期六,5,联结词析取,pq为假当且仅当p与q都为假.,2019年4月27日星期六,6,联结词蕴含联结词,pq为假当且仅当p为真而q为假.称p为前件,q为后件.例 如果 3+3=5, 那么雪是白的.p: 3+3=5, q: 雪是白的.pq,2019年4月27日星期六,7,联结词等价式,pq为真当且仅当
3、p与q的真值相同.,例 求下列复合命题的真值 . (1) 两个等腰三角形全等，当且仅当它们的三组对应边相等。 (2) 如果两个圆的面积相等，则它们的半径相等，反之亦然.,2019年4月27日星期六,8,命题公式,命题公式的形成规则:1. 单个命题变元（或常元）是命题公式。2. 如果A是命题公式, 那么A也是命题公式。3. 如果A、B是命题公式, 那么 (AB), (AB), (AB)和(A B)是命题公式。4. 当且仅当经过有限次地使用1、2、3所组成的符号串才是命题公式。 注：p, q, r, 既可以表示命题(命题常元),也可以表示命题变元.,2019年4月27日星期六,9,真值表(trut
4、h-table),赋值(assignment)：给变元指定0、1值. n个变元,共有2n 种不同的赋值,有22n种不等值公式.,2019年4月27日星期六,10,命题公式的真值表,例 求 (pq)r 和 pqr 的真值表。,2019年4月27日星期六,11,公式的类型,永真式: 在各种赋值下取值均为真(重言式) 永假式: 在各种赋值下取值均为假(矛盾式) 可满足式：非永假式,2019年4月27日星期六,12,*命题符号化举例合取,例1 将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明.(2) 王晓虽然聪明，但不用功.解: 令 p: 王晓用功，q: 王晓聪明(1) pq(2) pq.(3) 王丽一边
5、吃苹果，一边看电视.r:王丽吃苹果，s:王丽看电视r s.,2019年4月27日星期六,13,*命题符号化举例合取(续),(4) 张辉与王丽都是优秀学生.r: 张辉是优秀学生，s:王丽是优秀学生,r s (5) 张辉与王丽是同学. s : 张辉与王丽是同学. 分清简单命题与复合命题。(5) 中“与”联结主语成分，因而(5) 是简单命题.,2019年4月27日星期六,14,*命题符号化举例析取,“或”的两种表示方法： 根据题意，若“p或q”为真， p和q可以单个为真, 也可以同时为真，则为“可兼或”.符号化为pq. 根据题意，若“p或q”为真， p和q可以单个为真, 但不能同时为真，则为“排斥或
6、”. 符号化为 (pq) (pq),2019年4月27日星期六,15,*命题符号化举例析取(续),例2 将下列命题符号化(1)他昨天做了二十或三十道习题。解: (1)是原子命题, 用 m 表示.(2) 2或4是素数.解: 令 p: 2是素数, q: 4是素数,则 (2) p q, 其真值为 t. (3) 王晓红生于1975年或1976年. 解: 令 y: 王晓红生于1975年,u: 王晓红生于1976年.y, u不能同时为真, 可以同时为假, 可符号化为 (yu) (yu). 由于实际中y, u不能同时为真,所以也可符号化为 yu.,2019年4月27日星期六,16,*命题符号化举例析取(续)
7、,(4) 小元只能拿一个苹果或一个梨. 解: 令 v : 小元拿一个苹果, w: 小元拿一个梨，这里的“或”受到“只能”的限制, 应为排斥或, (vw) (vw) (3)与(4)中的排斥或不同, (3)中y, u不能同时为真, 而(4)中的v 和w可能同时发生, 所以不能符号化为vw。,2019年4月27日星期六,17,*命题符号化举例蕴涵,自然科学中, “pq”表达 p 为 1, q 也为 1 的推理关系. p 为0时，数理逻辑规定 pq 永为1，称为“善意的推定”。pq 的逻辑关系：q为p的必要条件, p是q的充分条件.“如果p，则q” 的不同表述方式“若 p，就 q”“只要 p，就q”“
8、 p 仅当 q”“只有 q 才 p ”“除非 q, 才 p” 或 “除非 q, 否则非p”.常出现的错误：不分充分与必要条件.,2019年4月27日星期六,18,*命题符号化举例蕴涵(续),例3 将下列命题符号化.(1) 如果我借到这本书, 今夜就读完它.p: 我借到这本书, q: 我今夜读完这本书.pq(2) 如果 3+3=5, 那么雪是白的.p: 3+3=5, q: 雪是白的.pq (3) 如果 3+3=5, 那么雪是黑的.p: 3+3=5, q: 雪是白的.pq,2019年4月27日星期六,19,*命题符号化举例蕴涵(续),例4 设 p: 天冷，q: 小王穿羽绒服. 符号化下列命题. (
9、1) 只要天冷，小王就穿羽绒服.(2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服.(3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷.(4) 只有天冷，小王才穿羽绒服.(5) 除非天冷，小王才穿羽绒服.(6) 除非小王穿羽绒服，否则天不冷.(7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服.(8) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.,pq,pq,qp,pq,qp,qp,pq,qp,2019年4月27日星期六,20,逻辑等值式(identities),等值： AB 读作：A等值于B 含义：A与B在各种赋值下取值均相等。 AB 当且仅当AB是永真式 例如： (pq)r pqr,2019年4月27日星期六,21,常用逻辑等值式(关于与),幂等律(i
10、dempotent laws)AAAAAA交换律(commutative laws)ABBAABBA,2019年4月27日星期六,22,常用逻辑等值式(关于与),结合律 (associative laws)(AB)CA(BC)(AB)CA(BC) 分配律 (distributive laws)A(BC) (AB )(AC )A(BC) (AB )(AC ) 吸收律(absorption laws)A(AB) AA(AB) A,2019年4月27日星期六,23,常用逻辑等值式(关于),双重否定律(double negation law)AA 德摩根律(DeMorgans laws)(AB) AB
11、(AB) AB,2019年4月27日星期六,24,常用逻辑等值式(关于0,1),排中律(excluded middle)AA1 矛盾律(contradiction)AA0 零律(dominance laws)A11A00 同一律(identity laws)A0A A1A,2019年4月27日星期六,25,常用逻辑等值式(关于),蕴涵等值式 (conditional as disjunction)AB AB 假言易位 (contrapositive law)ABBA 归谬论(AB )( AB ) A,2019年4月27日星期六,26,常用逻辑等值式(关于),等价等值式 (bicondition
12、al as implication)AB (AB)(BA) 等价否定等值式AB AB,2019年4月27日星期六,27,等值式模式,A，B，C 代表任意的公式 上述等值式称为等值式模式每个等值式模式都给出了无穷多个同类型的具体的等值式。 举例：ABAB取A=p，B=q时，得到 pqpq取A=pqr，B=pq时，得到(pqr)(pq) (pqr)(pq),2019年4月27日星期六,28,对偶原理,对偶原理:一个逻辑等值式,如果只含有, , ,0,1,同时把与互换、0 与1互换，得到的还是等值式. 例 A(BC) (AB )(AC )与 A(BC) (AB )(AC )AA1与AA0A11与A0
13、0A0A与A1A,2019年4月27日星期六,29,等值演算,置换规则: (A)是含有公式 A 的公式, 用公式 B 置换(A)中的A得到(B). 若AB, 则(A)(B) 等价演算: 由已知的等值式,应用置换规则推出新等值式的过程.等价演算的基础：(1) 基本等价式(2) 置换规则,2019年4月27日星期六,30,等值演算（举例）,例：(pq)r pqr解：(pq)r (pq)r （蕴涵等值式） (pq)r （德 摩根律） pqr （结合律）,2019年4月27日星期六,31,*等值演算（举例,续）,例 证明 (PQ) (PQ) P. 证明： (PQ) (PQ) P (Q Q) 分配律 P
14、 1 排中律 P 同一律,2019年4月27日星期六,32,*等值演算（举例，续）,例 用等值演算法判断下列公式的类型(1) Q(PQ) 解 Q(PQ) Q(PQ) （蕴涵等值式） Q(PQ) （德 摩根律） P(QQ) （交换律，结合律） P0 （矛盾律） 0 （零律）该式为矛盾式.,2019年4月27日星期六,33,*等值演算（举例，续）,(2) (PQ)(QP) 解 (PQ) (QP) (PQ) (PQ) （假言易位） 1该式为重言式.,2019年4月27日星期六,34,*等值演算（举例，续）,(3) (PQ)(PQ)R 解 (PQ)(PQ)R (P(QQ)R （分配律） P1R （排中
15、律） PR （同一律） 这是非重言式的可满足式. 如101是它的成真赋值,000是它的成假赋值.,2019年4月27日星期六,35,命题逻辑推理,推理的形式结构(1) H1, H2, , Hk C或 前提： H1, H2, , Hk ，结论： C (2) 有效推理的形式结构H1, H2, , Hk C 推出： A B 读作：A 推出B 含义：当A为真时，B也为真。A B 表示A B 是重言式,2019年4月27日星期六,36,命题逻辑推理（举例）, (pq )p q 利用真值表证明 (pq )p q 是永真式,2019年4月27日星期六,37,常见推理定律,附加律A (AB) 化简律(AB)
16、A 假言推理(AB ) A B 拒取式(AB ) B A 析取三段论(AB )B A,2019年4月27日星期六,38,常见推理定律（续）,假言三段论(AB)(BC) (AC) 等价三段论(AB)(BC) (AC) 构造性两难(AB)(CD)(AC) (BD) 构造性两难(特殊形式)(AB)(AB)(AA) B 破坏性两难(AB)(CD)(BD) (AC),2019年4月27日星期六,39,推理规则,前提引入规则：在证明的任何步骤上都可以引入前提 结论引入规则：在证明的任何步骤上所得到的结论都可以做为后继证明的前提 置换规则：在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都可以用与之等值的公式置换，得
17、到公式序列中又一个公式,2019年4月27日星期六,40,证明(举例),证明 (p(qr )pqr 方法一：直接证(p(qr)pq r1(p(qr)pq r (pqr)pq r (蕴涵等值式) (pq)r)pq r (德摩根律) (pq) (pq)(rpq)r (分配律) (rpq)r (矛盾律、同一律) (rpq) r (蕴涵等值式) r p qr(德摩根律)1(交换律、同一律),2019年4月27日星期六,41,证明(举例,续),证明 (p(qr )pqr 方法二：由前提推出结论(p(qr )pq (p(qr )p)q (结合律) (qr) q (假言推理) r (假言推理) 每步中所用的
18、“ ”和“”, “”不能换成“ ”,但“ ”可以换成成“”.因为“AB”意味着“AB”和“BA” 数理逻辑中常用的方法是“构造证明法”,2019年4月27日星期六,42,总结,等值式（16组、24条）幂等律、交换律、结合律、分配律、吸收律； 双重否定律、德 摩根律； 零律、同一律、排中律、矛盾律； 蕴涵等值式、等价等值式、假言易位、等价否定等值式 归谬论推理定律（9条） 附加、化简 假言推理、拒取式、析取三段论、假言三段论、 等价三段论、构造性两难(特殊形式)、破坏性两难,2019年4月27日星期六,43,个体、谓词与量词,将原子命题细分为主语和谓语； 主语是独立存在的个体,而谓语用来描述该个
19、体的性质或个体间的关系,这里我们称其为谓词. 量词用来表示数量和取值范围的词,如（存在量词）、 （全称量词）. 个体域: 个体变元的取值范围,取为全总个体域. 引入变量：个体变量、谓词变量,2019年4月27日星期六,44,一阶逻辑的字母表,个体常项: a, b, c, , a1, b1, c1, 个体变项: x, y, z, , x1, y1, z1, 函数符号: f, g, h, , f1, g1, h1, 谓词符号: F, G, H, , F1, G1, H1, 量词符号: , 联结词符号: , , , , 括号与逗号: (, ), ，,2019年4月27日星期六,45,谓词(predi
20、cate),谓词：表示性质、关系等；相当于句子中的谓语.用大写英文字母F,G,H,后跟括号与变元来 表示.例如：F(x): x是人.G(x,y): x与y是兄弟. n元谓词：含有n个变元.例如：F(x)是一元谓词, G(x,y)是二元谓词,2019年4月27日星期六,46,量词(quantifier),全称(universal)量词: “所有的”, “全部的”, 存在(existential)量词: “有一些的”, “某些的”, 唯一(unique)存在在量词: !“恰好存在一个”,2019年4月27日星期六,47,命题符号化,个体域(scope): 个体词的取值范围, 缺省(default)
21、采用全总个体域.全总个体域: 世界上的万事万物特性谓词: 表示所关注的对象的性质两种模式:x(M(x)G(x)x(M(x)G(x)其中M(x)是特性谓词,2019年4月27日星期六,48,命题符号化举例,例 所有的人都是要呼吸的。H(x) ：x 要呼吸. M(x) ：x 是人. x(M(x)H(x)例 每个学生都要参加考试。 Q(x) ：x 要参加考试. P(x) ：x 是学生.x (P(x)Q(x),2019年4月27日星期六,49,命题符号化举例(续),例 一些人是聪明的. 设M(x)：x是人，F(x)：x是聪明的. 符号化为x(M(x)F(x)例 存在一个数是质数. 设P(x)：x是数，
22、Q(x):x是质数. 符号化为x(P(x)Q(x),2019年4月27日星期六,50,命题符号化举例(续),例 设：F(x)：x是自然数。G(x)：x是偶数。H(x) ： x是奇数。I(x,y)：x=y。“有些自然数是偶数”. x(F(x)G(x)“既有奇数又有偶数” . xH(x)yG(y)“存在既奇又偶的数” . x(H(x)G(x)“存在唯一的自然数0”. !x(F(x)I(x,0),2019年4月27日星期六,51,合式公式（举例）,x(F(x)y(G(y)H(x,y)F(f(a,a),b) 约定：省略多余括号 最外层 优先级递减： , ; ; ,; ,2019年4月27日星期六,52
23、,合式公式中的变项,量词辖域: 在xA, xA中, A是量词的辖域. 例如: x(F(x)y(G(y)H(x,y) 指导变项: 紧跟在量词后面的个体变项.例如: x(F(x)y(G(y)H(x,y) 约束出现: 在辖域中与指导变项同名的变项. 例如: x(F(x)y(G(y)H(x,y)自由出现: 既非指导变项又非约束出现.例如: y(G(y)H(x,y),2019年4月27日星期六,53,例子,H(x,y)xF(x)y(G(y)H(x,y)x 与y 是指导变项x与y是约束出现x与y是自由出现,2019年4月27日星期六,54,解释(interpret),对一个合式公式的解释包括给出 个体域
24、谓词 函数 个体常项 的具体含义,2019年4月27日星期六,55,解释举例, F(f(a,a),b) 解释1： 个体域是全体自然数; a: 2; b: 4; f(x,y)=x+y; F(x,y): x=y原公式解释成: “2+2=4”。 解释2： 个体域是全体实数; a: 3; b: 5;f(x,y)=x-y; F(x,y): xy原公式解释成: “3-35”。,2019年4月27日星期六,56,一阶逻辑公式分类,永真式:在各种解释下取值均为真(逻辑有效式) 命题逻辑永真式: 在各种赋值下取值均为真(重言式) 永假式:在各种解释下取值均为假(矛盾式) 命题逻辑永假式: 在各种赋值下取值均为真
25、(矛盾式) 可满足式：非永假式,2019年4月27日星期六,57,一阶逻辑等值式(定义),等值： AB读作：A等值于B 含义：A与B在各种解释下取值均相等 AB 当且仅当AB是永真式 例如： xF(x)xF(x),2019年4月27日星期六,58,一阶逻辑等值式,命题逻辑等值式的代换实例与量词有关的 有限个体域量词消去量词否定 量词辖域收缩与扩张量词分配 与变项命名有关的 换名规则 代替规则,2019年4月27日星期六,59,一阶逻辑等值式代换实例,在命题逻辑等值式中, 代入一阶逻辑公式所得到的式子, 称为原来公式的代换实例. 例：AA, 令A=xF(x), 得到xF(x)xF(x)例：ABA
26、B, 令A=F(x), B=G(y), 得到F(x)G(y)F(x)G(y),2019年4月27日星期六,60,有限个体域上消去量词,设个体域为有限集D=a1, a2, an, 则 xA(x)A(a1)A(a2)A(an) xA(x)A(a1)A(a2)A(an) 例: 个体域D=a,b,c, 则xyF(x,y)x (F(x,a)F(x,b)F(x,c) (F(a,a)F(a,b)F(a,c)(F(b,a)F(b,b)F(b,c)(F(c,a)F(c,b)F(c,c),2019年4月27日星期六,61,量词否定等值式,xA(x)xA(x)xA(x)xA(x),2019年4月27日星期六,62,
27、量词辖域收缩与扩张(),x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(BA(x) BxA(x) 说明: B中不含x的自由出现 例1: x(F(x)G(y) xF(x)G(y) 例2: xy(F(x)G(y) x(F(x)yG(y) xF(x)yG(y),2019年4月27日星期六,63,量词辖域收缩与扩张(),x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(A(x)B) xA(x)B x(BA(x) BxA(x) 说明: B中不含x的出现 例1: x(F(x)G(y) xF(x)G(y) 例2: xy(F(x)G(y)
28、x(F(x)yG(y) xF(x)yG(y),2019年4月27日星期六,64,量词分配,x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x),2019年4月27日星期六,65,量词分配(反例),x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) 个体域为全体自然数; A(x): x是偶数 B(x): x是奇数; 左1, 右0 x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) x(A(x)B(x) xA(x)xB(x) 个体域为全体自然数; A
29、(x): x是偶数 B(x): x是奇数; 左0, 右1,2019年4月27日星期六,66,前束范式,前束范式具有如下形式Q1x1Q2x2QkxkB, 其中Qi(1ik)为或,B中不含量词 求前束范式的方法：利用等值式利用换名规则 换名规则:把某个指导变项和其量词辖域中所有同名的约束出现, 都换成某个新的个体变项符号.,2019年4月27日星期六,67,前束范式举例,求xF(x)xG(x,y)的前束范式 解 xF(x)xG(x,y) xF(x) xG(x,y) xF(x) zG(z,y) x(F(x) zG(z,y) xz(F(x)G(z,y) xz(G(z,y)F(x),2019年4月27日
30、星期六,68,一阶逻辑推理定律(定义),推出： AB 读作：A推出B 含义：A为真时, B也为真 AB 当且仅当AB是永真式 例如： xF(x) xF(x),F,2019年4月27日星期六,69,一阶逻辑推理定律(来源),命题逻辑推理定律的代换实例 基本等值式生成的推理定律 其他的一阶逻辑推理定律xA(x)xB(x) x(A(x)B(x)x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)x(A(x)B(x) xA(x)xB(x),2019年4月27日星期六,70,一阶逻辑推理定律（举例）,命题逻辑推理定律的代换实例例如: 假言推理规则:(AB )AB代入A=xF(x), B=yG(y), 得到(xF(x)yG(y)xF(x)yG(y),2019年4月27日星期六,71,一阶逻辑推理定律(举例、续),基本等值式生成的推理定律即由AB 可得AB 和BA例如: 量词分配等值式:x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)可得x(A(x)B(x) xA(x)xB(x)xA(x)xB(x) x(A(x)B(x),2019年4月27日星期六,72,总结,一阶逻辑等值式（6组） 有限个体域量词消去； 量词否定； 量词辖域收缩与扩张； 量词分配； 换名规则； 代替规则 一阶逻辑推理定律,
