1、我 学 习 我 快 乐,角平分线的性质,思考题1,给你一个线段，你如何找出它的中点给你一个角，你如何画出它的角平分线,如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，CB=CD,将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE,AE就是角的平分线。你能说明它的道理吗？,A,B,C,D,E,1,2,根据SSS, 可知两个三角形全等,1=2,从上面的探究你能得出作一个角的角平分线的方法吗？,已知：AOB,求作：AOB的平分线,作法：（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M,交OB于N;,（2）分别以M、N为圆心，大于 MN的长为半径作弧，两弧在AOB的内部交于点C.,(3)作射
2、线OC.射线OC即为所求。,你能说明其中的道理吗？,A,M,O,B,N,C,做P108页的练习，并回答问题。,已知：OC是AOB 的平分线，P在OC上， PDOA于D， PEOB于E，求证：PD=PE,分析：仔细观察图形，思考证明两条线断 相等的方法有哪些？,PDO PEO吗？,角的平分线上的点到角的两 边的距离相等,由此我们得到角平分线的性质定理：,你能用三角形全等证明这个性质吗？,已知：如图，OP是AOB的平分线，点P在OC上， PDOA，PEOB，垂足分别为D，E 求证：PD=PE,定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,证明: 1=2 , OP=OP PDO=PEO=90
3、PDOPEO (AAS) PD=PE (全等三角形的对应边相等),C,1,2,该定理的题设和结论分别是什么？,角平分线的性质定理,定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。,定理应用所具备的条件：,定理的作用：,证明线段相等。,应用定理的书写格式：,OP 是 的平分线,PD = PE,（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。）,推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个。,如果交换定理1的题设、结论，能得到怎样的命题，这是一个真命题吗？,逆命题： 到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。,已知：如图，PDOA，PEOB，垂足分别是D，E， PD=PE。,求证：点P
4、在AOB的平分线上。,证明: 在RtODP和RtOEP中, ODP=OEP=90 OP=OP, PD=PE RtOPDRtOPE (HL),到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上。,定理 2,定理 2的应用书写格式：,OP 是 的平分线,PD= PE,（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）,用途：判定一条射线是角平分线,O,A,B,E,D,思考：,如图所示OC是AOB 的平分线,P 是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?,C,P,PD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等,例：如图，ABC的角平分线BM， CN相交于点
5、P。 求证：点P到三边AB，BC， CA的距离相等。,B,A,C,P,M,N,例题展示：,证明： 过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC， CA，垂足为D、E、F，,B,A,C,P,D,E,F,M,N,BM是ABC的角平分线，点P在BM上， PDAB， PEBC,PD=PE,同理 PE=PF,PD=PE=PF,即点P到三边AB，BC，CA的距离相等,例1 已知：如图、E是BAC平分线上的一点，EBAB， ECAC，B，C分别是垂足。求证：EBCECB,证明：, E是BAC平分线上的一点，EBAB，ECAC,EB=EC,（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）,EBCECB,（在一个
6、三角形中，等边对等角）,想一想：题中BC 被AE垂直平分吗？,ABEACERt 1 2,34,又EB=EC, AE垂直平分BC,如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为500米。你能尝试确定工厂的位置吗？并说明理由。,到公路的距离与到河岸的距离相等,工厂在河岸与公路的角平分线上,（到一个角的两边的距离相等的点， 在这个角的平分线上）,以角的顶点为端点在角平分线上取一段等于2.5,则另一点就是工厂的位置。,例.已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,证明：过点P作PD 、PE、PF分
7、别垂直于AB、BC、CA，垂足为D、E、F BM是ABC的角平分线，点P在BM上（已知） PD=PE（在角平分线上的点到角的两边的距离相等） 同理 PE=PF. PD=PE=PF. 即点P到边AB、BC、CA的距离相等,D,E,F,A,B,C,P,M,N,结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。,这个交点叫三角形的内心,已知：如图，ABC的B的外角平分线BD和C的外角平分线CE相交于点F。 求证：点F在DAE的平分线上。,A,B,做一做,F,E,D,C,那么点F到ABC三边的距离相等吗？,如图，有三条交错的货运铁路，要在铁路附近造 一个货运仓库，要求仓库到三条铁路的距离相等， 问，理论上
8、有几个地点可作为仓库的位置？,4 个,2 如图，DEAB，DFBC，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= 。,60,BF,3.如图，在ABC中，C=90，DEAB，1=2，且AC=6cm，那么线段BE是ABC的 ，AE+DE= 。,1,2,A,B,E,D,C,角平分线,6,4.如图，在ABC中，C=90，AC=BC，AD是BAC的平分线，DEAB于E。求证：DBE的周长等于AB的长。,A,B,E,D,C,如图所示，在ABC中，C=90，AD是BAC的平分线交BC于D，BC=15，且CD：DB=1：2，则点D到AB的距离为_。,A,B,D,C,在V型公路（AOB）内部，有两个村庄C、D。你能选择一个纺织厂的厂址P，使P到V型公路的距离相等，且使C、D两村的工人上下班的路程一样吗？,O,A,B,. C,. D,P,活动与探究: 已知：如图，1=2，P为BN上一点，且PDBC于D，AB+BC=2BD 求证：BAP+BCP=180,耐心地想一想,如图，EG，FG分别MEF的NFE的平分线，交点是G。PB，PC分别是MBC和NCB的平分线，交点是P，F，C在AN上，B，E在AM上，如果G=68，求P的度数。,
