1、第六章 递归算法,掌握： 递归的概念：什么是递归，种类，及递归求解方法 递归过程的机制与利用递归工作栈实现递归的方法 利用递归解决问题的分治法和回溯法了解： 迷宫问题的递归思路及利用栈实现的非递归解法,一、递归的概念定义： 若一个对象部分地包含它自己，或用它自己给自己定义，则称这个对象是递归的；而且一个过程直接地或间接地调用自己，则称这个过程是递归的过程。,应用： （1）用于某些概念的定义： 阶乘： if ( n0 ) n ! = n ( n-1 ) !if ( n=0 ) n ! = 1 单链表结点：typedef struct nodedatatype datastruct node *
2、Link;slnode 二叉树：二叉树是数据元素的有穷集合，它或者为空集（空 二叉树）， 或者由一个根元素和其下的两棵互不相交的二叉树（左子树和右子树）构成。,递归算法的一般形式：void p (参数表) if （递归结束条件）可直接求解步骤；-基本项else p（较小的参数）；-归纳项,递归算法的优点：易编程、可读性好、易检验可用归纳思维方法来理解和检验递归算法，但有一个基本条件和两个步骤：基本条件：规格说明必须严格、精确地规定算法的功能、入 / 出口信息、对外层量或全局量的影响步骤一：归纳基始验证算法对于最简单情况（递归出口）的正确性步骤二：由归纳假设进行归纳假设算法中的递归调用 能正确实
3、现规格说明之规定，然后验证整个算法能否实现规格说明之规定,例：求n! =long Factorial(long n)if (n=0) return 1;else return n*Factorial(n-1);,1， n=0 n*(n-1)！ n0,Factorial(4);,例5-3：有5人坐在一起，问第5号人多少岁？他说比第4号人大2岁，问第4号人他又说比第3号人大2岁，依次下去，问到最后一个人，他说他已10岁，请问第5号人多大？10 n=1f(n)= f(n-1)+2 n1int age (int n) int c;if (n=1) return 10;else return age(n
4、-1)+2; ,二分查询,例：在n个以排好序（设为从小到大）的数据中（数或字符串）中，查询某一个数据。如果找到了，就指出其在n个数中的位置；否则给出无该数据的信息，如给出“1”。 （1）问题分析：当问题的规模较大时，可以将问题分为同类型的规模较小的问题，第归的进行求解。采用二分法求解本问题的基本思路是：设数列为a1,a2,an，被查找的数为x，则查找首先对am(m=(n+1)/2)进行，于是得到如下三种情形：若x am ，则x可能在区间 am1, an；若x am ，则x可能在区间 a1, am-1 ；若x= am,则am即为查找的数，求解结束。,用递归函数实现上述查找:定义递归函数binsr
5、ch(s,r,x) ,s是所要搜索数列的起始下标,r是终止下标，x为所要搜索的值。在binsrch函数中实现这样的功能：首先查找am=(n+1)/2和x的关系。如果xam ，那么就递归调用binsrch(m+1,r,x)，否则如果x am 那么就递归调用binsrch(r,m-1,x)，否则如果x= am ，那么就输出当前m的值，并返回，再否则就返回1，代表数列中没有与x相等的数。,6.3 递归算法的设计方法,Hanoi汉诺塔问题。有三根针A，B，C，针上有64个盘子，盘子大小不等，大的在下，小的在上。要求把这64个盘子从A针移到C针，在移动过程中可以借助B针，每次只允许移动一个盘子，且移动过
6、程中有三根针上都保持大盘在下，小盘在上。要求编程序来实现。实现本题的三个步骤： 借C针将A针上的n-1盘子移到B针 将A针上的盘子移到C针 借A针将B针上的n-1盘子移到C针,将A针上的盘子移到C针 n=1f(n)= 将n-1个盘从一针移到另一针上 n1,例 Hanoi问题,void move(char getone, char putone) printf(“%c-%cn“,getone,putone); void hanoi(int n,char one,char two,char three) if(n=1) move(one,three);else hanoi(n-1,one,thre
7、e,two);move(one,three);hanoi(n-1,two,one,three); main() int m;printf(“Input the number of disks:“);scanf(“%d“, ,运行结果： 只有一个盘子的情况：(最简1步) Input the number of disks: 1 The step to moving 1 disks A-C 有二个盘子的情况：(最简3步) Input the number of disks: 2 The step to moving 2 disks A-B A-C B-C 有三个盘子的情况：(最简7步) Input
8、 the number of disks:3 The step to moving 3 disks A-C B-A A-B B-C C-B A-C A-C,6.4 递归过程与运行时栈,为了保证递归调用的正确性，需要保存调用点的现场（返回地 址、局部变量、被调用函数的参数等），以便正确地返回，并且按 先进后出的原则来管理这些信息。在高级语言（编译程序）中，是 通过利用“递归工作栈”来实现递归调用的。f(n) f(n-1) f(n-2) f(1) f(0)调用时执行入栈操作保存现场，返回时执行出栈操作恢复现场,计算 4 ! 递归过程图示：,下图中 Pi 代表现场信息，栈元素由现场信息和参数构成f(
9、4)=4*f(3) f(3)=3*f(2) f(2)=2*f(1) f(1)=1*f(0) f(0)=1 Push(e4) Push(e3) Push(e2) Push(e1)f(4)= 4 * f(3) f(3)= 3 *f(2) f(2)= 2 *f(1) f(1)= 1 * f(0)一般来说，递归方法的执行效率较低，但编程效率较高，因此 常用来构建快速原型。另外递归结构一般可以转化成循环结构（有 时需要栈操作的配合）。试实现上述阶乘计算的转化（要求用栈）。,Pop(e1),Pop(e2),Pop(e3),Pop(e4),6.5 递归算法的效率分析,long fib(int n) if (
10、n=0|n=1) return nelse return fib(n-1)+fib(n-2);,一般从递归过程改为非递归过程的方法是先根据递归算法 画出程序流程图，然后建立循环结构。,long Fib(long n) if (n=1) return n;f0=0, f1=1; for (i=2; i=n; i+) f2 =f1 +f0;f0=f1; f1=f2;return f2;,Fib(6) n=6 0、1、,3、,5、,8,2、,1、,6.7 设计举例 例 6-5 : void display (int n) int i;for (i=1;i0) display (n-1);,例6-6: int comm(int n, int k) if (nn) return 0;if (k=0) return 1;if (n=k) return 1;return comm(n-1,k-1)+comm(n-1,k);,例6-7: int gcd(int n, int m) if (nn) return gcd(m,n);else return gcd(m,n%m); ,
