1、,在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率.,一、条件概率和乘法公式,1. 条件概率的概念,如在事件B发生的条件下求事件A发生的概率，将此概率记作P(A|B).,一般地 P(A|B) P(A),第三节 条件概率、全概公式和贝叶斯公式,P(A )=1/6，,例如，掷一颗均匀骰子，A=掷出2点，,B=掷出偶数点，,P(A|B)=？,已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B，,P(A|B)= 1/3.,B中共有3个元素,它们的出现是等可能的,其中只有1个在集A中.,容易看到,P(A|B),于是,P(A )=3/10，,又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7
2、件正品中有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件，记,B=取到正品,A=取到一等品，,P(A|B),则,P(A )=3/10，,B=取到正品,P(A|B)=3/7,本例中，计算P(A)时，依据的前提条件是10件产品中一等品的比例.,A=取到一等品，,计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件.,这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题.,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有(1).,设A、B
3、是两个事件，且P(B)0,则称(1),2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A的条件概率.,3. 条件概率的性质(自行验证),2)从加入条件后改变了的情况去算,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,P(A|B）=,B发生后的缩减 样本空间所含样 本点总数,在缩减样本空 间中A所含样 本点个数,例1 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,解法1,解法2,解 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用 定义,在B发生后的缩减样本 空间中计算,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (
4、2),而 P(AB)=P(BA),5 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0 , 则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,请看下面的例子,例2 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中 300件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,所求为P(AB).,甲、乙共生产
5、 1000 个,189个是 标准件,300个 乙厂生产,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,所求为P(AB) .,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是 乙厂生产的,问它 是标准件的概率 是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,例3 设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解 设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为 P(B|A) .,条件概率P(A|B)与P(A)
6、的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的 ,设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A) 与 P(A |B) 的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率 P(A|B) 是在原条件下又添加 “B 发生 ” 这个条件时A发生的可能性大小, 即 P(A|B) 仍是概率.,乘法公式应用举例,一个罐子中包含b个白球和r个红球. 随机地抽取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进 c 个与所抽出的球具有相同颜色的球. 这种手续进行四次 ，试求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率.,（波里亚罐子模型）,于是W1W2
7、R3R4表示事件“连续取四个球，第一、第二个是白球，第三、四个是红球. ”,随机取一个球，观看颜色后放回罐中，并且再加进c个与所抽出的球具有相同颜色的球.,解 设 Wi=第i次取出是白球, i=1,2,3,4,Rj=第j次取出是红球， j=1,2,3,4,用乘法公式容易求出,当 c 0 时，由于每次取出球后会增加下一次也取到同色球的概率. 这是一个传染病模型. 每次发现一个传染病患者，都会增加再传染的概率.,=P(W1)P(W2|W1)P(R3|W1W2)P(R4|W1W2R3),P(W1W2R3R4),有三个箱子,分别编号为1,2,3.1号箱装有1个红球4个白球,2号箱装有2红3白球 , 3
8、号箱装有3 红球. 某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球,求取得红球的概率.,解 记 Ai=球取自i号箱,i=1,2,3; B =取得红球,B发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，,其中 A1、A2、A3两两互斥,看一个例子:,二、全概公式和贝叶斯公式,1、全概公式,将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式.,对求和中的每 一项运用乘法 公式得,P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B),代入数据计算得：P(B)=8/15,运用加法公式得到,即 B= A1B+A2B+A3B， 且 A1B、A2B、A3B 两两互斥,一个事件发生.,某一事件A的发
9、生有各种可能的原因 ，如果A是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则A发生的概率是,每一原因都可能导致A发生，故A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式.,P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi),全概率公式.,我们还可以从另一个角度去理解,由此可以形象地把全概率公式看成为“由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系 .,诸Bi是原因 B是结果,例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的
10、概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率.,设A=飞机被击落Bi=飞机被i人击中, i=1,2,3,由全概率公式,则 A=B1A+B2A+B3A,解,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2),+ P(B3)P(A |B3),可求得,为求P(Bi ) , 设 Hi=飞机被第i人击中, i=1,2,3,将数据代入计算得,P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14.,P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3),=0.458,=0.360.2+0.41 0.6+0.14 1,即飞机
11、被击落的概率为0.458.,于是,该球取自哪号箱的可能性最大?,这一类问题是“已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小.,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.,或者问:,2、贝叶斯公式,看一个例子:,某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率.,记 Ai=球取自i号箱, i=1,2,3; B =取得红球,求P(A1|B),运用全概率公式 计算P(B),将这里得到的公式一般化，就得到,贝叶斯公式,该公式于1763年由贝叶斯 (Bayes) 给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下
12、，寻找导致B发生的每个原因的概率.,贝叶斯公式在实际中有很多应用.,它可以帮助人们确定某结果（事件 B）发生的最可能原因.,例 某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大?,则 表示“抽查的人不患癌症”.,已知 P(C)=0.005,P( )=0.995,P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04,求解如下:,设 C=抽查的人患有癌症，A=试验结果是阳性，,求 P(C|A).,现在来分析一下结果的意义.,由贝叶斯公式，可得,代入数据计算得 P(CA)=
13、 0.1066,2. 检出阳性是否一定患有癌症?,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义？,如果不做试验,抽查一人,他是患者的概率,患者阳性反应的概率是0.95，若试验后得阳性反应 则根据试验得来的信息，此人是患者的概率为,从0.005增加到0.1066,将近增加约21倍.,1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有意义.,P(CA)= 0.1066,P(C)=0.005,试验结果为阳性 , 此人确患癌症的概率为P(CA)=0.1066,2. 即使你检出阳性，尚可不必过早下结论你有癌症，这种可能性只有10.66% (平均来说，1000个人中大约只有107人确患癌症)，此时医生常要通过再试验来确认.,P(Ai) (i=1,2,n) 是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识.,当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发 生可能性大小P(Ai | B)有了新的估计.,贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化,在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率.,
