1、第一章 命题逻辑 17 对偶与范式,要求：掌握对偶与范式（都针对受限公式），会求命题公式的主析取范式和主合取范式。重点和难点：求命题公式的主析取范式和主合取范式。,复习命题定律。表1-4.8（都是受限公式）,1-7 对偶与范式 一、对偶：,命题公式的最小联结词组为,或, ，但为方便，命题公式常同时包含, 。这样的公式与存在对偶规律。上表中成对出现的定律就是对偶性质的反映，即对偶式。利用对偶式的命题定律，可以扩大等价式的个数，也可减少证明的次数。,受限公式：只含,的命题公式,1、对偶的定义：,在给定的命题公式（受限公式）中，将联结词换成 ，将换成 ，若有特殊变元F和T亦相互取代，所得公式A*称为
2、A的对偶式 (dual)（(A*)* A ）,例题1:写出下列表达式的对偶式。 (PQ)R (A) (PQ)T (B) (PQ)(P(QS) (C),解：这些表达式的对偶式是： （A）(PQ)R （B）(PQ)F （C）(PQ)(P(QS),例题2：求 PQ，PQ 的对偶式,解：因为PQ (PQ)， 故PQ 的对偶式为(PQ)，即 PQ 。同理PQ的对偶式是PQ 。,例题3 设A*（S，W，R）是 S (W R) ，证明A*（S， W， R） A（S，W，R）,.因此 A*（S， W， R） A（S，W，R）,证明 由于A*（S，W，R） S (W R) ，,所以 A*（S， W， R） S
3、(W R)，,而 A（S，W，R） S (W R) ，,故A（S，W，R） (S (W R), S (W R),由此可推原式与对偶式的关系,定理1-7-1(对偶定理) 设A和A*互为对偶式，P1，P2，Pn是出现在A和A* 中的原子命题变元，则 A(P1，P2，Pn)A*(P1，P2，Pn) A(P1，P2，Pn)A*(P1，P2，Pn)表明，公式A的否定等价于其命题变元否定的对偶式； 表明，命题变元否定的公式等价于对偶式之否定。,2、原式与其对偶式的关系,证明:根据德摩根定律： (PQ)PQ ，(PQ)PQ ， 又因TF，FT， 这正好表明应用于（或）上将原子命题变元换为他们否定的（或），故
4、： A(P1,P2,，P n ) A*(P1，P2，P n)。,令Qi = Pi，则Pi = Qi （i=1，2，n）。 故：A(Q1,Q2,Q n) A*(Q1,Q2,Q n )。 即：A（Q1,Q2,Q n） A*(Q1,Q2,Q n )。二式均得证。,定理1-7-2 ：设P1，P2，Pn是出现在公式A和B中的所有原子变元，如果A B ，则A * B * 。证明：设P1,P2,P n 是出现在A，B中的所有原子变元。 因A B ,即A(P1,P2,，P n ) B(P1，P2，P n )， 故A(P1，P2，P n ) B(P1，P2，P n )是重言式。 故A(P1,P2,P n）B(P
5、1,P2,P n)也是重言式， 故A(P1，P2，P n)B(P1，P2，P n)。由定理1-1-7.1 A(P1,P2,P n) A*(P1,P2,P n )，B(P1,P2,Pn)B*(P1,P2,，Pn )， 由合式公式的等价具有传递性，可得 A*（P1，P2，Pn ）B*(P1，P2，Pn )。 由1-4习题9可知A*B*。,注:将等价改为蕴含则结果为何?,有了等价式、代入规则、替换规则和对偶定理，便可以得到更多的永真式，证明更多的等价式，使化简命题公式更为方便。,二、范式(因每个公式的等价式都太多,所以需规范) （一）一般范式（不唯一） 1、合取范式,定义1-7-2：一个命题公式称为
6、合取范式（conjunctive normal form），当且仅当它具有型式：A1A2A3.An (n1)其中A1，A2，An都是由命题变元或其否定所组成的析取式。,2、析取范式,定义1-7-3:一个命题公式称为析取范式（disjunctive normal form），当且仅当它具有型式： A1A2.An (n1)其中A1，A2，An都是由命题变元或其否定所组成的合取式。,例如， 公式P，Q，PQ和PQP等都是简单合取式，而P，Q和P为相应的简单合取式的合取项；公式P，Q，PQ，PQP等都是简单析取式，而P，Q和P为相应简单析取式的析取项。注意，一个命题变元或其否定既可以是简单合取式，也可
7、是简单析取式，如例中P，Q等。,3、一般范式的求法,任何一个命题公式，求它的合取范式或析取范式，可以通过下面三个步骤进行： （1）将公式中的联结词化归成，及。（2）利用(P)P和德摩根律将否定符号直接到各个命题变元之前。（3）利用分配律、结合律将公式归约为合取范式或析取范式。,例题 3 求 (P(QR)S 的合取范式。 解：例题 4 求 (PQ) (PQ) 的析取范式。解：,4.范式的应用,利用析取范式和合取范式可对公式进行判定。 *定理1.6.4 公式A为永假式的充要条件是A 的析取范式中每个简单合取式至少包含一个命题变元及其否定。 *定理1.6.5 公式A为永真式的充要条件是A 的合取范式
8、中每个简单析取式至少包含一个命题变元及其否定。,（二）主范式（唯一）,范式基本解决了公式的判定问题。但由于范式不唯一性，对识别公式间是否等价带来一定困难，而公式的主范式解决了这个问题。下面将分别讨论主范式中的主析取范式和主合取范式。,1、主析取范式 （1）小项的定义,定义1-7-4：n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项或极小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。,例如，两个命题变元P和Q，其构成的小项有PQ，PQ，PQ和PQ； 而三个命题变元P、Q和R，其构成的小项有PQR，PQR，PQR，PQR，PQR ，PQR，PQR，PQR。 可以证明，n个命题变元共形
9、成2n个小项。,（2）小项的编码,使小项为真的真值指派对应的二进制数(因编码必唯一,而为真的只有一种),如果将命题变元按字典序排列，并且把命题变元与1对应，命题变元的否定与0对应，则可对2n个小项依二进制数编码，记为mi，其下标i是由二进制数转化的十进制数。用这种编码所求得2n个小项的真值表，可明显地反映出小项的性质。 表1.7.1和表1.7.2分别给出了2个命题变元P和Q、3个命题变元P、Q和R的小项真值表。,（0）没有两个小项是等价的，即是说各小项的真值表都是不同的； （1）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为T，在其余2n-1种指派情况下均为F。 （2）任意两个不同小项的合取(为
10、假的可能性极大)式永假。mi mj F（ij） （3）全体小项的析取(为真的可能性极大)式永为真，,（3）小项的性质(通过真值表可得),（4）主析取范式的定义,对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式（major disjunctive normal form）。,（5）主析取范式的求法 a.真值表法,定理1-7、3 ：在真值表中，一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取，即为此公式的主析取范式。,因此A B。,证明: 设给定公式为A，其真值为T的指派所对应的小项为m1，m2，mk，这些小项的析取式记为B。,要证A B，只要证A与B在相应
11、指派下具有相同真值。,首先对A为T的某一指派，其对应的小项为mi， mi包含在B中,则因为mi为T，而m1，m2，mi-1mi+1，mk均为F，故B为T。,其次，对A为F的某一指派，其对应的小项不包含在B中，即m1，m2，mk均为F，故B为F。,例题6 求公式P Q，P Q，和 (P Q ）的主析取范式。 解 三公式的真值表如下：,故 P Q (P Q )(P Q ) (P Q),P Q (P Q )(P Q ) (P Q), (P Q) (P Q )(P Q ) (P Q),例题7 设一个公式A的真值表如下,求公式A的主析取范式。,公式A的主析取范式为： A (P Q R ) (P Q R
12、)(P Q R),b.等价公式推出法,基本等价公式推出法的推演步骤可归纳为： （1）化归为析取范式。 （2）除去析取范式中所有永假的析取项 （3）将析取式中重复出现的合取式和相同的变元合并（4）对合取式补入没有出现的命题变元，即添加(PP) 式，然后，应用分配律展开公式,(P F P),(幂等率),(P T P),例题8 求 (PQ ) (PR) (QR)的主析取范式。, (PQR) (PQR) ) (PR Q ) (PR Q) ) (QR P) (QR P), (PQR) (PQR) (PQ R ) (P Q R),例题9 试求P (P Q) ( Q P)的主析取范式。,解 P (P Q)
13、( Q P), P (P Q) ( QP) （红色处用吸收率更简）, P (P QP) (Q QP), P (Q P), P (Q Q ) (Q P), (P Q) (P Q ) (P Q),对于一个命题公式的主析取范式，如将其命题变元的个数及出现次序固定后，则此公式的主析取范式便是唯一的。因此，给定任两个公式，由主析取范式可以方便地看出两个公式是否等价。,2、主合取范式 （1）大项的定义,定义1-7、6： n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。,例如，由两个命题变元P和Q，构成大项有PQ，PQ，PQ，PQ； 三个命题变元P，
14、Q和R，构成PQR，PQR，PQR，PQR，PQR，PQR，PQR，PQR。 能够证明，n个命题变元共有2n个大项。,（2）大项的编码,使大项为假的真值指派对应的二进制数若n=2 M00= PQ ， M01= PQ M10= PQ ， M11=PQ 若n=3 M000= PQ R ， M100= PQ R M001= PQ R， M101=PQ R M010= PQ R ， M110=PQ R M011= PQ R， M111=PQR,如果将n个命题变元排序，并且把命题变元与对应，命题变元的否定与对应，则可对2n个大项按二进制数编码，记为Mi，其下标i是由二进制数化成的十进制数。用这种编码所求
15、的2n个大项的真值表，能直接反映出大项的性质。 表1.7.3给出了2个命题变元P和构成所有大项的真值表。,(0)没有两个大项是等价的。 （1）每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真值为F，在其余2n-1种指派情况下均为T。 （2）任意两个不同大项的析取式为永真。Mi Mj T （ij） （3）全体大项的合取式永为假，,（3）大项的性质,（4）主合取范式的定义,对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则该等价式称作原式的主合取范式（major conjunctive normal form）， 。,（5）主合取范式的求法 a.真值表法,定理1-7、4 ： 在真值表中，一
16、个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取，即为此公式的主合取范式。,例题10 利用真值表技术求(P Q ) (P R )的主合取范式与主析取范式。 解 公式(P Q ) (P R )的真值表如下：,主合取范式为：(P Q ) (P R ) (P Q R ) (P Q R) (P Q R) (P QR)主析取范式为： (P Q ) (P R ) (P Q R ) (P Q R) (P Q R) (P Q R),一个公式的主合取范式，亦可用基本等价式推出，其推演步骤为： （1）化归为合取范式。 （2）除去合取范式中所有为永真的合取项（3）合并相同的析取式和相同的变元（4）对析取式补入没有出现的命题
17、变元，即添加(PP) 式，然后，应用分配律展开公式,b.等价公式推出法,(P T P),(幂等率),(P F P),例题11 化 (PQ ) (PR) 为主合取范式(可用一步分配率更简)。, (P Q R) (P Q R)(P Q R)(P Q R), (Q P R) (Q P R)(P R Q) (P R Q)(Q R P)(Q R P), (Q P (RR)(P R (QQ) (Q R (PP), (Q P)(P R)(Q R), (P P)(Q P)(P R)(Q R), (PQ) P)(PQ) R),解 (PQ ) (PR),由于主范式是由小项或大项构成，从小项和大项的定义，可知两者有
18、下列关系： miMi Mimi 因此，主析取范式和主合取范式有着“互补”关系，即是由给定公式的主析取范式可以求出其主合取范式。,.主析取范式与主合取范式之间的关系,由此可知，从A的主析取范式求其主合取范式的步骤为： (a)求出A的主析取范式中没有包含的小项。 (b) 求出与(a)中小项的下标相同的大项。 (c) 做(b)中大项之合取，即为A的主合取范式。,(从主合取求主析取一样),例如，(PQ)Qm1m3=1，3,则(PQ)QM0M2=0，2,（1）判定问题 根据主范式的定义和定理，也可判定含n个命题变元的公式，其关键是先求出给定公式的主范式；再按下列条件判定: (a)若A，或A可化为与其等价
19、的、含2n个小项的主析取范式，则A为永真式。 (b)若A，或A可化为与其等价的、含2n个大项的主合取范式，则A为永假式。 (c)若A不与或者等价，且又不含2n个小项或者大项，则A为仅可满足式。,.主范式的应用,利用主范式可求解判定问题或证明等价式成立。,（2）证明等价式成立：因任一公式的主范式唯一，故将给定的公式求出其主范式，若主范式相同，则给定两公式是等价的。 （还有其它应用题的求解）,附加,1、一个公式为永真（永假）式的充要条件是它的主析（合）取范式包含了所有的小（大）项，而主合（析）取范式为空公式。 2、两个公式等价的充要条件是它们的任一种主范式相同。 3、主析取范式与主合取范式的关系：
20、一个公式的主析取范式包含的最小项的编码和主合取范式所包含的大项的编码刚好在0-2n-1之间互补。 4、一个公式的主析取范式包含的最小项的编码和它的否定的主合取范式所包含的大项的编码相同。 5、n个变元可构造含T（F）在内的 个不同的主合（析）取范式 6、任一个公式都可化为与之等价的两种范式，且都可唯一地化为与之等价的主范式。,n,小结 本节主要内容对偶式 在给定的命题公式中，将联结词换成，将换成 ，若有特殊变元F和T亦相互取代，所得公式A*称作A的对偶式。合取范式 一个命题公式称为合取范式，当且仅当它具有形式：A1 A2 An， （n1）其中A1，A2，An都是由命题变元或其否定所组成的析取式
21、。析取范式 一个命题公式称为析取范式，当且仅当它具有形式：A1 A2 An， （n1）其中A1，A2，An都是由命题变元或其否定所组成的合取式。,小项 n个命题变元的合取式，称作布尔合取或小项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。大项 n个命题变元的析取式，称作布尔析取或大项，其中每个变元与它的否定不能同时存在，但两者必须出现且仅出现一次。小项性质： （1）每一个小项当其真值指派与编码相同时，其真值为T，在其余2n-1种指派情况下均为F。 （2）任意两个不同小项的合取式永为F。 （3）全体小项的析取式永为T。大项性质： （1）每一个大项当其真值指派与编码相同时，其真
22、值为F，在其余2n-1种指派情况下均为T。 （2）任意两个不同大项的析取式为永T。 （3）全体大项的合取式必为永为F。,主析取范式 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由小项的析取所组成，则该等价式称作原式的主析取范式。主合取范式 对于给定的命题公式，如果有一个等价公式，它仅由大项的合取所组成，则该等价式称作原式的主合取范式。,定理1-7.1 设A和A*是对偶式，P1， P2 ，Pn是出现在A和A*中的原子变元，则 A( P1, P2 ,，Pn ) A*( P1， P2 ，,Pn ) A( P1, P2 ,Pn ) A*( P1, P2 ,，Pn ) 定理1-7.2 设P1， P2 ，
23、Pn是出现在公式A和B中的所有原子变元，如果A B，则A* B*。 定理1-7.3 在真值表中,一个公式的真值为T的指派所对应的小项的析取,即为此公式的主析取范式。定理1-7.4 在真值表中,一个公式的真值为F的指派所对应的大项的合取,即为此公式的主合取范式。,由基本等价公式推出一个命题公式的主析取范式的推演步骤如下： （1）化归为析取范式。 （2）除去析取范式中所有永假的析取项。 （3）将析取式中重复出现的合取式和相同的命题变元合并。 （4）对合取式补入没有出现的命题变元，即添加(P P)式,然后,应用分配律展开公式。,由基本等价公式推出一个命题公式的主合取范式的推演步骤如下： （1）化归为
24、合取范式。 （2）除去合取范式中所有永真的合取项。 （3）合并相同的析取式和相同的变元。 （4）对析取式补入没有出现的命题变元，即添加(P P)式，然后，应用分配律展开公式。,主范式的应用：求解判问题或证明等价式成立。(1)判定问题根据主范式的定义和定理，也可判定含n个命题变元的公式，其关键是先求出给定公式的主范式； 其次按下列条件判定之： (a)若A T，或可化为与其等价的、含2n个小项的主析取范式，则为永真式。 (b)若A F，或可化为与其等价的、含2n个大项的主合取范式，则为永假式。 (c)若A不与T或F等价，且又不含2n个小项或者大项，则为仅可满足式。(2)证明等价式成立因任一公式的主范式唯一,所以将给定公式求出其主范式,若主范式同,则给定两公式等价。,作业,P39(4) f)(5) d)(7),
