1、第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率 3.1.1 倾斜角与斜率,自 学 导 引(学生用书P61),1.理解斜率的概念,掌握直线斜率的定义公式,会求已知直线的斜率. 2.能用增量比的概念解析直线的斜率为正为负为0以及斜率不存在的各种情况时直线的特点. 3.理解直线的倾斜角的概念,并了解直线的倾斜角与直线斜率之间的关系. 4.知道直线的斜率及倾斜角是与我们日常生活密切相关的,并能用它们解释生活中的某些现象.,课 前 热 身(学生用书P61),1.当直线l与x轴相交时,我们取_作为基准,_与_之间所成的角叫做直线l的倾斜角.并规定:直线l与x轴平行或重合时,它的倾斜角为0,从而可得直线的倾
2、斜角的范围是_.,x轴,x轴正向,直线l向上方向,0180,2.倾斜程度相同的直线,其倾斜角必_;倾斜程度不同的直线,其倾斜角_.,相等,不相等,3.把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的_,即k=_,但要注意,倾斜角是90的直线没有斜率,只有倾斜角不是90的直线才有斜率,而且倾斜角不同,直线的斜率也不同,因此,我们可以用斜率表示直线的倾斜程度.,斜率,tan,4.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1x2)的斜率公式是 k=_. 5.已知直线上两点A(a1,a2),B(b1,b2),当AB与x轴平行或重合时,有a2_b2,此时k_0,也_(填“适合”“不适合”)斜率公式;当A
3、B与y轴平行或重合时,有a1_b1,此时斜率_.,=,=,适合,=,不存在,名 师 讲 解 (学生用书P61),1.什么是直线的倾斜角?如何理解?,(1)直线倾斜角的定义可理解为:,当直线与x轴相交时,x轴绕交点按逆时针方向旋转与直线重合时所成的最小正角为直线的倾斜角,当直线与x轴平行时,规定直线的倾斜角为0.,(2)清楚定义中的三个条件. ()直线向上方向; ()x轴正向; ()0180. (3)任何一条直线都有唯一的倾斜角. (4)确定一条直线,必须具备两个条件:()定点;()倾斜角,二者缺一不可.,2.什么是直线的斜率?如何理解?,(1)定义见课前热身3. (2)对直线斜率的理解 ()由
4、k=tan知,当=0时,k=0,当00,当k=90时,k不存在,当90k180时,k0; ()任何一条直线的倾斜角都存在.当=90,斜率不存在.但直线存在,它与x轴垂直.,3.什么是直线的斜率公式?如何理解? 直线l经过点P1(x1,y1)P2(x2y2). 由公式k= (x2x1)知 ()当x1=x2时,斜率k不存在,此时,直线l垂直x轴; ()当y1=y2时,k=0,此时,l平行x轴(或与x轴重合);,()当x1x2时,斜率存在且 由表达式知交换点P1与P2公式不变,典 例 剖 析 (学生用书P62),题型一 斜率倾斜角的概念,例1:下列叙述中不正确的是( ) A.若直线的斜率存在,则必有
5、倾斜角与之对应 B.每一条直线都对应唯一的倾斜角 C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0或90 D.若直线的倾斜角为,则直线的斜率为k=tan,解析:由于每条直线都有唯一的倾斜角.垂直x轴的倾斜角为90,垂直y轴的倾斜角为0.当倾斜角为90时,其斜率tan不存在,故应选D.,答案:D,误区警示:正确理解倾斜角斜率的概念及它们之间的关系.,变式训练1:经过下列两点的直线的斜率是否存在?如果存在求其斜率. (1)(-1,1)(3,2); (2)(1,-2),(5,-2); (3)(3,4),(2,5); (4)(2,0),(2, ).,题型二 斜率公式的应用,例2:经过两点A(m2+2,m2-3),B
6、(3-m-m2,2m)的直线l的倾斜角为135,求m的值.,由前面已知m-1, m= . 误区警示:在应用斜率公式时,要注意x1x2.因此,本题答案是 不是 或m=-1,应把m=-1舍去.,变式训练2:当且仅当m为何值时,经过两点A(m,2),B(-m,2m-1)的直线的倾斜角为60?,题型三 斜率与倾斜角的关系,例3:过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连结A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,求直线l的倾斜角与斜率k的取值范围.,分析:作出图示,连结PAPB,由kPA、kPB的变化来找倾斜角的范围.,解:连结PAPB,kPA=-1,kPB=1,由已知l与线段AB总有公共点, k-
7、1,1. 相应倾斜角的范围是045或135180.,误区警示:由斜率的范围来确定倾斜角的范围一定要结合图形,观察直线l的运动范围.,变式训练3:如果直线的斜率k的取值范围是0k1,求它的倾斜角的取值范围.,解:设倾斜角为,则k=tan. 又0k1 0tan1 又0180,045.,易错探究,例4:如图所示,已知点A(-2,3),B(3,2),P(0,-2),过点P的直线l与线段AB有公共点,求直线l的斜率k的变化范围.,错因分析:对直线的斜率与倾斜角之间的变化关系理解不准确.直线l是一组绕点P转动而形成的直线,点A和B是它的极端位置,当l从PB位置逆时转到PA时,倾斜角从锐角变化到钝角,其斜率
8、从正数kPB到+,又从-到一个负数kPA.,技 能 演 练(学生用书P63),基础强化 1.直线l经过原点和点(-1,-1),则它的斜率是( ) A.1 B.-1 C.-1或1 D.以上都不对,答案:A,2.如下图有三条直线l1,l2,l3,倾斜角分别为1,2,3,则下列关系正确的是( ),A.123 B.132 C.231 D.321,答案:D,3.已知M(a,b),N(a,c)(bc),则直线MN的倾斜角是( ) A.不存在 B.45 C.135 D.90,解析:MNx轴,倾斜角为90.,答案:D,4.直线l经过原点和(1,-1),则它的倾斜角是( ) A.45 B.135 C.45或13
9、5 D.-45,解析:k=tan=-1,又0180,=135.,答案:B,5.斜率为2的直线经过点(3,5),(a,7),(-1,b)三点,则a,b的值是( ) A.a=4,b=0 B.a=-4,b=-3 C.a=4,b=-3 D.a=-4,b=3,答案:C,6.已知点P(3,m)在过M(2,-1),N(-3,4)的直线上,则m=_.,答案:-2,7.已知点P(3,2),点Q在x轴上,若直线PQ的倾斜角为150,则点Q的坐标为_.,8.已知A(0,1),B(1,0),C(3,2),D(2,3),求证:四边形ABCD为平行四边形.,能力提升 9.如下图,菱形ABCD中,BAD=60,求菱形各边和
10、两条对角线所在直线的倾斜角与斜率.,解:由于ADBC,可知AD与BC所在直线的倾斜角都为60,其斜率都为tan60= . 又ABCD,且AB与x轴重合,从而可知AB与CD的倾斜角都为0,其斜率都为tan0=0. 由于AC和BD是菱形的对角线,则AC=30,BD=120,其斜率分别为kAC=tan30= ,kBD=tan120=- .,10.已知直线l的斜率k-1,求其倾斜角的取值范围.,解:当-1k0时,即-1tan0, 且0180,135180; 当k0时,即tan0, 又0180,090. 综上知,直线l的倾斜角的取值范围是0,90)135,180).,品 味 高 考(学生用书P64),11.(北京高考)若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b),(ab0)共线, 则 的值等于_.,12.(2008浙江)已知a0,若平面内三点A(1,-a),B(2,a2),C(3,a3)共线,则a=_.,
