1、建 筑 力 学 第6章弯曲杆的强度计算（2）,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,平面弯曲的概念,一、弯曲和平面弯曲,1. 弯曲:,以弯曲变形为主的构件通常称为梁。,受力特点：杆件受到垂直于杆件轴线方向的外力或在杆轴线所在平面内作用的外力偶的作用。变形特点：杆轴线由直变弯。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,房屋建筑中的楼（屋）面梁、挑梁,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,火车轮轴,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,2. 平面弯曲,工程中常见的梁，其横截面大多为矩形、工字形、T形、十字形、槽形等,它们都有对称轴，梁横截面的对称轴和梁的轴线所组成的平面通常称为纵向对称平面
2、。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,具有纵向对称面,外力都作用在此面内,弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线,平面弯曲,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,二、梁的类型,凡是通过静力平衡方程就能够将梁的支座反力全部求出的梁，统称为静定梁。,梁的三种基本形式,悬臂梁,简支梁,外伸梁,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,梁的内力,一、梁的内力剪力和弯矩,现以图示梁为例来分析。设荷载FP和支座反力FAy、FBy均作用在同一纵向对称平面内，组成了平衡力系使梁处于平衡状态，欲计算任一截面1-1上的内力。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,FQ,M,M,FQ,弯矩M ：构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶
3、矩。,C,C,Fy=0 FAyFQ=0FQ=FAy () MC=0 FAy x+M=0M=FAy x (),剪力FQ ：构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,外力使脱离体产生顺时针转动趋势时为正,外力使脱离体产生逆时针转动趋势时为负,剪力：,二、剪力和弯矩的正负号规定,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,外力使脱离体产生下凹变形为正，或使脱离体产生下部受拉时为正,弯矩：,外力使脱离体产生上凸变形为负, 或使脱离体产生上部受拉为负,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,三、用截面法求指定截面上的剪力和弯矩截面法是求梁的内力的最基本的方法。其步骤为(1) 求支座反力
4、。 (2) 用假想的截面将梁从要求剪力和弯矩的位置截开。(3) 取截面的任一侧为隔离体，作出其受力图，列平衡方程求出剪力和弯矩。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,例6-1 试用截面法求图示悬臂梁1-1、2-2截面上的剪力和弯矩。已知：q=15kN/m，FP =30kN。,解 由于悬臂梁具有一端为自由端的特征，所以在计算内力时可以不求其支座反力。,（1）求1-1截面的剪力和弯矩,取1-1截面的右侧为隔离体。1-1截面上的剪力和弯矩都按照正方向假定。,Fy=0 FPq1FQ1=0FQ1= FPq1=30151=45kN,M1=0 M1 q12.5 FP3=0M1=q12.5FP3=1512.530
5、3=127.5kNm,计算结果为负，说明1-1截面上弯矩的实际方向与图中假定的方向相反，即1-1截面上的弯矩为负值。,计算结果为正，说明1-1截面上剪力的实际方向与图中假定的方向一致，即1-1截面上的剪力为正值。,（2）求2-2截面上的剪力和弯矩,取2-2截面的右侧为隔离体。,Fy =0 FQ2FPq1=0FQ2= FPq1=30151=45kN (正剪力),M2=0 M2 q10.5 FP1=0M2=q10.5FP1=1510.5301 =37.5kNm (负弯矩),第4章 弯曲杆的强度计算（2）,例6-2 用截面法求外伸梁指定截面上的剪力和弯矩。,MB=0,解 （1）求支座反力,(),Fy
6、=0 FBy=25kN (),（2）求1-1截面上的剪力和弯矩列平衡方程,Fy=0 FQ1 FP=0FQ1=FP=100kN (负剪力),M1=0 M1FPa=0M1=FP a= 1001.5=150kNm (负弯矩),（3）求2-2截面上的剪力和弯矩Fy=0 FQ2 FPFAy=0FQ2=FPFAy =100125=25kN (正剪力)M2=0 M2 FPa=0M2=FP a=1001.5= 150KNm (负弯矩),（4）求3-3截面的剪力和弯矩Fy =0 FQ3FBy=0FQ3=FBy=25kN (正剪力)M3=0 M3MFBya=0M3=MFBya = 75251.5=112.5kNm
7、 (负弯矩),（5）求4-4截面的剪力和弯矩Fy=0 FQ4FBy=0FQ4= FBy=25kN (正剪力)M4=0 M4 FBya=0M4=FBya=251.5=37.5kNm (负弯矩),第4章 弯曲杆的强度计算（2）,总结与提示截面法是求内力的基本方法。(1) 用截面法求梁的内力时，可取截面任一侧研究，但为了简化计算，通常取外力比较少的一侧来研究。(2) 作所取隔离体的受力图时，在切开的截面上，未知的剪力和弯矩通常均按正方向假定。(3) 在列梁段的静力平衡方程时，要把剪力、弯矩当作隔离体上的外力来看待，因此，平衡方程中剪力、弯矩的正负号应按静力计算的习惯而定，不要与剪力、弯矩本身的正、负
8、号相混淆。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,梁的内力图,通常情况下，梁上不同截面上的剪力和弯矩值是不同的，即梁的内力（剪力和弯矩）随梁横截面的位置而变化。对梁进行强度和刚度计算时，除了要计算指定截面上的内力外，还必须知道内力沿梁轴线的变化规律，从而找到内力的最大值以及最大内力值所在的位置。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,一、剪力方程和弯矩方程梁横截面上的剪力和弯矩一般是随横截面的位置而变化的。若横截面沿梁轴线的位置用横坐标x表示，则梁内各横截面上的剪力和弯矩就都可以表示为坐标x的函数，即FQ=FQ（x）和 M=M（x） 以上两函数分别称为梁的剪力方程和弯矩方程。,通过梁的剪力方程和弯矩方程，
9、可以找到剪力和弯矩沿梁轴线的变化规律。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,二、剪力图和弯矩图为了形象地表明沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化情况，通常将剪力和弯矩在全梁范围内变化的规律用图形来表示，这种图形称为剪力图和弯矩图。作剪力图和弯矩图最基本的方法是：根据剪力方程和弯矩方程分别绘出剪力图和弯矩图。,绘图时，以平行于梁轴线的横坐标x表示梁横截面的位置，以垂直于x轴的纵坐标（按适当的比例）表示相应横截面上的剪力或弯矩。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,在土建工程中，对于水平梁而言，习惯将正剪力作在x轴的上面，负剪力作在x轴的下面，并标明正、负号；正弯矩作在x轴的下面，负弯矩作在x轴的上面。即弯
10、矩图总是作在梁受拉的一侧。对于非水平梁而言，剪力图可以作在梁轴线的任一侧，并标明正、负号；弯矩图作在梁受拉的一侧。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,FPl,FQ图,M图,例6-3 作图8示悬臂梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。,解 (1) 列剪力方程和弯矩方程将坐标原点假定在左端点A处，并取距A端为x的1-1截面的左侧研究。剪力方程为：FQ =FP (0xl)弯矩方程为：M =FP x (0xl),(2) 作剪力图和弯矩图当x=0时 MA=0 当x=l时 MB=FP l,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,例6-4 作图示简支梁在集中力作用下的剪力图和弯矩图。,MB=0 FAy lFP b=0 F
11、Ay= (),MA=0 FP aFB y l=0 FB y = (),解 （1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究,CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究,FQ图,M图,在梁上无荷载作用的区段，其剪力图都是水平线，在集中力作用处，剪力图突变，突变的绝对值等于集中力的数值，而弯矩图是斜直线，在集中力作用处，弯矩图发生转折，出现尖角现象。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,例6-4 作图示简支梁在集中力偶作用下的剪力图和弯矩图。,解 （1）求支座反力,（2）列剪力方程和弯矩方程,FBy M / l,FAy - M
12、 / l,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,AC段：距A端为x1的任意截面1-1以左研究,CB段：距B端为x2的任意截面2-2以右研究,FQ图,M图,在集中力偶作用处，剪力图无变化；弯矩图不连续，发生突变，突变的绝对值等于集中力偶的力偶矩数值。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,例 6-5 作图示简支梁在满跨向下均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。,MB=0 FAy lFP b=0 FAy= (),MA=0 FP aFB y l=0 FB y = (),解 （1）求支座反力,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,距A端为x的任意截面C以左研究,（2）列剪力方程和弯矩方程,在水平梁上有向下均布荷载作用的区段，
13、剪力图为从左向右的下斜直线，弯矩图为开口向上（下凸）的二次抛物线；在剪力为零的截面处，弯矩存在极值。,由弯矩方程可知：弯矩为x的二次函数，弯矩图为一条二次抛物线，至少需要确定三个控制截面的数值。 当 x时 MA=0 当 xl 时 MB=0 当 xl/2 时 MC =,FQ图,M图,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,CD梁段横截面上只有弯矩,而没有剪力，这种平面弯曲称为纯弯曲。AC和DB 梁段横截面上不仅有弯矩还伴有剪力，这种平面弯曲称为横力弯曲。,梁的正应力及正应力强度计算,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,与圆轴扭转同样，纯弯曲梁横截面上的正应力研究方法是：,观察变形,应力分布,与物理关系,静力
14、学关系,一、纯弯曲时梁横截面上的正应力,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,O,观察纯弯曲梁变形现象,1. 几何变形方面,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,所有纵向线都弯成曲线，仍与横向线垂直，靠近凸边的纵向线伸长了，靠近凹边的纵向线缩短了。横向线仍为直线但转过了一个角度；矩形截面的上部变宽下部变窄。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,平面假设：梁变形后其横截面仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。同时还假设梁的各纵向纤维之间无挤压。单向受力假设：将梁看成由无数条纵向纤维组成，各纤维只受到轴向拉伸或压缩，不存在相互挤压。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,中性层,中性层：梁的下部纵向纤维伸长，而上部纵
15、向纤维缩短，由变形的连续性可知，梁内肯定有一层长度不变的纤维层，称为中性层。中性轴：中性层与横截面的交线称为中性轴，,由于荷载作用于梁的纵向对称面内，梁的变形沿纵向对称，则中性轴垂直于横截面的对称轴。梁弯曲变形时，其横截面绕中性轴旋转某一角度。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,梁中取出的长为dx的微段,变形后其两端相对转了d角,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,距中性层为y处的纵向纤维ab的变形,式中为中性层上的纤维的曲率半径。,可知：梁内任一层纵向纤维的线应变与其的坐标成正比。,则纤维的应变为,原 长：,变形后长：,y,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,2. 物理关系方面,由于假设梁内各纵向纤维
16、只受拉伸或压缩，所以当材料在线弹性范围内工作时，由虎克定律可得各纵向纤维的正应力为,梁横截面上任一点处的正应力与该点到中性轴的距离成正比。即弯曲正应力沿截面高度成线性分布。中性轴上各点处的正应力等于零，距中性轴最远的上、下边缘上各点处正应力最大，其它点的正应力介于零到最大值。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,坐标系的选取： y轴：截面的纵向对称轴。z轴：中性轴。x轴：沿纵向线。,受力分析：dA上的内力为dA，于是整个截面上所有内力组成一空间平行力系，由于横截面上只有绕中性轴的弯矩MZ，所以横截面法向的轴力FN和力偶矩My应为零，即：,Fx0,My=0,Mz=M,(y z),M,3. 静力学关系
17、方面,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,故：Sz = 0 即中性轴 z 必过横截面的形心。,故：Iyz0， y轴为对称轴，z轴又过形心，则轴y，z为横截面的形心主惯性轴。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,其中 1是梁轴线变形后的曲率。称EIZ为梁的抗弯刚度。,得纯弯曲时横截面上正应力的计算公式：,代入：,表明：横截面上任一点的正应力与该横截面上的弯矩和该点到中性轴的距离成正比，而与该截面对中性轴的惯性矩成反比。,计算时公式中代入M和y的绝对值。的正负可由弯矩的正负和所求点的位置来判断.,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,适用条件是： (1) 梁的横截面至少具有一个纵向对称轴。(2) 正应力不超过材
18、料的比例极限。(3) 梁产生纯弯曲。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,横力弯曲：梁的横截面上既有弯矩又有剪力。此时，横截面是不仅有正应力，而且有切应力。,二、 纯弯曲理论的推广,对于跨度与截面高度之比 大于5的横力弯曲梁，横截面上的最大正应力按纯弯曲正应力公式计算，满足工程上的精度要求。梁的跨高比 越大，误差就越小。,梁在纯弯曲时所作的平面假设和各纵向纤维间无挤压的假设不再成立。,例6-6 简支梁受均布荷载q作用，试完成：(1) 求距左端为m的C截面上a、b、c三点的正应力。(2) 求梁的最大正应力值，并说明最大正应力发生在何处。(3) 作出C截面上正应力沿截面高度的分布图。,解 （1）求指定
19、截面上指定点的应力,先求出支座反力,由对称性,C截面积的弯矩,矩形截面对中性轴z的惯性矩,MC=(5.2513.510.5)kNm=3.5kNm,计算C截面上a、b、c三点的正应力：,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,(2) 求梁的最大正应力值，及最大正应力发生的位置。,梁的最大正应力发生在最大弯矩Mmax所在的上、下边缘处。由梁的变形情况可以判定，最大拉应力发生在跨中截面的下边缘处；最大压应力发生在跨中截面的边缘处。其最大正应力的值为,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,一般情况下，最大正应力 发生于弯矩最大的横截面上矩中性轴最远处。,式中WZ仅与截面的几何形状及尺寸有关，称为截面对中性轴的抗弯截
20、面模量。单位：m3或mm3 。,令：,三、梁的正应力强度计算,1. 梁的最大正应力,习惯上把产生最大应力的截面称为危险截面，产生最大应力的点称为危险点。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,若截面是高为h ，宽为b的的矩形，则,若截面是直径为d的圆形，则,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,若截面是外径为D、内径为d的空心圆形，则,对于各种型钢的惯性矩和抗弯截面系数可从书后“附录”型钢表中查出。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,对于中性轴不是截面对称轴的梁，例如T型截面的等直梁。,同一横截面上tmax cmax ，这时整个梁的tmax 或 cmax不一定发生在|Mmax| 截面处，需对最大正弯矩和最大
21、负弯矩处的 tmax和 cmax分别计算。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,2. 梁的正应力强度计算,对于抗拉和抗压能力相同的塑性材料（如低碳钢），由于 ，所以只要求：梁横截面上绝对值最大的正应力不超过材料的弯曲许用应力。其正应力强度条件为：,对于抗拉和抗压能力不同的脆性材料（如铸铁），由于，所以要求：梁横截面上的最大拉应力不超过材料的弯曲许用拉应力，同时，梁横截面上的最大压应力不超过材料的弯曲许用压应力。其正应力强度条件为：,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,3. 强度条件应用, 强度校核:, 设计截面:, 确定许用荷载 :,例6-7 图示简支梁选用木材制成，其横截面为矩形bh=140mm21
22、0mm，梁的跨度l=4m，荷载FP=6kN，q=2kN/m，材料的弯曲许用应力 =11MPa，试校核该梁的正应力强度。,解：（1）求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。,求支座反力,由对称性,FBy= FAy= 7kN,(2) 计算截面的几何参数。,再作梁的弯矩图，如图示。,从图可知：跨中截面上弯矩最大，其值为Mmax=10kNm 。,(3) 校核梁的正应力强度。,该梁满足正应力强度要求。,例6-8 T形截面外伸梁如图示，已知：材料的弯曲许用应力分别为t=45MPa，c=175MPa，截面对中性轴的惯性矩Iz=5.7310-6m4，下边缘到中性轴的距离y1=72mm，上边缘到中性轴的距离y2=38m
23、m。试校核该梁的强度。,解：(1) 求梁在图示荷载作用下的最大弯矩。,FP2=15kN,D,B截面和C截面应力分布规律图,B截面满足正应力强度条件。 C截面,B截面,C截面不满足正应力强度条件。所以该梁的正应力强度不满足要求。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,梁的切应力及切应力强度计算,在工程中的梁，大多数并非发生纯弯曲，而是横力弯曲。由于其绝大多数为细长梁，并且在一般情况下，细长梁的强度取决于其正应力强度，而无须考虑其切应力强度。但在遇到梁的跨度较小或在支座附近作用有较大载荷；铆接或焊接的组合截面钢梁；木梁等特殊情况，则必须考虑切应力强度。为此，将常见梁截面的切应力分布规律及其计算公式简介如
24、下。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,式中，FQ需求切应力处横截面上的剪力；Iz为横截面对中性轴的惯性矩；Sz*为横截面上需求切应力处平行于中性轴的线以上（或以下）部分的面积 对中性轴的静矩；b为横截面的宽度。,一、梁横截面上的切应力,1. 矩形截面梁,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,切应力的分布规律：1) 切应力的方向与剪力同向平行。2) 切应力沿截面宽度均匀分布，即同一横截面上，与中性轴等距离的点切应力均相等。3) 切应力沿截面高度按二次抛物线规律分布。距中性轴最远的点处切应力等于零；中性轴上切应力取得该截面上的最大值，其值为,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,将,说明：矩形截面梁任一横截面
25、上的最大切应力发生在中性轴上，其值为该截面上平均切应力FQ/A的1.5倍，切应力沿截面高度的分布规律如图示。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,结论： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin故工字钢最大剪应力,式中，h1腹板的高度。 b1腹板的宽度。,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,1. 切应力强度条件,一般截面，最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。,二、切应力强度计算,梁的切应力强度条件表达式为：,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,2. 梁的切应力强度条件在工程中的应用,与梁的正应力强度条件在工程中的应用相
26、似，切应力强度条件在工程中同样能解决强度方面的三类问题，即进行切应力强度校核、设计截面、计算许用荷载。,在一般情况下，正应力对梁的强度起着决定性作用。所以在实际计算时，通常是以梁的正应力强度条件做各种计算，以切应力强度条件进行校核即可。,一、 矩形截面梁横截面上的剪应力（补充内容）,1、假设：横截面上各点的剪应力方向与剪力的方向相同。,剪应力沿截面宽度均匀分布（距中性轴等距离的各点剪应力大小相等）。,2、公式推导,由剪应力互等定理可知,注意：Fs为横截面的剪力；Iz为整个横截面对Z轴的惯性矩；b为Y点对应的宽度；Sz*为Y点以外的面积对Z轴的静面矩。,3、剪应力的分布：,二、其它截面梁：,2、圆型截面：中性轴上有最大的剪应力，方向与剪力方向相同。,3、薄壁圆环：中性轴上有最大的剪应力，方向与剪力方向相同。,三、剪应力的强度计算,1、强度条件：,2、强度计算： 、校核强度，、设计截面尺寸，、确定外荷载。,解：、画内力图求危险面内力,例6-9 矩形截面 (bh=0.12m0.18m）木梁如图，=7 M Pa，=0. 9 M Pa，试求最大正应力和最大剪应力之比,并校核梁的强度。,求最大应力并校核强度,应力之比,第4章 弯曲杆的强度计算（2）,本节结束,
