1、第 1 页（共 9 页）第三讲 积分学一、不定积分1）原函数与不定积分的概念2）不定积分计算方法：积分的基本公式及性质、分项积分法、两类换元法、分部积分法、几类特殊函数的积分法（有理函数、三角有理函数、简单无理函数）例 1：计算 。dx25解：原式 Cx2523214 18注：不定积分是导数的逆运算，要充分利用导数计算找原函数。例 2：证明：若 ，则02bca 2122211cossinsi ukdBukdAxxx其中 为待定系数， 是方程 不相等的实根，BA, 21,0cba。 2,1,cossinikxbauiii证明：因为 xc22osiiiii xbxa sns iiiiii xacx
2、a 22 cososns1iiii bbxa 22n,1,cossi122 iukiiii 设 （1）xbaBxbaAxba sincosinsn 2111 则有 ，当取12,B第 2 页（共 9 页）时， （1）式恒成立， 1212112 , abBabA因此有 2122211cossinsi ukdBukdAxxxa二、定积分1）定积分的概念和性质2）微积分基本公式： ，其中aFbdxfbaxf3）定积分计算方法：利用定义计算、利用微积分基本公式、分项积分法、换元法、分部积分法、一些间接计算公式。1、 aa xfxxf02、 baba dfd3、如果 关于直线 对称，则有xfaaxfxf0
3、24、如果 关于点 对称，则有xf,adxf5、 是 偶 数是 奇 数nnxdnn 213cossi2020 6、 2022 si4cssi xdxdxanan7、 1100 d例 3：计算阿桑积分 ，其中 。2coslnxa1a解：因为 ，所以 是连续函数，即01cos22ax 2cosx一定存在。01lndni anixa1202 cosllmcosl 第 3 页（共 9 页）122coslnimni ania1li2nn（1）当 时，a0cosl02dxa（2）当 时，11lnim1ln 202 na。aann l1lil222注：这里利用了复数开方公式得： 102siconk nk12
4、ni aia4）反常积分（广义积分）反常函数审敛法：（1）设 在区间 上连续，且 ，如果函数xf),0xf是在区间 上的有界函数，则 收敛；xadtfF),aad（2）设 在区间 上连续，且 ，g, ),0axfxg则有， 收敛可得 收敛； 发散可得 发散。axfadxga af（3）设 在区间 上连续，, ),，则有cxgfxgfxlim,0,如果 ，则有 和 同敛散；,cadfaxg如果 ，则有 收敛可得 收敛；0xdf如果 ，则有 发散可得 发散。cagax（4）如果 收敛，则 收敛（绝对收敛） 。adxfaxf例 4：判别下列反常积分敛散性第 4 页（共 9 页）（1） （2）024c
5、osxd02cos1xd解：（1） 0124024 cosnxd 02412424 cos1cos xndxdnn 422420404 1tatan1ta1 nxdn 因为 收敛，所以 。04n 024cos（2）因为 ， 发散，所以 发散。1cos122xx021xd02cos1xd5）定积分的应用：计算平面图形面积、计算立体体积、计算弧长、计算连续函数平均值公式 。badf三、重积分（二重积分、三重积分）1）重积分的概念和性质2）重积分的计算方法：二重积分：直角坐标系下计算法、极坐标计算法、换元法 DD duvyxvuyxfdyxf ,注意对称性的运用；三重积分：投影法、切片法、球面坐标计
6、算法、柱面坐标计算法、换元法 duvwzuzyxwvzvuywvxfdxyzf ,注意对称性的运用。3）重积分的应用曲面 的面积为 、物体质心、Dyxfz, Ddxyzx221转动惯量、引力。四、两类曲线积分第 5 页（共 9 页）1）曲线积分的概念和性质2）曲线积分的计算法：注意对称性的运用。3）格林公式：设 在 上有连续偏导数，则有yxQP,DDdxyPd4）第二型曲线积分与路径无关五、两类曲面积分1）两类曲面积分的概念和性质2）两类曲面积分计算法：注意曲面在对应坐标面的投影，及两类曲面的联系。3）高斯公式和斯托克斯公式例 5：证明：若 在区间 上有连续二阶导数，则xf1,0201lim0
7、0 fnkfdxfn证明：因为 在区间 上连续，由最大值最小值定理，存在 是 在区xf1, cxf间 上的最大值。利用泰勒公式有1,021nfkfnfkf kffff k其中 在 之间， ，因此我们有kn,11,2,10nk 10210 210 42lim4lim2li nkknk knnk ffffff 又因为 0li4li4li102102 ncnfnkkkn所以有 21lim10ffnk 101010 limli nknkn dxnkfxfdxf第 6 页（共 9 页）10 2limnk kdxnfnxkf 102102linkknk xff由于 102102limlimnknkk dx
8、cdxnf02lili20cnkn因此我们有 201lim1lim10010 fnkfnkfdxfnk例 6：证明：若函数 在区间 上单调，且 存在，则有fa,apdxfli10xfpx证明：无妨设 单调递增，取 则有xf y,2 112ln22 pyfpfdxfdf pypyp ln1122 yffdxyfdxf pppyp因为 存在，所以 。apfx0 0lim,0lim220 ypyp dxff当 时有1dxfyfdxf ypyp22ln1ln当 时有1p第 7 页（共 9 页）dxfpyfdxfp yppyp 21121由夹逼准则可得 。0lim0fxp例 7：已知空间中的点 ，线段
9、绕 轴旋转为 ，求 与1,1BAABz平面 所围成立体的体积 。,zV解：线段 的方程为 ，曲面 的方程为B10ttzytx221xz。3232110102 zdzzdvV例 8：设函数 在区域 内有二阶连续偏导数，且yxf,:2yxD，证明：222exfedxyfxD2证明：利用极坐标可得 102sincordyfrxfrdxyfxD 改变积分次序后可得 201sicyfrxfrxyfxD设 是圆 并取正方向， 是 围成的圆盘，由关于坐标的基本计算方rL22ryrDL法和格林公式可得 rr DL dxyfxdyxffdyfrxfr 2220sinco 222 102 rrDx eeer 第
10、8 页（共 9 页）所以我们有 1022edrrdxyfxD 例 9：计算 ，其中 是上半球面222IyzyzA与柱面 的交线， 的方向从 轴220xyzbxxyaxbz正方向向负方向看是逆时针方向。解：设 上半球面 在圆柱面 内220yzb20yaxb的部分，并区上侧，利用斯托克斯定理可得 222222dyzxdI yzdzxdzydxzz 因为 对应的单位法向量为 ，所以,xbz2 2xbyIzydSzydS 22221xya bxx xyy 。2 2xyabdb例 10：计算 ，其中 为下半球面 的上212zyxdxa22yxaz侧， 为大于零的常数。a解： adxyzxyzyxd 2212取 为圆盘 的下侧，则有1,0a3221 adxydxyzdax 322 1advzazyxxaad 第 9 页（共 9 页）3302 23adzaza六、练习题1）计算 dx162）设 是 上的连续函数，证明：fba,221baa dxfdxf3）设 连续，且 ，其中 为xf dxyzztF22,0 ，求 。1,22zty20limtt4）设函数 具有二阶连续的导数，且 ，试确定函数 ，使tf 1f xyf，其中 是任意一条不与 相交的简单正02 L dyxfydxfxy L向闭曲线。5）计算 ，其中 为曲面 dxyzzz 的外侧。1yxyzx
