1、20142018年全国中考题组 考点一 矩形,五年中考,1.(2018新疆,7,5分)如图,矩形纸片ABCD中,AB=6 cm,BC=8 cm.现将其沿AE对折,使得点B落在 边AD上的点B1处,折痕与边BC交于点E,则CE的长为 ( )A.6 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm,答案 D 由题意可知,BE=AB=6 cm,CE=BC-BE=8-6=2 cm.故选D.,2.(2017上海,6,4分)已知平行四边形ABCD,AC、BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能判 断这个平行四边形为矩形的是 ( ) A.BAC=DCA B.BAC=DAC C.BAC=ABD D.BAC=AD
2、B,答案 C 如图,设AC与BD交于点O, 四边形ABCD为平行四边形, OA=OC,OB=OD, 当BAC=ABD时,OA=OB, AC=BD,ABCD为矩形,故选C.,3.(2017甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,ADB=30,AB=4,则OC = ( )A.5 B.4 C.3.5 D.3,答案 B 因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC= AC.已知ADB=30,故在直角三角形 ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC= AC=4,故选B.,4.(2016四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将
3、纸片展平;再 一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后DAG的大小为 ( )A.30 B.45 C.60 D.75,答案 C 如图,根据第二次折叠可知,1=2,MGA=90,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG 是RtAMG的中线,故AN=GN,所以2=3.又EFAB,所以3=4,故1=2=4,又因为 1+2+4=90,所以1=2=4=30,所以1+2=DAG=60,故选C.,5.(2018江西,10,3分)如图,在矩形ABCD中,AD=3,将矩形ABCD绕点A逆时针旋转,得到矩形AE- FG,点B的对应点E落在CD上,且DE=EF,则AB的长为 .,答案 3,解析 根据
4、旋转的性质,得BC=EF,AB=AE,又四边形ABCD为矩形,DE=EF,AD=DE=3,D= 90, 即ADE为等腰直角三角形, 根据勾股定理得AE= =3 ,所以AB=AE=3 .,解题关键 熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键.,6.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE AM,垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为 .,答案,解析 BAM+EAD=90,EAD+EDA=90, BAM=EDA.又B=AED=90, ADEMAB, = ,即 = ,AE=BM. 由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x0),则B
5、M=2x, 在RtABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2, 解得x= (舍负),BM=2x= .,7.(2018新疆,19,8分)如图,ABCD的对角线AC,BD相交于点O.E,F是AC上的两点,并且AE=CF, 连接DE,BF. (1)求证:DOEBOF; (2)若BD=EF,连接EB,DF.判断四边形EBFD的形状,并说明理由.,解析 (1)证明:四边形ABCD是平行四边形,OB=OD,OA=OC. 又AE=CF,OA-AE=OC-CF,即OE=OF, 在DOE和BOF中, DOEBOF. (5分) (2)四边形EBFD是矩形.理由如下: BD,EF相交于点O, OD=O
6、B,OE=OF, 四边形EBFD是平行四边形. 又BD=EF,四边形EBFD是矩形. (8分),8.(2017福建,24,12分)如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P,E分别是线段AC,BC上的点,且四边形 PEFD为矩形. (1)若PCD是等腰三角形,求AP的长; (2)若AP= ,求CF的长.,解析 (1)在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,ADC=90, DC=AB=6,AC= =10. 要使PCD是等腰三角形,有如下三种情况: 当CP=CD时,CP=6,AP=AC-CP=4. 当PD=PC时,PDC=PCD, PCD+PAD=PDC+PDA=90, PAD=PDA,PD=PA
7、, PA=PC,AP= ,即AP=5. 当DP=DC时,过D作DQAC于Q,则PQ=CQ. SADC= ADDC= ACDQ, DQ= = , CQ= = , PC=2CQ= ,AP=AC-PC= .,综上所述,若PCD是等腰三角形,则AP=4,或AP=5,或AP= . (2)连接PF,DE,记PF与DE的交点为O,连接OC. 四边形ABCD和四边形PEFD都是矩形, ADC=PDF=90, 即ADP+PDC=PDC+CDF, ADP=CDF. BCD=90,OE=OD,OC= ED. 在矩形PEFD中,PF=DE,OC= PF. OP=OF= PF,OC=OP=OF, OCF=OFC,OCP
8、=OPC,又OPC+OFC+PCF=180, 2OCP+2OCF=180,PCF=90, 即PCD+FCD=90. 在RtADC中,PCD+PAD=90,PAD=FCD. ADPCDF, = = .AP= ,CF= .,易错警示 在第(1)问中,分三种情况CP=CD、PD=PC、DP=DC讨论,不能丢解.,一题多解 在第(2)问中,连接PF,DE,PF与DE相交于点O,连接OC. 四边形DPEF是矩形,OP=OE=OD=OF. ECD是直角三角形,OC=OE=OD. D、P、E、C、F都在以O为圆心,OC为半径的圆上, PCF=BCD=90,DCF=ACB. ADBC,ACB=DAC, DCF
9、=DAP. 又ADC=PDF=90, CDF=ADP,CDFADP, = , = , CF= .,1.(2018陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, 连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则下列结论正确的是 ( )A.AB= EF B.AB= EF C.AB=2EF D.AB= EF,考点二 菱形,答案 D 如图,连接AC、BD交于O,四边形ABCD是菱形, ACBD,OA=OC,OB=OD, 点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA的中点, EF= AC,EH= BD, EH=2EF,BD=2AC,OB=2OA, AB=
10、= OA, 易知OA=EF,AB= EF,故选D.,2.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB, BC边上的中点,则MP+PN的最小值是 ( )A. B.1 C. D.2,答案 B 如图,取AD的中点M,连接MN,MP,则有MP=MP.MP+PN的最小值为线段MN的长, 即菱形边长1.故选B.,3.(2017江西,6,3分)如图,任意四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,对于四边形 EFGH的形状,某班学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中 的是 ( )A.当E,F,G,H是各边中
11、点,且AC=BD时,四边形EFGH为菱形 B.当E,F,G,H是各边中点,且ACBD时,四边形EFGH为矩形 C.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH可以为平行四边形 D.当E,F,G,H不是各边中点时,四边形EFGH不可能为菱形,答案 D 连接AC,BD.当E,F,G,H是各边中点时,由三角形中位线定理可得EFAC且EF= AC,GHAC且GH= AC,所以EFGH且EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形.当AC=BD 时,因为EF= AC,EH= BD,所以EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项A正确;当ACBD时,因 为EFAC,EHBD,所以EFEH,所以四边形EFG
12、H为矩形,选项B正确;当E,F,G,H不是各边中 点时,若 = , = ,则GHAC,EFAC,所以GHEF.因为 = = = ,所以 EF=GH,所以四边形EFGH为平行四边形,选项C正确;例如,当E,F,G,H不是各边中点,且 = = = ,BD=2AC时,由上述可知四边形EFGH为平行四边形,所以 = = , = ,即 = ,所以 = ,即EF=EH,所以四边形EFGH为菱形,选项D错误.综上, 选D.,4.(2016宁夏,5,3分)菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上的中点,连接 EF.若EF= ,BD=2,则菱形ABCD的面积为 ( )A.2 B.4
13、C.6 D.8,答案 A 因为E,F分别是AD,CD边上的中点,所以EFAC,且EF= AC,所以AC=2EF=2 ,所 以S菱形ABCD= ACBD= 2 2=2 .故选A.,5.(2018内蒙古呼和浩特,18,6分)如图,已知A、F、C、D四点在同一条直线上,AF=CD,AB DE,且AB=DE. (1)求证:ABCDEF; (2)若EF=3,DE=4,DEF=90,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.,解析 (1)证明:ABDE,A=D, AF=CD,AF+FC=CD+FC,即AC=DF, 又AB=DE,ABCDEF. (2) (过点E作EOCF于O,由EF=3,ED=4,DE
14、F=90,可得DF=5,所以EO=2.4,又四边形EFBC 为菱形,所以FO=CO=1.8,所以AF=CD=5-3.6=1.4).,6.(2017云南,20,8分)如图,ABC是以BC为底的等腰三角形,AD是边BC上的高,点E、F分别是 AB、AC的中点. (1)求证:四边形AEDF是菱形; (2)如果四边形AEDF的周长为12,两条对角线的和等于7,求四边形AEDF的面积S.,解析 (1)证明:ABC是等腰三角形,AD是边BC上的高, 点D为BC的中点,点E是AB的中点, DEAC, 同理,DFAB, 四边形AEDF是平行四边形, 点E、F分别是AB、AC的中点,AB=AC, AE=AF,
15、四边形AEDF是菱形. (2)连接EF交AD于点O, 菱形AEDF的周长为12,AE=3, 设AO=x,EO=y, 菱形AEDF的两条对角线的和等于7, x+y= . 在AEO中,由勾股定理得AO2+EO2=AE2,即x2+y2=32,变形得(x+y)2-2xy=9, 即 -2xy=9, 解得xy= , 四边形AEDF的面积S= xy4=2xy= .,7.(2017辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,过点D作DEAB于点E,作DFBC于点F,连接 EF. 求证:(1)ADECDF; (2)BEF=BFE.,证明 (1)四边形ABCD是菱形, AD=CD,A=C, DEAB,DFCB,
16、 AED=CFD=90. ADECDF. (2)四边形ABCD是菱形, AB=CB, ADECDF, AE=CF, BE=BF, BEF=BFE.,8.(2015贵州遵义,24,10分)在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点,E是AD的中点.过点A作AF BC交BE的延长线于点F. (1)求证:AEFDEB; (2)证明四边形ADCF是菱形; (3)若AC=4,AB=5,求菱形ADCF的面积.,解析 (1)证明:在RtABC中,BAC=90,D是BC的中点, AD= BC=DC=BD. (1分) AFBC,DBE=AFE, E是AD的中点,ED=EA. (2分) 又BED=FEA, BD
17、EFAE(AAS). (3分) (2)证明:由(1)知AF=BD=DC, (4分) AFDC, 四边形ADCF是平行四边形. (5分) 又AD=DC, 四边形ADCF是菱形. (6分),AFDC,BD=CD, AFBD, (7分) 四边形ABDF是平行四边形, DF=AB=5, (8分) S菱形ADCF= ACDF= 45=10. (10分) 解法二:在RtABC中,AC=4,AB=5, BC= , (7分) 设BC边上的高为h, 则 BCh= ABAC, (8分),(3)解法一:连接DF,h= , (9分) S菱形ADCF=DCh= =10. (10分),1.(2018重庆,6,4分)下列命
18、题正确的是 ( ) A.平行四边形的对角线互相垂直平分 B.矩形的对角线互相垂直平分 C.菱形的对角线互相平分且相等 D.正方形的对角线互相垂直平分,考点三 正方形,答案 D 平行四边形的对角线互相平分,不一定垂直,选项A错误;矩形的对角线互相平分且 相等,不一定垂直,选项B错误;菱形的对角线互相垂直平分,不一定相等,选项C错误;正方形的 对角线互相垂直平分,选项D正确.故选D.,2.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个 动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是 ( )A.AB B.DE C.BD D.AF,答案 D 在
19、正方形ABCD中,连接CE、PC.点A与点C关于直线BD对称, AP=CP, AP+EP的最小值为EC. E,F分别为AD,BC的中点, DE=BF= AD. AB=CD,ABF=ADC=90, ABFCDE. AF=CE.,故选D.,3.(2016内蒙古呼和浩特,9,3分)如图,面积为24的正方形ABCD中,有一个小正方形EFGH,其 中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF= ,则小正方形的周长为 ( )A. B. C. D.,答案 C 正方形ABCD的面积为24,其边长为 =2 ,又BF= ,CF= ,四边 形ABCD与四边形EFGH均为正方形,B=C=90,EFG=90,DFC+C
20、DF=90, BFE+DFC=90,BFE=CDF, EFBFDC, = ,EB= . 在RtEBF中,EF= = ,小正方形EFGH的周长为4EF= ,故选C.,答案 D 如图,设AE=x,则BE=14-x,在RtAEB中,x2+(14-x)2=102,整理得x2-14x+48=0,解得x1=6, x2=8.故选D.,4.(2015陕西,9,3分)在ABCD中,AB=10,BC=14,E、F分别为边BC、AD上的点.若四边形AECF 为正方形,则AE的长为 ( ) A.7 B.4或10 C.5或9 D.6或8,评析 本题考查了平行四边形的性质,正方形的性质,勾股定理,关键是根据勾股定理得到关
21、于 AE的方程.,5.(2016山东青岛,13,3分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE =5,F为DE的中点.若CEF的周长为18,则OF的长为 .,答案,解析 四边形ABCD是正方形,BO=DO,BC=CD,BCD=90.在RtDCE中,F为DE的中 点,CF= DE=EF=DF.CEF的周长为18,CE+CF+EF=18,CE=5,CF+EF=18-5=13, DE=DF+EF=13,DC= =12,BC=12,BE=12-5=7.在BDE中,BO=DO,F为DE 的中点,OF为BDE的中位线,OF= BE= .,6.(2018北京,27,7分)如
22、图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点(不与点A,B重合),连接DE,点 A关于直线DE的对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EHDE交DG的延长 线于点H,连接BH. (1)求证:GF=GC; (2)用等式表示线段BH与AE的数量关系,并证明.,解析 (1)证明:如图,连接DF.四边形ABCD为正方形, DA=DC=AB,A=C=ADC=90. 又点A关于直线DE的对称点为F, ADEFDE, DA=DF=DC,DFE=A=90, DFG=90. 在RtDFG和RtDCG中,RtDFGRtDCG(HL), GF=GC. (2)线段BH与AE的数量关系:BH= AE
23、. 证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.AD=AB, DM=BE. 由(1)得1=2,3=4,ADC=90, 1+2+3+4=90, 22+23=90,2+3=45, EDH=45. EHDE,DE=EH, DEH=90,A=90, 1+AED=90,5+AED=90, 1=5. 在DME和EBH中,DMEEBH(SAS),ME=BH. A=90,AM=AE, ME= AE, BH= AE.,7.(2017陕西,19,7分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上的点,且AE=CF,连接 AF、CE交于点G.求证:AG=CG.,证明 四边形ABCD是正方形, ADF
24、=CDE=90,AD=CD. AE=CF,DE=DF. (2分) ADFCDE.DAF=DCE. (4分) 又AGE=CGF,AE=CF,AGECGF, AG=CG. (7分),8.(2016黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:如图,在正方形ABCD中,点E在边CD上,AQBE于点Q,DP AQ于点P. (1)求证:AP=BQ; (2)在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图中四对线段,使每对中较长线段与较短线段长 度的差等于PQ长.,解析 (1)证明:四边形ABCD为正方形, AB=AD,DAB=90, BAQ+DAP=90. DPAQ, APD=90, ADP+DAP=90, ADP=BAQ.
25、 (1分) AQBE,AQB=90, APD=AQB, (2分) DAPABQ, (3分) AP=BQ. (4分) (2)AQ与AP,DP与AP,AQ与BQ,DP与BQ. (8分),考点一 矩形,教师专用题组,1.(2017四川绵阳,9,3分)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,过点O作BD的垂线分别交 AD,BC于E,F两点.若AC=2 ,AEO=120,则FC的长度为 ( )A.1 B.2 C. D.,答案 A 四边形ABCD是矩形, OA=OB=OC= AC= . ADBC, OFC=AEO=120, BFO=60. EFBD, BOF=90, OBF=OCB=30, COF=
26、BFO-OCB=30, OF=FC. OF=OBtan 30=1, FC=1, 故选A.,2.(2015安徽,9,4分)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上,点G、H在对角线 AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是 ( )A.2 B.3 C.5 D.6,答案 C 连接EF交GH于点O,由四边形EGFH为菱形,可得EFGH,OH=OG,因为四边形 ABCD为矩形,所以B=90.因为AB=8,BC=4,所以AC= =4 .易证AGECHF, 所以AG=CH,所以AO= AC=2 ;因为EOGH,B=90,所以AOE=B,又因为OAE= BAC,所以AOEABC
27、,所以 = = ,所以AE=5,故选C.,3.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足PBEDBC.若APD是等腰三角形,则PE的长为 .,答案 3或,解析 在矩形ABCD中,AD=BC=8,在ABD中,由勾股定理可得BD= =10,ABAD, 根据PBEDBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得 = = PE= ; 当AP=PD时,P点为BD的中点,PE= CD=3,故答案为3或 .,4.(2018北京,13,2分)如图,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,连接DE交对角线AC于点F,若AB=4, AD=3
28、,则CF的长为 .,答案,解析 四边形ABCD是矩形,ABCD,CD=AB=4,BC=AD=3,DCA=CAB,又DFC= AFE,CDFAEF, = .E是边AB的中点,AB=4,AE=2.BC=3,AB=4,ABC =90,AC=5. = ,CF= .,5.(2016广东,15,4分)如图,矩形ABCD中,对角线AC=2 ,E为BC边上一点,BC=3BE.将矩形 ABCD沿AE所在的直线折叠,B点恰好落在对角线AC上的B处,则AB= .,答案,解析 由折叠和矩形的性质,可知BE=BE,ABE=ABE=90,EBC=90. BC=3BE,EC=2BE=2BE,ACB=30,AB= AC. A
29、C=2 ,AB= .,6.(2016河南,15,3分)如图,已知ADBC,ABBC,AB=3.点E为射线BC上一个动点,连接AE,将ABE沿AE折叠,点B落在点B处,过点B作AD的垂线,分别交AD,BC于点M,N.当点B为线段MN的 三等分点时,BE的长为 .,答案 或,解析 ADBC,ABBC,MNAD, 四边形ABNM为矩形, MN=AB=3,B为线段MN的三等分点,BM=1或2, ABE=ABC=90,ABM+EBN=90. EBN+BEN=90,ABM=BEN. 又AMB=ENB=90,AMBBNE, = , 设BE=BE=x. 当BM=1时,BN=2,在RtAMB中,AM= = =2
30、 ,所以 = ,即x= ; 当BM=2时,BN=1,在RtAMB中,AM= = = ,所以 = ,即x= . 综上所述,BE的长为 或 .,7.(2015浙江宁波,15,4分)命题“对角线相等的四边形是矩形”是 命题.(填“真”或 “假”),答案 假,解析 对角线相等的平行四边形是矩形,而对角线相等的四边形也可能是等腰梯形,故命题 “对角线相等的四边形是矩形”是假命题.,8.(2015黑龙江哈尔滨,19,3分)在矩形ABCD中,AD=5,AB=4,点E,F在直线AD上,且四边形BCFE 为菱形,若线段EF的中点为点M,则线段AM的长为 .,答案 5.5或0.5,解析 如图,依题意知BE=BC=
31、5, 则AE=3,又EF=5,M是EF的中点,则EM=2.5, AM=3+2.5=5.5.图 如图,同理,FD=3,MF=2.5, 则DM=DF+FM=3+2.5=5.5,AM=DM-DA=5.5-5=0.5.,图 综上,线段AM的长为5.5或0.5.,9.(2015内蒙古包头,20,3分)如图,在矩形ABCD中,BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线 于点F,取EF的中点G,连接CG,BG,BD,DG,下列结论:BE=CD; DGF=135; ABG+ADG=180; 若 = ,则3SBDG=13SDGF. 其中正确的结论是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 因为BAD=ADF
32、=90,AE平分BAD,所以BAE=DAF=F=45,所以AD=DF= BC,AB=BE=CD.在DGF中,F=45,所以DGF135.在等腰RtEFC中,因为G为EF的中 点,所以GF=GC,F=ECG=45,又因为DF=BC,所以BGCDGF(SAS),所以GBC= GDF.又因为DBC+BDC=90,所以GBD+GDB=GBC+CBD+GDB=CBD+ GDB+CDG=90,所以BGD=90,在四边形ABGD中,BAD=BGD=90,所以ABG+ ADG=180.因为 = ,所以可设AB=2k,则AD=3k,所以BD= = k.所以SBDG= BD2 = k2.作GMCF于M,则GM=
33、CF= k.所以SDGF= DFGM= k2.所以3SBDG=13SDGF.故 正确.,10.(2014湖北黄冈,15,3分)如图,在一张长为8 cm,宽为6 cm的矩形纸片上,现要剪下一个腰长为 5 cm的等腰三角形(要求:等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合,其余的两个顶点在 矩形的边上).则剪下的等腰三角形的面积为 cm2.,答案 或5 或10,解析 不妨设重合的顶点为点A,则有以下三种情况:图(1)图(2),图(3),如图(1),AE=AF=5 cm,所以所求面积为 55= (cm2). 如图(2),AE=EF=5 cm,可求出BE=1 cm,在RtBEF中,根据勾股定理可得BF=
34、 =2cm,所以所求面积为 AEBF= 52 =5 (cm2). 如图(3),AE=EF=5 cm,可求出DE=3 cm,在RtDEF中,根据勾股定理可得DF= =4 cm,所以所求面积为 AEDF= 54=10(cm2). 综上所述,剪下的等腰三角形的面积为 cm2或5 cm2或10 cm2.,11.(2014河南,15,3分)如图,矩形ABCD中,AD=5,AB=7.点E为DC上一个动点,把ADE沿AE折 叠,当点D的对应点D落在ABC的角平分线上时,DE的长为 .,答案 或,解析 作BF平分ABC交CD于点F, 作AGBF于点G,由题意知AG=ABsin 45= , 5,D是以A为圆心,
35、AD长为半径的圆弧与BF的交点,易知有两种情况, 第一种情况:如图,图 在RtAGD中,DG= = , BD= + =4 ,DF=BF-DB=5 -4 = . 作DHCD,垂足为H. 在RtDFH中,易求得FH=HD=1, DH=DF+FH=3. 设DE=x,则DE=x,EH=3-x, 在RtEHD中,EH2+DH2=DE2, 即(3-x)2+12=x2,解得x= ,即DE= , 第二种情况:如图,图,作DHCD,垂足为H,同理求得DE= . 综上所述, DE的长为 或 .,评析 本题是以矩形为载体,以折叠为背景的求线段长问题,主要考查矩形的性质,轴对称的性 质,角平分线,勾股定理的运用,依据
36、题意构造直角三角形是关键,本题属难题.,12.(2014江苏苏州,17,3分)如图,在矩形ABCD中, = .以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边 AD于点E,若AEED= ,则矩形ABCD的面积为 .,答案 5,解析 连接BE,设AB=3k(k0),则BC=5k.在RtABE中,根据勾股定理可求出AE=4k,故ED=k,由 题意可得4kk= ,可得k2= ,所以矩形ABCD的面积为ABBC=3k5k=15k2=15 =5.,13.(2014上海,18,4分)如图,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直 线翻折后,点C、D分别落在边BC下方的点C、D处,且点C
37、、D、B在同一直线上,折痕与边 AD交于点F,DF与BE交于点G.设AB=t,那么EFG的周长为 (用含t的代数式表示).,答案 2 t,解析 连接BD,点C、D、B在同一直线上,D=FDC=GDB=90,由翻折知,CE=CE, BE=2CE=2CE,EBC=30,BGD=60, BGD=FGE,FGE=60. ADBC,AFG=BGD. AFG=60,易得GFE=60,EFG为等边三角形. AB=t,FG= t,CEFG=2 t.,14.(2015福建龙岩,20,10分)如图,E,F分别是矩形ABCD的边AD,AB上的点,若EF=EC,且EF EC. (1)求证:AE=DC; (2)已知DC
38、= ,求BE的长.,解析 (1)证明:在矩形ABCD中,A=D=90, 1+2=90. EFEC, FEC=90, 2+3=90, 1=3. (2分) 在AEF和DCE中, AEFDCE, (4分) AE=DC. (6分) (2)由(1)得AE=DC, AE=DC= . 在矩形ABCD中,AB=DC= , (8分) 在RtABE中,AB2+AE2=BE2,即( )2+( )2=BE2, BE=2. (10分),15.(2015北京,22,5分)在ABCD中,过点D作DEAB于点E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF,BF. (1)求证:四边形BFDE是矩形; (2)若CF=3,BF=4,DF
39、=5,求证:AF平分DAB.,证明 (1)在ABCD中,ABCD, DF=BE,四边形BFDE为平行四边形. DEAB,DEB=90. 四边形BFDE是矩形. (2)由(1)可得,BFC=90. 在RtBFC中,由勾股定理可得BC=5. AD=BC=5.AD=DF. DAF=DFA. ABCD,DFA=FAB. DAF=FAB. AF平分DAB.,16.(2014辽宁沈阳,18,8分)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AD, BC上,且DE=CF,连接OE,OF. 求证:OE=OF.,证明 四边形ABCD为矩形, ADC=BCD=90, AC=BD,OD= B
40、D,OC= AC. OD=OC. ODC=OCD.ADC-ODC=BCD-OCD, 即EDO=FCO.又DE=CF, ODEOCF,OE=OF.,17.(2014江苏扬州,28,12分)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在 CD边上的P点处. (1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA. 求证:OCPPDA; 若OCP与PDA的面积比为14,求边AB的长; (2)若图1中的点P恰好是CD边的中点,求OAB的度数; (3)如图2, ,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不 重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN
41、=PM,连接MN交PB于点F,作MEBP于点E.试问当点 M、N在移动过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明理由;若不变,求出线段EF的长 度.,图1 图2,解析 (1)证明:四边形ABCD是矩形,C=D=90,APD+DAP=90, APO是由ABO沿AO折叠而得, APO=B=90,APD+CPO=90, DAP=CPO,ADPPCO. (2分) ADPPCO, = = , = , AD=8,CP=4, 设AB=x,则DP=x-4,由D=90得AP2=AD2+DP2, x2=82+(x-4)2, x=10,即AB=10. (4分) (2)折叠后AOB与AOP重合, AP=AB,O
42、AB=OAP, AB=CD,AP=CD,P是CD的中点,DP= AP, D=90,PAD=30,又OAB=OAP, OAB=30. (8分),(3)不变. 作MHBN交PB于点H, MHP=ABP,MHF=NBF, AP=AB,APB=ABP, MHP=APB,MP=MH, MP=BN,BN=MH,又NFB=MFH, NBFMHF,FB=FH, MP=MH,MEPB,PE=EH, EF=EH+FH,EF=EP+FB= PB, 由(1)得AB=10,AD=8,DP=6, PC=4,PB=4 ,EF= PB=2 . (12分),18.(2014重庆,26,12分)已知:如图,在矩形ABCD中,AB
43、=5,AD= ,AEBD,垂足是E.点F是点E 关于AB的对称点,连接AF、BF. (1)求AE和BE的长; (2)若将ABF沿着射线BD方向平移,设平移的距离为m(平移距离指点B沿BD方向所经过的线 段长度),当点F分别平移到线段AB、AD上时,直接写出相应的m的值; (3)如图,将ABF绕点B顺时针旋转一个角(0180),记旋转中的ABF为ABF,在旋 转过程中,设AF所在的直线与直线AD交于点P,与直线BD交于点Q.是否存在这样的P、Q两 点,使DPQ为等腰三角形?若存在,求出此时DQ的长;若不存在,请说明理由.,解析 (1)AB=5,AD= , 由勾股定理得BD= = = . (1分)
44、 ABAD=SABD= BDAE, 5 = AE, 解得AE=4, (3分) BE= = =3. (4分) (2)当点F在线段AB上时,m=3; (6分) 当点F在线段AD上时,m= . (8分) (3)存在.理由如下: 当DP=DQ时, 若点Q在线段BD的延长线上,如图a,图a,有Q=1, 则2=1+Q=2Q. 3=4+Q,3=2, 4+Q=2Q,4=Q, AQ=AB=5,FQ=4+5=9. 在RtBFQ中,92+32= , +DQ=3 , DQ=3 - 或DQ=-3 - (舍). (9分) 若点Q在线段BD上,如图b,图b,则有1=2=4. 1=3,3=4, 3=5+A,A=CBD, 3=
45、5+CBD=ABQ,4=ABQ, AQ=AB=5,FQ=5-4=1, BQ= = . DQ= - . (10分) 当QP=QD时,如图c,有P=1,图c,A=1,2=3,4=P, 4=A,QB=QA, 设QB=QA=x, 在RtBFQ中,32+(4-x)2=x2, 解得x= , DQ= - = . (11分),图d,当PD=PQ时, 如图d,有1=2=3, 1=A,3=A, BQ=AB=5, DQ= -5= . 综上,当DPQ是等腰三角形时, DQ的值为3 - , - , , . (12分),1.(2018贵州贵阳,5,3分)如图,在菱形ABCD中,E是AC的中点,EFCB,交AB于点F,如果EF=3,那 么菱形ABCD的周长为 ( )A.24 B.18 C.12 D.9,考点二 菱形,答案 A E是AC的中点,AC=2AE. EFCB, = =2,BC=2EF=6, 菱形ABCD的周长为64=24. 故选A.,
