1、欧拉回路性质与应用探究,湖南师大附中 仇荣琦,欧拉回路与七桥问题,欧拉回路是最古老的图论问题之一，它诞生于十八世纪的哥尼斯堡。 当时城中有七座桥，人们想从某个位置出发，不重复地走遍每一座桥，最后回到出发点。这便是最初的欧拉回路问题 。,相关概念,欧拉回路 不重复地经过每条边的回路。 欧拉路径 不重复地经过每条边的路径。 欧拉图 存在欧拉回路的图。 半欧拉图 存在欧拉路径的图。,无向欧拉图的判定,无向图存在欧拉回路的充要条件： 连通且没有奇点。无向图存在欧拉路径的充要条件： 连通且奇点个数为2。,有向欧拉图的判定,有向图存在欧拉回路的充要条件： 基图连通且所有顶点入度等于出度。有向图存在欧拉路径
2、的充要条件： 基图连通且存在某顶点入度比出度大1，另一顶点出度比入度大1，其余顶点入度等于出度。,求无向图欧拉回路的算法,在图中任意找一个回路C； 将图中属于C的边删除； 在残留图的各个极大连通分量中求欧拉回路； 将各极大连通分量中的欧拉回路合并到C上。,例题一 单词游戏,有N个盘子，每个盘子上写着一个仅由小写字母组成的英文单词。 你需要给这些盘子按照合适的顺序排成一行，使得相邻两个盘子中，前一个盘子上面单词的末字母等于后一个盘子上面单词的首字母。 请你编写一个程序，判断是否能达到这一要求。如果能，请给出一个合适的顺序。,样例,malform,mouse,acm,样例,malform,mous
3、e,acm,m,m,m,m,模型1,将每个盘子看作一个顶点。 如果盘子B能连接在盘子A后面，那么从A向B连一条有向边。,模型1,问题转化为在图中寻找一条不重复地经过所有顶点的路径，即哈密尔顿路。 但是，求哈密尔顿路是一个十分困难的问题，这样的建模没有给解题带来任何便利。我们必须另辟蹊径。,模型2,以26个英文字母作为顶点。 对于每一个单词，在图中从它的首字母向末字母连一条有向边。,模型2,问题转化为在图中寻找一条不重复地经过所有边的路径，即欧拉路径。 这个问题能够在O(|E|)时间内解决。,小结,比较以上两个模型，模型1过于直接，模型2则打破了“顶点表示元素，边表示元素之间关系”的思维定势，将
4、元素表示在边上，而顶点则起到连接各个元素的作用。,例题二 中国邮递员问题,A城市的交通系统由若干个路口和街道组成，每条街道都连接着两个路口。 所有街道都只能单向通行。 每条街道都有一个长度值。,例题二 中国邮递员问题,一名邮递员传送报纸和信件，要从邮局出发经过他所管辖的每一条街道，最后返回邮局。每条街道可以经过不止一次。 他应该如何安排自己的路线，使得走过的总长度最短呢？,样例,路线总长度为14,分析,容易看出题目给出的是一个图的模型。 在有向图中找一条权值最小的回路，使得它经过图中的每条边至少一次。,分析,如果问题有解，那么一定满足以下条件：1、基图连通；2、不存在某个顶点入度为0或出度为0
5、。,分析,为了简化问题，我们暂时不考虑边的权值。问题的核心条件是：“每条边经过至少一次”。 转化为如下形式：将图中的某些边拆分成若干条平行边，使得图中存在欧拉回路。,分析,设顶点v的入度与出度之差为p(v)。 对于p(v)0的顶点，需要增加p(v)条从v出发的边； 对于p(v)0的顶点，需要增加-p(v)条到v结束的边； 对于p(v)=0的顶点，需要增加相等数量的从v出发的边和到v结束的边。,分析,p(v)0,网络的源点，向网络发出p(v)单位的流；,p(v)0,p(v)=0,网络的汇点，从网络接收 -p(v)单位的流；,网络的中间结点，接收的流量等于发出的流量。,分析,原问题转化为多源多汇的
6、最大流问题。 我们可以通过附加超级源s和超级汇t的方法将其转化为单源单汇的经典最大流问题。,分析,下面我们考虑边的权值。 对于原图中的边e，将其费用值w(e)赋为对应边的长度； 其余的边不产生费用，将其费用值赋为0。求网络中从s到t的最小费用最大流。 最后，我们只需根据各边的流量情况将原图进行改造，并在新图中求欧拉回路即可。,小结,本题的解答过程中，运用了欧拉图的一些性质对题目进行分析，通过联想、类比将问题对应到一个流网络模型上，并使用最小费用最大流算法解决问题。,拓展,如果将条件改成“所有街道都能够双向通行”，该如何解决？ 如果将条件改成“部分街道能够双向通行，部分街道只能单向通行”呢？,例
7、题三 赌博机,一台赌博机由n个整数发生器T1 ,T2,Tn组成。 Ti能够产生的整数集合为Si，Si是集合1,2,n的子集。 游戏开始时只有T1处于活动状态。,例题三 赌博机,设当前的活动发生器为Ti： 若Si，游戏者可以在Si中选择一个数r，然后将r从Si中删除，且活动状态转移到Tr； 若Si=，那么游戏结束。,例题三 赌博机,如果游戏结束时，最后一个活动发生器是T1，并且所有Si=，那么游戏者失败，否则获胜。 对于一台给定的赌博机，请你判断能否获胜。如果能，给出一个获胜的策略。,样例,下图是一个能够获胜的赌博机。 一种选数方案为：,T1,T2,T3,2,1,3,3,2,3,1,样例,下图则
8、是一个不可能获胜的赌博机。,T1,T2,T3,2,1,3,分析,将问题抽象为一个图模型。 以n个整数发生器作为顶点。 如果Ti能够产生数j，那么从vi向vj连一条有向边。 一次游戏过程在图中对应一条简单路径。,分析,一台赌博机不存在获胜策略,等价于,在图中从v1出发，不管怎么走，如果不重复走一条边，一定会走出一条欧拉回路。 这类图称为随机欧拉图。,分析,显然，随机欧拉图是欧拉图的一种特例。 以下考虑如何在欧拉图的基础上判定随机欧拉图。通过分析我们得出一个重要的结论： 任何一次游戏过程在图中对应的路径一定是一条回路！,0,1,2,0,1,分析,如果结论不成立，假设最后一个经过的顶点是vk(k1)
9、，则路径中进入vk的次数比离开vk的次数大1。而vk的入度等于出度，所以此时一定存在一条离开vk的边没有被访问过，这与游戏结束的条件不符！,v1,vk,进入vk的次数：,离开vk的次数：,分析,假设某次游戏过程在图G中对应回路C。 将C从图G中删去得到残留图G0。 显然，G0中v1的度为0（否则游戏不会结束）。 若G0中边数为0，那么这是一次失败的游戏过程； 否则，G0至少存在一个不经过v1的回路。,分析,游戏者能够获胜，当且仅当图G中存在一条不经过v1的回路。 我们只需任意找一条这样的回路，将其从图G中删去，然后在残留图中寻找一条欧拉回路即可。 如果不存在，则游戏必然失败。,总结,欧拉回路的应用主要有以下几个方面： 通过巧妙的构图，将问题转化为在图中寻找欧拉回路； 利用欧拉图的性质作为解题的突破口，使得看似棘手的问题迎刃而解； 通过研究欧拉图的各种变形来解决问题。,总结,欧拉回路的优点是： 简洁、清晰 应用范围广 算法高效欧拉回路的缺点是： 思维难度大,以不变应万变,谢谢大家！,欧拉回路相关试题,Depot Rearrangement（CEOI 2005） Primitivus（POI 1999 Stage III） 千年盛典（CTSC 2003） Ouroboros Snake（MCERC 2000） Mosaic（Ural State 2001）,
