1、1让学生在任意与存在之中构建关系和演绎推理对一道高考题的变式探究董海涛 （安徽省阜阳市第三中学 236000）由于不等式、方程、函数是交织在一起的有机整体，同时在任意与存在之间构建不等式问题又与高等数学联系紧密，所以不等式问题的解决往往体现着多种数学思想方法的应用，是考查学生综合应用能力、思维灵活性和创新性的有效载体，因此这类问题一直是高考命题的热点和重点，而在任意与存在之间构建相等与不等关系，更是学生感到无所适从的难点，本文从一道高考题出发，通过适当变式，探求关系式的建立。题目：(2006 年湖北卷第 21 题) 设 是函数3x的一个极值点。23()()xfxabeR求 a 与 b 的关系式
2、（用 a 表示 b） ，并求 f(x)的单调区间.设 ， 。若存在 、 使得025()4xgxe120,4成立，求 a 的取值范围。21()gf思路分析：略。由得 ，根据 f(x)、23()xfxaeg(x)的单调性，可求出 f(x)的值域是 ，g(x)的值域,6是 。显然， ，所以2245,()4ae2min max5()()4gxaf。依题设知，只要在 上找到 、21()gf21(gf0,41（哪怕分别只找到一个） ，使 成立即可。从图象上看，21()f2即 y=g(x)图象的最低点比 y=f(x)+1 图象的最高点低，因此，问题转化为解不等式 g(x)min0 时,f(x)在 上单调递增
3、,在 上单调递减33,4f(x) max=f(3)=a+6.依题意知：g(x) min f(x)max+1,即 0a .25614a32为了形成知识网络，下面我们对该题进行多角度、多方面的变式探究，以期在“变”的现象中发现“不变”的本质，在“不变”的本质中探索“变”的规律，从而优化学生的思维品质，培养创新能力。首先，我们对本题进行“异构变式” 。变式 1.是否存在实数 ，满足以下结论：对任意的实数 、a0 1使得 恒成立。20,421()gf思路分析：由于 、 取值的任意性，所以要使得2恒成立，必须且只须 y=g(x)的图象全部在 y=f(x)+121()gf图象最低点的下方，也就是判断 g(
4、x)max f(x)min+1 能否成立，由在 上的单调性可知： = ，所()fx0,4min()(0),4fxf3(2)ae3以转化为判断 1 是否有解。由 ，易知此不等245()ae3(2)ae0a式无解（具体解题过程略，下同） 。故不存在使题设成立的实数 a。要区别的是：一般地， 在 上恒成立，并不要求()pxq,mn这样苛刻的条件，而是等价于 在maxin()()pq ()()0gxpqx上恒成立即可，即 g(x)max0 即可。,变式 2：是否存在实数 ，满足以下结论：对任意实数0a总存在 使得 成立。10,42,421()gf思路分析：由于 在区间 上的取值具有任意性， 的取值1,
5、42只要求存在性，故所求问题即为能否保证 y=g(x)图象最高点高于y=f(x)+1 图象的最高点，即 g(x)max f(x)max+1 能否成立，也就是a+6+1 是否有解。易知上式恒成立，故 满足题设。245()ae 0a变式 3：是否存在实数 ，满足以下结论：对任意实数0a总存在 使得 成立。10,42,421()gf思路分析：由于 在区间 上的取值具有任意性， 的取值1,42只要求存在性，所以所求问题等价于能否保证 y=g(x)图象的最低点低于 y=f(x)+1 图象的最低点，即 g(x)minf(x)min+1 能否成立，也就是 1 是否有解。易知不存在 满足题设。254a3()a
6、e 0a变式 4：是否存在实数 ，满足以下结论：对任意实数0总存在 使得 成立。10,2,421()gf4思路分析：对于区间 上任意取值的每一个 ，都会得到一0,41个确定的函数值 ，要保证总存在 与 相等，则必1()f2()g()f须且只须 y=g(x)的值域包含 y=f(x)+1 的值域。于是问题转化为判断 g(x)max f(x)max+1 且 g(x)min f(x)min+1 能否成立,即判断不等式组 是否有解。易知不存在 满足题设。2435()61()aea 0a变式 5：是否存在实数 ，满足以下结论：存在 、0a1使得 成立。20,421()gf思路分析：变式 5 所求问题即为能
7、否保证 y=f(x)+1 的值域与y=g(x)的值域的交集非空，即判断 f(x)max+1 g(x)min且(x)min+1 g(x) max是否成立，也就是判断不等式 且 25614a是否有解。易知不等式 的解集32451(2)()aee 2为 ，不等式 恒成立，所以存在 满0, 32451()ae 30a足题设。通过以上变式探究，使学生初步体会到不等式有解与恒成立之间的区别，并且意识到借助函数图象发现不等关系是一种“便捷又务实”的解题方案。为达到对此类问题的深入理解，揭示在各种外形掩饰下的问题的本质，下面我们对例题本身及以上变式进行“同质变式” 。变式 6：是否存在实数 ，满足以下结论：存
8、在 、0a15使得 成立。20,421()gf思路分析：变式 6 与例题本身在本质上属于同一个问题，只是设置了两种不同的设问形式而已（将不等式中的“ ”改成了“ ”），我们成为“同质变式” 。同例题分析，所求问题即为判断 g(x)maxf(x)min+1 能否成立，即判断 1 是否有解。易知245()ae3(2)ae此式对 是恒成立的。0a变式 7：是否存在实数 ，满足以下结论：对任意的实数 、0a 1使得 恒成立。20,421()gf思路分析：变式 7 与变式 1 的内涵也是一样的，属于“同质变式”题。同变式 1 的分析，所求问题即为判断 g(x)min f(x)max+1 能否成立，即判断
9、 a+6+1 是否有解，易知此式的解为 。254a 32a需要说明的是：一般地， 在 上恒成立，并不要()pxq,mn求 这样苛刻的条件，而是等价于 在minax()()pxq ()()0gxpqx上恒成立即可，即 g(x)min 0 即可。, 变式 8：是否存在实数 ，满足以下结论：对任意实数a总存在 使得 成立。20,410,421()gf思路分析：变式 8 与变式 2 属于“同质变式”题，同变式 2 的分析，所以问题转化为判断 g(x)max f(x)max+1 能否成立，即判断a+6+1 是否有解。易知不存在 满足此式。245()ae 0a变式 9：是否存在实数 ，满足以下结论：对任意
10、实数0a6总存在 使得 成立。20,410,421()gf思路分析：变式 9 与变式 3 属于“同质变式”题，同变式 3 的分析，所求问题转化为判断 g(x)min f(x)min+1 能否成立，即判断1 是否有解，易知此式对 是恒成立的。254a3()ae 0a变式 10：是否存在实数 ，满足以下结论：对任意实数0a总存在 使得 成立。20,410,421()gf思路分析：变式 10 与变式 4 是“同质变式” ，所求问题转化为判断 y=f(x)+1 的值域包含 y=g(x)的值域能否成立，即 f(x)max+1 g(x)max且 f(x)min+1 g(x)min能否成立，也就是判断不等式组是否有解。易知不存在 使此不等式组成立。243561()aea 0a至此，通过对同一例题的多角度变式，不难发现：不等式有解与恒成立的实质是研究相应函数的最值或值域问题。把任意与存在问题化归为最值问题是解决问题的关键所在，也正是在这一点上体现学生思维的灵活性和创新性。
