1、欢迎光临曹开清网站 （http:/ ）第 1 页 共 8 页解读“数学王子”高斯正十七边形的作法江苏省泰州市朱庄中学 曹开清 225300一、高斯的传奇故事高斯(Carl Friedrich Gauss 1777.4.301855.2.23），德国数学家、物理学家、天文学家。 有一天，年幼的高斯在一旁看著作水泥工厂工头的父亲计算工人们的周薪。父亲算了好一会儿，终于将结果算出来了。可是万万没想到，他身边传来幼嫩的童音说：“爸爸，你算错了，总数应该是”父亲感到很惊异，赶忙再算一遍，结果证实高斯的答案是对的。这时的高斯只有3 岁！ 高斯上小学了，教他们数学的老师布特勒(Buttner )是一个态度恶
2、劣的人，他讲课时从不考虑学生的接受能力，有时还用鞭子惩罚学生。有一天，布德勒让全班学生计算 1+2+3+4+5+98+99+100？的总和，并且威胁说：“谁算不出来，就不准回家吃饭！”布德勒说完，就坐在一旁独自看起小说来，因为他认为，做这样一道题目是需要些时间的。小朋友们开始计算：“1 + 2 3， 3+36，6+410 ，”数越来越大，计算越来越困难。但是不久，高斯就拿着写着解答的小石板走到布德勒的身边。高斯说：“老师，我做完了，你看对不对？“做完了？这么快就做完了？肯定是胡乱做的！”布德勒连头都没抬，挥挥手说：“错了，错了！回去再算！”高斯站着不走，把小石板往前伸了伸说：“我这个答案是对的
3、。”布德勒抬头一看，大吃一惊。小石板上写着 5050，一点也没有错！高斯的算法是1 2 39899 100欢迎光临曹开清网站 （http:/ ）第 2 页 共 8 页10099983 21101 10110110110110110110010100 1010025050高斯并不知道，他用的这种方法，其实就是古代数学家经过长期努力才找出来的求等差数列和的方法，那时他才八岁！ 1796 年的一天，德国哥廷根大学。高斯吃完晚饭，开始做导师给他单独布置的三道数学题。前两道题他不费吹灰之力就做了出来了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和没有刻度的直尺，作出一个正十七边形。这道题把他难住了所学过的
4、数学知识竟然对解出这道题没有任何帮助。时间一分一秒的过去了，第三道题竟毫无进展。他绞尽脑汁，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。当窗口露出曙光时，他终于解决了这道难题。当他把作业交给导师时，感到很惭愧。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，”导师看完作业后，激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米得没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为拿错了，才将写有这道题目的纸条交给了学生。在这件事情发生后，高斯曾回忆说：“如果有人告诉我，那是一道千古难题，我可能永远也没有
5、信心将它解出来。” 欢迎光临曹开清网站 （http:/ ）第 3 页 共 8 页1796 年 3 月 30 日，当高斯差一个月满十九岁时，在期刊上发表关于正十七边形作图的问题。他显然以此为自豪，还要求以后将正十七边形刻在他的墓碑上。然而高斯的纪念碑上并没有刻上十七边形，而刻着一颗十七角星，原来是负责刻纪念碑的雕刻家认为：“正十七边形和圆太像了，刻出来之后，每个人都会误以为是一个圆。”1877 年布雷默尔奉汉诺威王之命为高斯做一个纪念奖章。上面刻着：“汉诺威王乔治 V. 献给数学王子高斯(Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi)”，
6、自那之后，高斯就以“数学王子”着称于世。二、高斯正十七边形尺规作图的思路（这里是纯三角法）作正十七边形的关键是作出 cos ，为此要建立求解 cos 的方程。172172设正 17 边形中心角为 ，则 172，即 162 故 sin16sin ，而 sin162sin8 cos8欢迎光临曹开清网站 （http:/ ）第 4 页 共 8 页4sin4 cos4 cos88 sin2 cos2 cos4 cos816 sin cos cos2 cos4 cos8 因 sin 0，两边除以 sin，有 16cos cos2 cos4 cos81由积化和差公式，得4(coscos3 )(cos4cos
7、12)1展开，得4(cos cos4cos cos12cos3 cos4cos3 cos12) 1再由积化和差公式，得2(cos3cos5 )(cos11 cos13)(cos cos7)(cos9cos15)1注意到 cos11 cos6，cos13 cos4 ，cos9 cos8 ，cos15cos2 ，有 2(coscos2 cos3 cos4cos5cos6 cos7cos8)1设 a2(cos + cos2+cos4+ cos8)，b2(cos3+ cos5+cos6+ cos7)，则 ab1 又 ab2(coscos2 cos4 cos8)2(cos3 cos5 cos6cos7)
8、4cos (cos3cos5cos6 cos7)4cos2 (cos3cos5 cos6cos7)4cos4(cos3cos5cos6 cos7)4cos8 (cos3cos5cos6 cos7 )再展开之后共 16 项，对这 16 项的每一项应用积化和差公式，可得：欢迎光临曹开清网站 （http:/ ）第 5 页 共 8 页ab2 (cos2cos4 )(cos4cos6 )(cos5 cos7 )(cos6 cos8)(coscos5 )(cos3cos7)(cos4cos8)(cos5 cos9)(cos cos7)(coscos9)(cos2cos10 )(cos3 cos11 )(c
9、os5cos11)(cos3cos13 )(cos2cos14 )(coscos15)注意到 cos9cos8，cos10cos7 ， cos11 cos6， cos13cos4 ，cos14cos3 ，cos15cos2 ，有 ab24(cos cos2cos3 cos4 cos5 cos6 cos7cos8)4 因为 coscos2cos8(cos cos )cos17241762cos cos cos 2cos (cos )17332又 0 即 cos cos2cos8 0又因为 cos4cos 0178所以 acos cos2cos4cos8 0又 ab-4 0， b cos2，cos4 cos8两式相加得 coscos4 cos2cos8 或 2(coscos4) 2(cos2cos8 )即 c d，又 cd-1 0， d cos6，cos5 cos7两式相加得 cos3cos5 cos6cos7 2(cos3cos5 ) 2(cos6cos7)即 e f，又 ef-1 0， f cos 017281728所以 cos ， 【cos 】42ec42ec于是，我们得到一系列的等式：a ，b ，c ，e ，21721724a24bcos 4ec有了这些等式，只要依次作出 a、b 、c、e ，便可作出 cos 。172
