1、第 1 页 共 8 页 第 2 页 共 8 页20102011 学年第一学期 数学史 课程论文课程号：任课教师 成绩 论文题目：高斯的重要数学贡献论文要求：（对论文题目、内容、行文、字数等作出判分规定。 ）格式要求参考毕业论文要求。字数 3000 左右。选题与学术水平占40 分，论证能力占 25 分，论文撰写质量占 25 分、学习态度与论文字数占 10 分。教师评语：教师签字：年 月 日高斯的重要数学贡献高斯（C.F.Gauss, 17771855 年）德国数学家、物理学家和天文学家。高斯的研究领域，遍及纯粹数学和应用数学的各个领域，并且开辟了许多新的数学领域，从最抽象的代数数论到内蕴几何学，
2、都留下了他的足迹。从研究风格、方法乃至所取得的具体成就方面，他都是 18、19 世纪之交的中坚人物。德国数学家 F.克莱因曾经这样说过：“如果我们把 18 世纪的数学家想象为一系列的高山峻岭，那么最后一个令人肃然起敬的巅峰就是高斯；如果把 19 世纪的数学家想象为一条条江河，那么其源头就是高斯。 ”高斯和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。1.高斯的生平简介高斯 1777 年 4 月 30 日出生于德国布伦兹维克的一个贫苦农民家庭。幼时家境贫苦，聪敏异常。他很幸运，有一位鼎力支持他成才的母亲
3、，高斯的母亲对他的才华极为珍视。1784 年，7 岁的高斯上学了。1787 年，高斯 10 岁，他进入了学习数学的班次。那时的高斯已经表现出了非同一般的创造力与计算能力。高斯的计算能力，更主要的是高斯独到的数学方法和非同一般的创造力，使得他的数学老师布特纳对他刮目相看。他们一起学习，互相帮助，高斯由此开始了真正的数学研究。1788 年，11 岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。经过引见，布伦兹维克公爵召见了 14 岁时的高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，从此，公爵成为了高斯继续学习的资助人。1792 年，高斯进入布伦兹维克
4、的卡罗琳学院继续学习。此时，15 岁的高斯就思考过第五公设问题。17951798 年，在公爵的资助下，已打下良好基础的高斯在格丁根大学学习。高斯在那里受到系统而严格的科学教育，很快就脱颖而出，作出了名扬世界的一系学院：_ _专业：_班级：_本专 学号：_姓名：_密封线 学生须将文字写在此线以下第 3 页 共 8 页 第 4 页 共 8 页列重大贡献。1795 年，1 8 岁 的 高 斯 发 现 了 质 数 分 布 定 理 和 最小二乘法。1796 年3 月，19 岁的高斯就发现正十七边形的尺规作图法（ 阿 基 米 德 与 牛 顿 均 未 画 出 ） ，并给出可用尺规作出的正多边形的条件，解决了
5、欧几里得以来悬而未决的问题，为流 传 了 2000 年 的 欧 氏 几 何 提 供 了 自 古 希 腊 时 代 以 来 的 第 一 次 重 要 补 充 。1799 年，高斯完成了博士论文。1801 年高斯的著作算术研究问世。这本书奠定了近代数论的基础，它不仅是数论方面的划时代之作，也是数学史上不可多得的经典著作之一。1807 年，高斯赴哥丁根就职。任哥丁根大学数学教授和天文台台长。1820 到1830 年间，高斯发明了日观测仪(Heliotrope)。为了要对地球表面作研究，他开始对一些曲面的几何性质作研究。1827 年他发表了曲面的一般研究 (Disquisitiones generales
6、 circa superficies curva)，涵盖一部分现在大学念的微分几何 。1833 年，构造了世界第一个电报机。1833 年，和物理学家韦伯共同建立地磁观测台，组织磁学学会以联系全世界的地磁台站网。1840 年他和韦伯画出了世界第一张地球磁场图，而且定出了地球磁南极和磁北极的位置。 1841 年美国科学家证实了高斯的理论，找到了磁南极和磁北极的确实位置。1855 年 2 月 23日在哥廷根逝世，终年 78 岁。2. 高斯：最小二乘法 （least square method ）1795 年，1 8 岁 的 高 斯 发 现 了 质 数 分 布 定 理 和 最小二乘法。高 斯 使 用
7、的 最 小二 乘 法 的 方 法 发 表 于 1809 年 他 的 著 作 天 体 运 动 论 中 。最小二乘法的定义：最小二乘法在残差满足 VPV 为最小的条件下解算测量估值或参数估值并进行精度估算的方法。其中 V 为残差向量，P 为其权矩阵。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和找到一组数据的最佳
8、函数匹配。3. 高斯：正态分布 （normal distribution）一般地，通过对足够多的测量数据的处理，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高 斯 随 后 专 注 于 曲 面 与 曲 线 的 计 算 ， 并 成 功 得 到 高 斯钟 形 曲 线 (正 态 分 布 曲 线 )。 其 函 数 被 命 名 为 标 准 正 态 分 布 （ 或 高 斯 分 布 ） ， 并在 概 率 计 算 中 大 量 使 用 。3.1 正态分布的定义定义 1：概率论中最重要的一种分布，也是自然界最常见的一种分布。该分布由两个参数平均值和方差决定。概率密度函数曲线以均值为对称中线,方差越小，分布
9、越集中在均值附近。定义 2：一种最常见的连续性随机变量的概率分布。正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution） ，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量 X 服从一个数学期望为 、标准方差为 2 的高斯分布，记为：则其概率密度函数为正态分布的期望值 决定了其位置，其标准差 决定了分布的幅度。因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们经常说的标准正态分布是 = 0, = 1 的正态分布。3.2 正态分布的由来正 态 分 布 最 早 由 A.棣 莫 弗 在 求 二 项
10、 分 布 的 渐 近 公 式 中 得 到 。 C.F.高 斯 在 研究 测 量 误 差 时 从 另 一 个 角 度 导 出 了 它 。 P.S.拉 普 拉 斯 和 高 斯 研 究 了 它 的 性 质 。生 产 与 科 学 实 验 中 很 多 随 机 变 量 的 概 率 分 布 都 可 以 近 似 地 用 正 态 分 布 来 描 述 。例 如 ， 在 生 产 条 件 不 变 的 情 况 下 ， 产 品 的 强 力 、 抗 压 强 度 、 口 径 、 长 度 等 指 标 ；同 一 种 生 物 体 的 身 长 、 体 重 等 指 标 ； 同 一 种 种 子 的 重 量 ； 测 量 同 一 物 体 的
11、 误 差 ；弹 着 点 沿 某 一 方 向 的 偏 差 ； 某 个 地 区 的 年 降 水 量 ； 以 及 理 想 气 体 分 子 的 速 度 分 量 ，等 等 。 一 般 来 说 ， 如 果 一 个 量 是 由 许 多 微 小 的 独 立 随 机 因 素 影 响 的 结 果 ， 那 么 就可 以 认 为 这 个 量 具 有 正 态 分 布 。 从 理 论 上 看 ， 正 态 分 布 具 有 很 多 良 好 的 性 质 ， 许 多 概 率 分 布 可 以 用 它 来 近 似 ； 还 有 一 些 常 用 的 概 率分 布 是 由 它 直 接 导 出 的 ， 例 如 对 数 正 态 分 布 、 t
12、 分 布 、F 分 布 等 。正 态 分 布 应 用 最 广 泛 的 连 续 概 率 分 布 ， 其 特 征 是“钟 ”形 曲 线 。附 ： 这 种 分 布 的 概 率 密 度 函 数 的 图 像 为 ： （ 如 图3.1）3.3 正态分布的发展第 5 页 共 8 页 第 6 页 共 8 页正 态 分 布 概 念 是 由 德 国 的 数 学 家 和 天 文 学 家 A.棣 莫 弗 于 1733 年 首 次 提 出的 ， 但 由 于 高 斯 率 先 将 其 应 用 于 天 文 学 家 研 究 ， 故 正 态 分 布 又 叫 高 斯 分 布 ， 高 斯这 项 工 作 对 后 世 的 影 响 极 大
13、 ， 他 使 正 态 分 布 同 时 有 了 “高 斯 分 布 ”的 名 称 ， 后世 之 所 以 多 将 最 小 二 乘 法 的 发 明 权 归 之 于 他 ， 也 是 出 于 这 一 工 作 。在 高 斯 的 一 切 科 学 贡 献 中 ， 其 对 人 类 文 明 影 响 最 大 者 ， 就 是 这 一 项 。 在 高 斯刚 作 出 这 个 发 现 之 初 ， 也 许 人 们 还 只 能 从 其 理 论 的 简 化 上 来 评 价 其 优 越 性 ， 其 全部 影 响 还 不 能 充 分 看 出 来 。 这 要 到 20 世 纪 正 态 小 样 本 理 论 充 分 发 展 起 来 以 后
14、。拉 普 拉 斯 很 快 得 知 高 斯 的 工 作 ， 并 马 上 将 其 与 他 发 现 的 中 心 极 限 定 理 联 系 起 来 ，为 此 ， 他 在 即 将 发 表 的 一 篇 文 章 (发 表 于 1810 年 ） 上 加 上 了 一 点 补 充 ， 指 出 如若 误 差 可 看 成 许 多 量 的 叠 加 ， 根 据 他 的 中 心 极 限 定 理 ， 误 差 理 应 有 高 斯 分 布 。 这是 历 史 上 第 一 次 提 到 所 谓 “元 误 差 学 说 ”误 差 是 由 大 量 的 、 由 种 种 原 因 产生 的 元 误 差 叠 加 而 成 。 后 来 到 1837 年
15、， 海 根 (G.Hagen)在 一 篇 论 文 中 正 式 提 出了 这 个 学 说 。4. 高斯：三 角 形 全 等 定 理高 斯 在 计 算 的 谷 神 星 轨 迹 时 总 结 了 复 数 的 应 用 ， 并 且 严 格 证 明 了 每 一 个 n阶 的 代 数 方 程 必 有 n 个 复 数 解 。 在 他 的 第 一 本 著 名 的 著 作 数 论 中 ， 作 出 了二 次 互 反 律 的 证 明 ， 成 为 数 论 继 续 发 展 的 重 要 基 础 。 在 这 部 著 作 的 第 一 章 ， 导 出了 三 角 形 全 等 定 理 的 概 念5. 高斯：算术研究1801 年高斯的著
16、作算术研究问世。 算术研究是用拉丁文写成的。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写的，前后花了三年时间。1800 年，高斯将手稿寄给法国科学院，请求出版，却遭到拒绝，于是高斯只好自筹资金发表。在这本书的序言一开头，高斯明确地说明了本书的范围：“本书所研究的是数学中的整数部分，分数和无理数不包括在内。 ”算术研究是一部划时代的作品，它结束了 19 世纪以前数论的无系统状态。在这部书中，高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系统的整理，并积极加以推广，给出了标准化的记号，把研究的问题和解决这些问题的已知方法进行了分类，还引进了新的方法。全书共有三个核心课题：同余理论、齐式论及剩余论和二次互反律。
17、这些都是高斯贡献给数论的卓越成就。同余是算术研究中的一个基本研究课题。这个概念不是高斯首先提出的，但是给同余引入现代的符号并予以系统研究的却是高斯。他详细地讨论了同余数的运算、多项式同余式的基本定理以及幂的同余等各种问题。他还运用幂的同余理论证明了费马小定理。二次互反律是高斯最得意的成果之一，它在数论中占有极为重要的地位。正如美国现代数学家狄克逊（18741954）所说：“它是数论中最重要的工具，并且在数论发展史上占有中心位置。 ”其实，高斯早在 1796 年就已经得出了这个定理及其证明。发表在算术研究中的则是另一种证明。从二次互反律出发，高斯相继引出了双二次互反律和三次互反律，以及与此相联系
18、的双二次和三次剩余理论。为了使三次和双二次剩余理论优美而简单，高斯又发展出了复整数和复整数数论；而它的进一步结果必然是代数数论，这方面由高斯的学生戴德金（18311916）作出了决定性的贡献。在算术研究中，高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后，便一鼓作气地提出了一系列关于型的等价定理和型的复合理论，他的工作有效地向人们展现了型的重要性用于证明任何多个关于整数的定理。正是由于高斯的带领，使型的理论成为 19 世纪数论的一个主要课题。高斯关于型和型类的几何表式的论述是如今所谓数的几何学的开端。高斯对数论问题的处理，有许多涉及到复数。首先是对复数的承认
19、，这是个老问题。18、19 世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么？”搞不清楚。莱布尼兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的证明中无条件地使用了复数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的承认，扩大到在重大的代数问题的证明中来确认复数的地位。高斯以其对该定理的高超证明，使数学界不仅对高斯而且对复数刮目相待。高斯不仅如此，他又把复数带进了数论，并且创立了复整数理论。在这一理论中，高斯证明了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质。欧几里得在普通整数中证明了算术基本定理每个整数可唯一地分解为素数的乘积，高斯则在复整数中得出并证明，只要不把四个可逆元素（1，i）作为不同的因数，那么
20、这个唯一分解定理对复数也成立。高斯还指出，包括费马大定理在内的普通素数的许多定理都可能转化为复数的定理（扩大到复数领域） 。算术研究似乎任何一个学过中学普通代数的人都可以理解，但是，它完全不是给初学者看的。在当时，读懂这本书的人较少。困难不是详细的计算示例而是对主题的理解和对深奥思路的认识。由于全书有 7 个部分，人们风趣地称它是部“加七道封漆的著作” 。算术研究出版后，很多青年数学家纷纷购买此书并加以研究，狄利克雷（18051859）就是其中之一。狄利克雷是德国著名数学家，对分析、数论等有多方面的贡献。他把算术研究视为心爱的宝贝。狄利克雷第一个打开了“七道封漆” 。后来他以通俗的形式对算术研究作了详细的介绍和解释，使这部艰深的作第 7 页 共 8 页 第 8 页 共 8 页品逐渐为较多的人所理解和掌握。参考文献1朱家生.数学史 M.北京：高等教育出版社，2004.2张亚军 李登峰. 数学王子高斯高中数学教与学论文J. 高中数学教与学.2007（2）：4142
