1、- 1 -高三数学第一轮复习单元测试（7）圆锥曲线一、选择题（本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1若椭圆经过原点,且焦点为 ,则其离心率为 （ 12(,0)3F）A B C D341142若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为 （ 2ypx26xyp）A B C D43已知双曲线 ,则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距932离之比等于 （ ）A B C 2 D42324与 轴相切且和半圆 内切的动圆圆心的轨迹方程是 （ y4(0)xyx）A B24(1)24(1)0)yxC D 0yx x5
2、直线 与曲线 的公共点的个数为 （ k22918ykx(,R且 k）A 1 B 2 C 3 D 46如果方程 表示曲线,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ 2xypq）A B 2121xyqpC D 2xypq27曲线 与曲线 的 （ 221(6)10m2(59)59xym- 2 -）A焦距相等 B离心率相等 C焦点相同 D准线相同8双曲线 的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 （ 21mxym）A B C D44149设过点 的直线分别与 轴的正半轴和 轴的正半轴交于 、 两点，点 与点yxP,xyABQ关于 轴对称， 为坐标原点，若 ，且 ，则 点的轨迹方程是OPA21OQP（ ）A B0,1
3、23yxyx 0,23yxyxC D 110抛物线 上的点到直线 距离的最小值是 （ ）2438A B C D43755311已知抛物线 上一定点 和两动点 当 是,点 的横坐标21xy(1,0)A,PQAQ的取值范围是 （ ）A B C D (,3,)3,(,31,)12椭圆 上有 个不同的点: ,椭圆的右焦点为 ,数列 是公214xyn,.21nPF|nP差大于 的等差数列,则 的最大值为 （ 0）A199 B 200 C198 D201二、填空题(本大题共 4 小题 ,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)13椭圆 的两个焦点为 ,点 在椭圆上.如果线段 的中点在 轴上,
4、那213xy12FP1PFy么 是 的_倍.1|PF2|14如图把椭圆 的长轴 AB 分成 8 等 156xy+=- 3 -分,过每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,P7 七个点,F 是椭圆的焦点,则|P 1F|+|P2F|+|P7F|= .15要建造一座跨度为 16 米,拱高为 4 米的抛物线拱桥,建桥时,每隔 4 米用一根柱支撑,两边的柱长应为_.16已知两点 ,给出下列直线方程: ; ;(5,0)(MN530xy5320xy.则在直线上存在点 满足 的所有直线方程是_.(只4xyP|6MN填序号)三、解答题(本大题共 6 小题 , 共 74 分,解答应写出文字说明,证
5、明过程或演算步骤)17 （本小题满分 12 分）学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 ，变轨（即航天器运行轨迹由1250yx椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实y764,M线部分，降落点为 . 观测点 同时跟踪航天器.)0,8(D)0,(),4(BA、（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在 轴上方时，观测点x、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？- 4 -18 （本小题满分 12 分）已知三点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0） 。1F2F（
6、1）求以 、 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程；1F2（2）设点 P、 、 关于直线 yx 的对称点分别为 、 、 ，求以 、 为焦P121F2点且过点 的双曲线的标准方程.- 5 -19 （本小题满分 12 分）已知椭圆的中心在原点,离心率为 ,一个焦点是 ( 为大12,0)Fm于 0 的常数).（1）求椭圆的方程;（2）设 是椭圆上一点,且过点 的直线 与 轴交于点 ,若 ,求直Q,FQlyM|2|Q线 的斜率.l- 6 -20 （本小题满分 12 分）已知点 分别是椭圆 长轴的左、右端点,点 是椭,AB21360xyF圆的右焦点.点 在椭圆上,且位于 轴的上方, .PPAF（1）求点
7、的坐标;（2）设 椭圆长轴 上的一点, 到直线 的距离等于 ,求椭圆上的点到点MM|MB的距离 的最小值.d- 7 -21 （本小题满分 12 分）已知抛物线 ,是否存在过点 的弦 ,使 恰被28yx(1,)QAB平分.若存在,请求 所在直线的方程;若不存在,请说明理由.QAB- 8 -22 （本小题满分 14 分）设 , 为直角坐标平面内 轴正方向上的单位向量,若,xyRijxy向量 , ,且 .(2)axij(2)b|8ab（1）求点 的轨迹 的方程;,MyC（2）过点(0,3)作直线 与曲线 交于 两点,设 ,是否存在这样的直线lABOPAB,使得四边形 是矩形?若存在,求出直线 的方程
8、;若不存在,试说明理由.lOPl- 9 -答案与解析（7）1C . 原点到 的距离之和是长轴长 ,又 ,所以椭圆的离心率 .12,F24a2c12cea2D . 椭圆 的右焦点为 (2,0)，所以抛物线 的焦点为(2,0)，则 ，6xyypx4p故选 D3答案选 C 依题意可知 ，329,32baca，故选 C23ace4A 设动圆圆心为 ,动圆与已知半圆相切的切点为 ,点 到 轴的距离为 ,则()MxyAMyd有 ,而 ,所以 ,化简得 .|Od2xy24(1)0)x5D将 代入 得：2yk2918k98k，显然该关于 的方程有两正解，即 x 有四解，所以交点有 4 9|1840x|个，故选
9、择答案 D6D由题意知, .若 ,则双曲线的焦点在 轴上,而在选择支 A,C 中,椭圆pqqy的焦点都在 轴上,而选择支 B,D 不表示椭圆;x若 ,选择支 A,C 不表示椭圆,双曲线的半焦距平方 ,双曲线的焦点0 2cpq在 轴上,选择支 D 的方程符合题意 .7A由 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆，由221(6)106xym知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线，故只能选择答案22(59)59mA8A . 一看带参，马上戒备：有没有说哪个轴是实轴？没说，至少没有明说。分析一下，因为等号后为常数“+” ，所以等号前为系数为“+”的对应实轴。y 2 的系数为“+” ，所以这个双曲线是“立”着
10、的。接下来排除 C、D 两过于扯淡的选项 既然说是双曲线， “x2”与“y 2”的系数的符号就不能相同.在接下来是一个“坑儿”：双曲线的标准形式是 1ab或21xab（ ,0a） ，题目中的双曲线方程并不是标准形式，- 10 -所以要变一下形儿，变成211/|xym。由题意，半虚轴长的平方：半实轴长的平方 = 4.即1:4|，所以 4。选 A当然，我们也可以不算，只利用半虚轴比半实轴长即可直接把答案 A 圈出来9D由 及 分别在 轴的正半轴和 轴的正半轴上知，PB2,Bxy3(,0)2Ax， ，由点 与点 关于 轴对称知， ， =(0,3)y3()yQPQyO，则,x 23,(,)1(,)2O
11、QAxyxyx10A .抛物线上任意一点（ t， ）到直线的距离22|48|348|55ttd.因为24380，所以 23480t恒成立.从而有 21t，min154d.选 A11D .由题意知,设 ,又因为 ,由 知,212(,),(1)PxQx(10)APQ,即 ,也就是0PAQ121(, 0,因为 ,所以上式化简得212()()xx121x且,由基本不等式可得 或 .2111()223x12D . 由题意知 ,要使所求的 最大,应使 最小, 最大,又 为椭圆的右焦点,设n1|PF|nF的横坐标为 故由第二定义可得, ,其中 ,所以当 时, nPnx|naex12e12x,当 时, 最大.
12、由等差数列的通项公式可得, 1|F2|3,即 ,又因为 ,解得 .|(1)nd110dn137 倍. 由已知椭圆的方程得 .由于焦点122,(,0)(3,abcF- 11 -12F和关于 轴对称,所以 必垂直于 轴.所以y2PFx,所以 .2221337(,)|,|()(P21|7|PF1435. 设 P1(x1,y1),P2(x2,y2),P7(x7,y7),所以根据对称关系 x1+x2+x7=0,于是|P1F|+|P2F|+|P7F|=a+ex1+a+ex2+a+ex7=7a+e(x1+x2+x7)= 7a=35,所以应填 35.151 米. 由题意知,设抛物线的方程为 ,又抛物线的跨度为
13、 16,拱高为2(0)xpy4,所以点(8,-4) 为抛物线上的点,所以 .即抛物线方程为 .所以当 时,8216xy4x,所以柱子的高度为 1 米.y16. 由 可知点 在双曲线 的右支上,故只要判断直线|6MPNP2196xy与双曲线右支的交点个数.因为双曲线的渐近线方程为 ,直线过原点且斜率43,所以直线与双曲线无交点;直线与直线平行,且在 轴上的截距为 故543 y523与双曲线的右支有两个交点;直线的斜率 ,故与双曲线的右支有一个交点.41317 （1）设曲线方程为 ，7642axy由题意可知， . 0. 7a曲线方程为 . 76412xy（2）设变轨点为 ，根据题意可知),(C得
14、，)2(,7641502xy 036742y或 （不合题意，舍去）. . 9得 或 （不合题意，舍去）. 点的坐标为 ，6x C)4,6(- 12 -.4|,52|BCA答：当观测点 测得 距离分别为 时，应向航天器发出变轨指令. 、 A、 452、18 （1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为 + ，其半焦距 。ax1by)0(6c， ，|221PFa6122a53，故所求椭圆的标准方程为 + ；93645cb 42x19y（2）点 P（5，2） 、 （6，0） 、 （6，0）关于直线 yx 的对称点分别为：12F、 （0，-6） 、 （0，6）),(设所求双曲线的标准方程为 - ，由题意知半
15、焦距 ，21axby)0,(1b61c， ，|2211Fa 542a52，故所求双曲线的标准方程为 - .603211cb 02y16x19 （1）设所求椭圆方程为: .由已知得: ,所以21(0)xyab,2cma.故所求椭圆的方程为: .2,3amb2143xy（2）设 ,直线 ,则点 .当 时,由于()Qxy:()lkm(0,)Mk2QF.由定比分点坐标公式,得 ,0FM 13mx.又点 在椭圆上,所以 ,解得 .当123Qkmy224926k时, , .于是0(2)Qmx12Qky,解得 .故直线 的斜率为 0 或 .22413kkl620 （1）由已知可得点 , 设点 ,则 , ,(
16、6,0)(4AF()Pxy()Axy(4)FPxy- 13 -由已知可得221360()40xy.则 解得 .由于29180x3,62x或,只能 于是 . 所以点 P 的坐标是 .0y,2x53y5(,)（2）直线 的方程是 .设点 ,则 到直线 的距离是AP60)MmAP6m. 于是 ,又 ,解得 . 椭圆上的点 到点|262(,)xy的距离 有 ,由于Md225()409xyxx2415,所以当 时, 取得最小值 .6x9d121假设存在这样的直线,则直线的斜率一定存在,设为 ,点 在抛物线上,k12(,)()AxyB所以 ,两式作差得, ,即 ,218yx121212()8yy12128
17、yx解得 ,故直线方程为 ,即 .经验证,直线符合条件.4k4x43x22 （1）由 ,得 ,设 则|8ab222()()8yy12(0,)(,F动点 满足 ,所以点 在椭圆上,且椭圆的M1212|FFM.所以轨迹 的方程为 .4,23acbC216yx（2）设直线的斜率为 ,则直线方程为 ,联立方程组 消去 得:k3ykx2316ykxy, 恒成立,设2(43)180x22(18)4()0k,则 .由 ,所以四边12,()AyB12122,33xxAPOB形 为平行四边形.若存在直线 ,使四边形 为矩形,则 ,即OPlOB- 14 -,解得 ,所以直212112()3()90OABxykxx 54k线 的方程为 ,此时四边形 为矩形.l54OAPB
