1、第 9 章 组合变形9.1【学习基本要求】本章介绍了组合变形的概念，以及对组合变形进行强度计算的方法，着重讨论斜弯曲、偏心压缩、弯曲和扭转的组合作用等情况，本章的重点是要掌握利用叠加原理对各种组合变形进行强度计算的思路。1）理解组合变形的概念。2）学会判断杆件的基本变形和组合变形的方法。3）掌握利用叠加原理对组合变形的分析思路。4）熟练掌握斜弯曲、拉弯组合或压弯组合、偏心压缩或偏心拉伸以及弯扭组合等工程中常见组合变形形式的强度计算步骤。5）了解截面核心的概念，学会确定截面核心的形状。6）理解连接件的概念，掌握剪切与挤压的实用计算方法。9.2【要点分析】1、组合变形的概念构件在荷载作用下常常同时
2、发生两种或两种以上的基本变形，称为组合变形。实际上，所有的杆件都是组合变形问题。一般来说，通常只考虑对问题影响较大的一种或几种基本变形形式，而不可能全面研究各种情况。因此需要对实际问题进行简化，忽略影响较小的因素所引起的应力或位移，转化成容易研究的力学模型，再得到最后结果来指导工程实践。研究组合变形问题的关键在于：如何将组合变形分解为若干基本变形，并将基本变形下的应力和变形进行叠加。对组合变形问题，一般可按照外力简化、内力分析、应力和变形计算的步骤进行研究，然后进行强度和刚度设计。1）外力简化：将外力简化成几组基本变形形式作用的等效力系。2）内力分析：分析内力分布规律，结合截面的几何性质和材料
3、的力学特性，确定可能的危险截面及其内力分量。3）应力计算：按基本变形形式下横截面上的应力变化规律，确定可能的危险点及其应力分量，并按叠加原理分析该点的应力状态。4）强度设计：按危险点的应力状态及材料的力学特性，选取适当的强度理论建立强度条件进行强度设计。5）变形计算与刚度设计：必要时计算杆件的变形进行刚度计算。【注意】利用上述方法进行组合变形分析时应满足以下两个条件：符合圣维南原理，可以用静力等效力系代替原有的荷载，即要求杆件为细长杆，且所求的应力点应远离外力作用位置；要求杆件材料处于线弹性范围内，且变形很小，可以按杆件的原始形状和尺寸利用叠加原理对基本变形分析后再进行叠加计算。2、斜弯曲梁的
4、挠曲线不是在形心主惯性平面内的一条平面曲线就称为斜弯曲。斜弯曲通常可以看作是由两个不同形心主惯性平面内的平面弯曲的组合变形形式，这里主要讨论由两个对称弯曲组成的斜弯曲情形。斜弯曲通常在发生在图 9-1 所示的两种情况中 AB 段都是斜弯曲。下面以图 9-1(b)所示的情形来说明斜弯曲的强度和刚度计算。在梁的任意横截面 m-m 上，由 F1 和 F2 引起的弯矩值依次为， yMx2()zxa在横截面 m-m 上的某点 , 处由弯矩 My 和 Mz 引起的正应力分别为(C)z， yI zI根据叠加原理， 和 的代数和即为 C 点的正应力，即(8.1)yzMI【说明】式中，I y 和 Iz 分别为横
5、截面对 y 轴和 z 轴的惯性矩； M y 和 Mz 分别是截面上位于水平和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与 y 轴和 z 轴的正向一致，如图 9-1(c)所示。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩 My、M z 和坐标 y、z 的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在 F1 和 F2 分别作用下的变形情况，来判断式 (8.1)右边两项的正负号。为了进行强度计算，必须先确定梁内的最大正应力。最大正应力发生在弯矩最大的截面( 危险截面)上，但要确定截面上哪一点的正应力最大 (就是要找出危险点的位置)，应先确定截面上中性轴的位置。由于中性轴上各点处的正应力均为零，令 代表中性0()yz,轴上的任
6、一点，将它的坐标值代入式(8.1)，即可得中性方程(8.2)0yzMI从上式可知，中性轴是一条通过横截面形心的直线，令中性轴与 y 轴的夹角为 ，则(8.3)0tantanyZzIz【说明】式中，角度 是横截面上合成弯矩 的矢量与 y 轴的夹角，2yzM如图 9-1(c)所示。一般情况下，由于截面的 ，因而中性轴与合成弯矩 M 所在的yzI平面并不垂直。而截面的挠度垂直于中性轴，如图 9-2(a)所示，所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，这与平面弯曲不同。对于正方形、圆形等截面以及某些特殊组合截面，其中，就是所有形心轴都是主yzI惯性轴，故 ，因而，正应力可用合成弯矩 M 进行计算。 梁各横
7、截面上的合成弯矩 M 所在平面的方位一般并不相同，所以，虽然每一截面的挠度都发生在该截面的合成弯矩所在平面内，梁的挠曲线一般仍是一条空间曲线。可是，梁的挠曲线方程仍应分别(a) (b) (c)图 9-1图 9-2按两垂直平面内的弯曲来计算，不能直接用合成弯矩进行计算。确定中性轴的位置后，就可看出截面上离中性轴最远的点是正应力 值最大的点。一般只要作与中性轴平行且与横截面周边相切的线，切点就是最大正应力的点。如图 9-1(b)所示的矩形截面梁，显然右上角 与左下角 有最大正应力值，将这些点的坐标1D2(y1, z1)或 (y2, z2)代入式(8.1) ，可得最大拉应力 和最大压应力 。t,ma
8、xc,max在确定了梁的危险截面和危险点的位置，并算出危险点处的最大正应力后，由于危险点处于单轴应力状态，于是，可将最大正应力与材料的许用正应力相比较来建立强度条件，进行强度计算。图 9-1(b)所示的斜弯曲在自由端处的变形最大，可采用叠加法计算。设自由端的挠度为 f，在两个主惯性平面内的挠度分别为 fy 和 fz，总挠度 f 为上述两个挠度的矢量和，其大小和方向可由下式确定， (9.4)2zyfftantanyIf其中 为总挠度 f 与 y 轴的夹角。求得总挠度后，即可按照刚度条件进行三类问题的刚度设计。3、平面弯曲与斜弯曲的比较以图 9-3 所示的杆件为例说明平面弯曲与斜弯曲的的比较，具体
9、项目见表 9-1表 9-1 平面弯曲与斜弯曲的比较项目 平面弯曲 斜弯曲受力特点 FP平面与过 y 轴的纵平面重合 FP平面过形心但不与过 y 轴的纵平面重合。中性轴特点 中性轴与 FP平面垂直 中性轴与 FP平面不垂直变形特点 挠曲平面与中性轴垂直，且在 FP平面内。 挠曲平面与中性轴垂直，但偏离 FP平面内。4、拉弯组合或压弯组合拉弯组合或压弯组合是指轴向拉压与平面弯曲的组合变形形式。如图 9-4(a)所示悬臂杆 AB，在它的自由端 A 作用一与铅直方向成 角的力 F(在纵向对称面 平面内)。将 Fxy力分别沿 轴 轴分解，可得 Fx=Fsin，F y=Fcos。F x为轴向力，主动对梁引
10、起拉伸变xy形，如图 9-4(b)所示；F y为横向力，主动引起梁的平面弯曲，如图 9-4(c)所示。距 A 端 的截面上的轴力为 ，弯矩为 。在轴NsinxcoszyM向力 Fx作用下，杆各个横截面上有相同的轴力 。而在横向力作用下，固定端横截Nx面上的弯矩最大， ，故危险截面是在固定端。maxcosMl与轴力 对应的拉伸正应力 在该截面上各点处均相等，其值为Nt图 9-3Nt sinxFA而与 对应的最大弯曲正应力 ，出现在该截maxMb面的上、下边缘处，其绝对值为 maxbcoszzlW在危险截面上与 ， 对应的正应力沿截NFaxM面高度变化的情况分别如图 9-5(a)和图 9-5(b)
11、所示。将弯曲正应力与拉伸正应力叠加后，正应力沿截面高度的变化情况如图 9-5(c)所示。若 ，则 为拉应力；若 ，则tbmintb为压应力。min所以 之值须视轴向力和横向力分别引起的in应力而定。如图 9-5(c)所示的应力分布图是在 t的情况下作出的。显然，杆件的最大正应力是b危险截面上边缘各点处的拉应力，其值为(9.5) maxsincoszFlAW由于危险点处的应力状态为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。【注意】 应该注意，当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。对于细长杆件，杆件内由于横
12、力弯曲的剪力影响较小，通常可忽略相应的切应力的影响；若杆件的抗弯刚度很小，由横向力所引起的挠度与横截面尺寸相比不能略去，就应考虑轴向力引起的弯矩。5、偏心拉伸或偏心压缩当构件所受外力作用线与员线平行但不通过截面形心时就产生偏心压缩或偏心拉伸。现以图 9-6 所示的偏心拉杆为例说明其强度计算。设偏心力 F 作用在端面上的 点，其坐标为( )。将力 F 向截面形心 点简化，Kzye, O把原来的偏心力 F 转化为轴向拉力 F；作用在 平面内的弯曲力偶矩 ；作用x zeyM在 平面内的弯曲力偶矩 。xy yezM图 9-5图 9-6图 9-4在这些荷载作用下，在所有横截面上的内力轴力和弯矩均保持不变
13、，即， ，FNzeyyFMyezzF所以，杆件的变形是轴向拉伸和两个纯弯曲的组合。当杆的弯曲刚度较大时，可按叠加原理求解。叠加上述三内力所引起的正应力，即得任意横截面 m-m 上某点 的应力计算式),(zB(9.5)zyyzzy IeAIA式中， 为横截面面积； 和 分别为横截面对 轴和 轴的惯性矩。利用惯性矩与惯性半径的关系，有 ，2yyiI，于是式(9.5)可改写为2zziAI(9.6)21zyzieF式(9.6)是一个平面方程，这表明正应力在横截面上按线性规律变化，而应力平面与横截面相交的直线(沿该直线 )0就是中性轴，如图 9-7 所示)。将中性轴上任一点 代入式(9.6)，即得中,(
14、0yzC性轴方程为(9.7)1202zyziei显然，中性轴是一条不通过截面形心的直线，它在 、 轴上的截距 和 分别可yzyaz以从式(8-4) 计算出来。在上式中，令 ，相应的 即为 ，而令 ，相应的0z0a0即为 。由此求得0zza， (9.8)yzyeia2zyzei2式(9.8)表明，中性轴截距 ， 和偏心距 ， 符号相反，所以中性轴与外力作用zy点 位于截面形心 的两侧，如图 9-7 所示。中性轴把截面分为两部分，一部分受拉应KO力，另一部分受压应力。确定了中性轴的位置后，可作两条平行于中性轴且与截面周边相切的直线，切点与 分别是截面上最大拉应力与最大压应力的点，分别将 与 的坐1
15、D2 ),(1yzD),(2yz标代入式(9.5)，即可求得最大拉应力和最大压应力的值(9.9)zyyzDzyyzIFeIA221121由于危险点处于单向应力状态，因此，在求得最大正应力后，就可根据材料的许用应力 来建立强度条件。【说明】 偏心拉伸或偏心压缩实际上是轴向拉压与纯弯曲的组合变形形式；一个轴向拉压与一个平面弯曲的组合称为单向偏心，一个轴向拉压与两个平面弯曲的组合+-KzeyD21中 性 轴a图 9-7称为双向偏心；对于周边具有棱角的截面，如矩形、箱形、工字形等，其危险点必定在截面的棱角处，并可根据杆件的变形来确定，无需确定中性轴的位置。6、截面核心在偏心压缩时，当外力作用点位于截面
16、形心附近的一个区域内时，就可保证构件内不出现拉应力，即中性轴不与横截面相交，这个区域称为截面核心。当外力作用在截面核心的边界上时，与此相对应的中性轴就正好与截面的周边相切，如图 9-8 所示。利用这一关系就可确定截面核心的边界。图 9-9 列出了圆截面和矩形截面的截面核心，图 9-10 列出了由工字钢和槽钢的截面核心。7、弯扭组合变形弯扭组合变形是指由平面弯曲与扭转组合而成的组合变形形式，这里以图 9-11(a)所示的直径为 d 圆截面杆 AB 为例说明弯扭组合变形的分析方法。杆 AB 的受力简图如图 9-11(b)所示，任一截面 m-m 上的内力如图 9-11(c)所示，任一横截面上的应力情
17、况如图 9-11(d)所示，比较特殊的三点 D、E、F 的应力状态如图 9-11(e)所示，危险截面和危险点的情况如图 9-11(f)所示。对于弯扭联合作用下的杆，一般用塑性材料制成，通常用第三、四强度理论，即 (9.10)423r(9.11)4由于圆截面的抗扭截面系数是抗弯截面系数的二倍，W n=2W，所以有(9.12)23WMnr(9.13)75.024rO51423ay1z图 9-8 图 9-9图 9-10(c)【说明】 对于式 (9.12)和式(9.13)，只是用与弯扭组合变形圆轴，其它截面只能用式(9.10)和式(9.11)；若杆件受拉压+弯曲+扭转同时作用的组合变形时，只能用式(9
18、.10)和式(9.11)；实际问题中，圆截面杆往往在互相垂直的两个平面内同时存在弯矩 ,ZM，则 ，代入式(9.12)和式(9.13) 即可。yM2yz8、连接件的概念在工程中，构件相互之间起连接作用的部件称为连接件，常见的连接方式有螺栓、铆钉、销轴、键、焊缝连接等。由于连接件的本身尺寸较小，而受力和变形往往较为复杂，其强度计算通常采用实用计算方法，具体做法是：1）对连接件的受力与应力分布进行简化假定，从而计算出各相关部分的“名义应力”；2）对同样连接件进行实验，由破坏载荷采用同样的计算方法，确定材料的极限应力。3）然后，根据上述两方面，建立相应的强度条件，作为连接件设计的依据。实践表明，只要
19、简化假定合理，又有充分的试验依据，该方法是实用可靠的。9、剪切的实用计算图 9-11(d)(a) (b)(f)(e)剪切是指在大小相等、方向相反、作用线相距很近的两组外力作用下，构件沿某一横截面发生相对错动的变形形式。例如图 9-12 所示螺栓连接沿 m-m 截面破坏的情形。其中 m-m 截面称为剪切面，其面积称为剪切面积，用 AS 表示，截面上的内力分量称为剪力，用 FS 表示，假设剪切面上各点处的切应力是均匀分布的。于是，剪切面上的名义切应力为(9.14)SF通过直接试验，得到剪切破坏时材料的极限切应力 u。再除以安全因数，即得材料的许用切应力 。于是，剪切的强度条件可表示为(9.15)n
20、AFS【注意】虽然按式(9.14)求得的切应力值，并不反映剪切面上切应力的精确理论值，它只是剪切面上的平均切应力，但对于用低碳钢等塑性材料制成的连接件，当变形较大而临近破坏时，剪切面上的切应力将逐渐趋于均匀。而且，满足剪切强度条件式(9.15)时，显然不至于发生剪切破坏，从而满足工程实用的要求。10、单剪和双剪工程中铆钉（或螺栓）连接方式主要有搭接和对接两种。在图 9-13(a)(b)所示的搭接和单盖板对接中，铆钉被剪断时只有一个剪切面，称为单剪；而在图 9-13(c)所示的双盖板对接中，铆钉被剪断时有两个剪切面，称为双剪。无论单剪还是双剪，均可用式(9.14)计算剪切面上的切应力，但计算时要
21、确定铆钉有几个剪切面，以及每个剪切面上的剪力和切应力。11、挤压的实用计算连接件中，在构件相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为挤压；在挤压面上的压力，称为挤压力，并记为 Fjy。显然，挤压力可根据被连接件所受的外力，由静力平衡条件求得。当挤压力过大时，可能引起螺栓（铆钉）压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动而失效，如图 9-14(a)所示。接触面上由挤压力产生的应力称为挤压应力，用 jy 表示。挤压应力只限于接触面附近的局部区域，而且在接触面上的分布情况比较复杂。在挤压实用计算中，通常假设在图 9-12(d) (c) (b) (a)图 9-13(a) (c)(b)计算挤压面积上
22、应力是均匀分布的。所谓计算挤压面积是指实际挤压面在与力的作用线垂直的平面上的投影面的面积。如图 9-14(b)(c)所示，实际挤压面是一个半圆柱面，其计算挤压面则是一个矩形。于是可得名义挤压应力的计算式为(9.16)jyjAF式中，F jy 为接触面上的挤压力；A jy 为计算挤压面面积。通过直接试验，并按名义挤压应力公式得到材料的极限挤压应力，从而确定许用挤压应力 jy。于是，挤压的强度条件可表示为(9.17)jyjjy【注意】挤压应力是在连接件和被连接件之间相互作用的。因此，当两者材料不同时，应校核其中许用挤压应力较低的材料的挤压强度。12、连接件的强度计算连接件的强度计算是一个比较复杂的
23、问题，目前工程设计中多采用实用计算法，但是在某些情况下也可以按照组合变形问题去处理。一般来说，连接处的破坏可能性有三种：1）螺栓在两侧与钢板接触面的压力 F 作用下，将沿剪切面被剪断；2）螺栓与钢板在相互接触面上因挤压而使连接松动；3）钢板在受螺栓孔削弱的截面处被拉断。【注意】在研究构件的强度问题时，应当综合考虑构件各种因素在其中产生的影响，全面分析各种不安全情况，才能设计出即安全可靠又经济合理的构件。9.3【范例讲解】 例 9-1 一长 的矩形截面木制悬臂梁，弹性模量 ，梁上作用有两个2m41.0MPaE集中荷载 和 ，如图 9-15(a)所示，设截面 ， 。试1.3kNF2.5k.6bh1
24、0a选择梁的截面尺寸，并计算自由端的挠度。图 9-14(a) (b) (c)jy图 9-15解：1）选择梁的截面尺寸。将自由端的作用荷载 分解1F，sin50.36kNy1cos51.26kNzF此梁的斜弯曲可分解为在 xy 平面内及 xz 平面内的两个平面弯曲，如图 9-15(c)所示。由图 9-15 可知 Mz 和 My 在固定端的截面上达到最大值，故危险截面上的弯矩223223.517m,5m10.6.1, (0.6).66yz MWbhhWhbh上式中 Mz 与 My 只取绝对值，且截面上的最大拉压应力相等，故 6max 33.70.5yz37.5816.8194.(m)h可取 h=2
25、00mm，b=120mm 。2）计算自由端的挠度。分别计算 fy 与 fz，如图 9-15(c)所示，则23136yzzlFllfEII3346310.62.50(21) =.7m3 314631.2500.21zylfI.m，22(.7)(.).8zyff1.6arctn72.453 例 9-2 有一屋桁架结构如图 9-16(a)所示。已知屋面坡度为 1：2，二桁架之间的距离为 4m，木檩条的间距为 1.5m，屋面重（包括檩条）为 1.4kN/m2。若木檩条采用 120 mm180mm 的矩形截面，所用松木的弹性模量为 E=10GPa，许用应力 =10MPa，许可挠度 f=l/200，试校核
26、木檩条的强度和刚度。图 9-16解：1）确定计算简图屋面的重量是通过檩条传给桁架的。檩条简支在桁架上，其计算跨度等于二桁架间的距离 l=4m，檩条上承受的均布荷载 q=1.41.5=2.1kN/m，其计算简图如图 9-16(b)和(c)所示。2）内力及有关数据的计算Nm kNm（发生在跨中截面）232max.1048qlM2.4屋面坡度为 1：2，即 或 。故 ，tan367.0sin894.0cos另外有mm m338018.521zbhI441532.mm m902y 09mm， mmmaxmax62bz3）强度校核将上列数据代入可得 axaxmaxsincosyzzMIIMPa33446
27、0190142.72.89.59.514.0虽稍大于 =10MPa，但所超过的数值小于 的 5%，故满足强度要求。max 4）刚度校核最大挠度发生在跨中，有mm4349(cos)2.10.8385210yzqlfEI 7.mm45in57zy .总挠度 mm =20 mm，满足刚度要求。2210.7.16.yzfff 例 9-3 图 9-17(a)所示将一等边角钢（ 10010012）的一端固定在墙上，而在其另一端悬挂一通过其截面形心的重物 F=2kN。已知钢的弹性模量 E=210GPa。试计算此角钢的最大正应力、最大挠度和最大挠度的方向（忽略角钢的自重及外力 F 没有通过角钢弯曲中心的影响）
28、 。图 9-17解：1）角钢的有关数据由附录 II 型钢表查得等边角钢 10010012 的一些有关数据如下：=330.95cm4=330.95104mm4， =86.84cm4=86.84104mm4， =2.91cm=29.1mm0xI 0yI 0z2）内力计算等边角钢的形心主轴为 和 ，荷载 F 与主轴间的夹角 。最大弯矩0x5发生在固定端截面，即=21031=2000 NmmaMl3）确定中性轴位置因最大正应力发生在梁横截面上离中性轴最远处，故要计算应力必须首先确定中性轴的位置。在角钢截面上的中性轴方程为 00sincosxyI40 0086.1ta.26395yxI y同样，中性轴
29、与 轴间的夹角 为：n，0t.2y4）最大正应力的计算从图 9-17(b)可见，最大正应力发生在离中性轴 最远的点 A 处。图 9-17(c)得点nA 的坐标为mm01229.1704.15xz6.29mm7.Ay在点 A 的最大压应力为maxa00sincosAAxyMIIMPa337.129.56102i4cos45958.785）最大挠度的计算最大挠度发生在自由端，由式（10-2-8）可得 332000cossinxyyxFllffEIImm33988210.716.403.9517.最大挠度的方向与中性轴 垂直，由图 9-17(b)可以看出，它对力 F 的偏离角为n4514403020
30、【讨论】若力 F 作用在包含对称形心主轴 的平面内，梁将发生平面弯曲。在这0x种情况下的最大压应力仍发生在点 A 处，即MPa3maxax 8029.5614yMI.比梁在斜弯曲情况下的 =78.4MPa 要小。在这种情况下的最大挠度am mm33980126.0yFlfEI 3.6.比梁在斜弯曲情况下的 =5.7mm 要小得多。f 例 9-4 有一三角形托架如图 9-18(a)所示，杆 AB 为一工字钢。已知作用在点 B 处的集中荷载 F=8kN，型钢的许用应力 =100MPa，试选择杆 AB 的工字钢型号。解：1）计算杆 AB 的内力，并求最大内力值，确定危险截面杆 AB 的受力图如图 9
31、-18(b)所示，由平衡方程得 FCy=12.8kN，F Cx=22.17kN。作出杆AB 的弯矩图和轴力图分别如图 9-18(c)(d)所示。从内力图上可看出危险截面为截面 Co 最大弯矩（绝对值）及最大轴力分别为 Mmax=12 kNm，F Nmax=22.17 kNm。2）计算最大正应力(*)maxaaNzAW332.170zA3）选择工字钢的型号因(*)式中的 A 和 均为未知，故需采用试算法。首先选用 18 号工字钢，由附录 IIz型钢表可查得 A=30.8102mm2， =185103mm3，代入(*) 式得zMPa MPa369.170108851.7210强度是够的，但富余太多
32、，不经济。改选 16 号工字钢，其A=26.1102mm2， =141103mm3，代入(*)式得zW图 9-18MPa MPa33269.1701046.10这样，就既能满足强度条件，用材又比较经济。确定选用 16 号工字钢。 例 9-5 试求如图 9-19(a)所示杆内的最大正应力。力 与杆的轴线平行。F解：横截面如图 9-19(b)所示，其面积为2142aaA形心 的坐标为C，yC0Cz形心主惯性矩 42323 341)(4)(412)( aaaaaICz 334Cy 力 对主惯性轴 和 之矩Fz，FaMCy2FaMCz2比较如图 9-19(b)所示截面 4 个角点上的正应力可知，角点
33、4 上的正应力最大 2424 57.01312 aFIIaACCyz 例 9-6 某渡槽工程中混凝土空心墩的构造简图如图 9-20(a)所示。已知：槽身重 FW1=2 143kN，水重 FW2=2 400kN，截面 n-n 以上的墩身自重 FW3=2 431kN，槽身所受的总风压力 FP1=95.7kN，墩帽所受的总风压力 FP2=11.7kN，截面 n-n 以上墩身所受的总风压力FP3=47.3kN。空心墩的截面 n-n 的尺寸如图 9-20(b)所示。试计算当渡槽正常工作时，在距墩顶的距离为 20m 处的截面 n-n 上的正应力。解：由图 9-20(a)可以看出，槽身重、水重及墩身自重等将
34、在截面 n-n 上产生轴心压力，而风荷载 FP1、F P2、F P3 等将在截面 n-n 上产生对 y 轴的弯矩。1）截面 n-n 上的内力计算轴力 FN= FW1+ FW1+ FW1=2143+2400+2431=6974kN图 9-19弯矩 M= FP1h1+ FP1h1+ FP1h1=95.722.57+11.718.99+47.38.75=2796 kNm2）截面 n-n 的几何性质计算m29.3)5.08(4)3.04.083( 2A3.468.2.4121yI II式中的 I是截面 n-n 的一个角上的圆弧形面积对截面主轴 y-y 的惯性矩，如图 9-20(c)所示，可以算出如下：
35、 3/2220(sin)4RtItRadatRt将 m， m， m 代入可得12.58.6R1.50.m43 22614365.3184I故m45.9.810.yIm32.34.yW3）截面 n-n 上的正应力计算MPamaxin67.9.8NMA6.179241 例 9-7 一钢制圆轴上装有两胶带轮 A、B，两轮的直径 DA=DB=1m，两轮自重F=5kN，胶带的张力大小和方向如图 9-21(a)所示。设圆轴材料的=80MPa，试按第三强图 9-20度理论求轴所需要的直径 d。解：1）作轴的计算简图如图 9-21(b)所示。2）作杆的扭矩图和弯矩图如图 9-21(c) 所示。3）计算 B、C
36、 截面处的合成弯矩mkNMyz 49.25.0.1222mkN58.1.4）确定 截 面max，BCCax5）确定直径 d按第三强度理论： 22Wn63321081.058. d由此得所需的直径为 d=72mm。 例 9-8 试根据最大剪应力理论（第三强度理论）确定图 9-22 中所示手摇卷扬机（辘轳）能起吊的最大许可荷载 F 的数值。已知：机轴的横截面为直径 d=30mm 的圆形，机轴材料的许用应力=160MPa。解：在力 F 作用下，机轴将同时发生扭转和弯曲变形，应按扭转与弯曲组合变形问题计图 9-21(b)T 图My 图Mz 图(c)(a)图 9-22算。1）跨中截面的内力扭矩 Nm0.
37、18.nMF弯矩 Nm24剪力 N.5S2）截面的几何特性mm3， mm3， mm233026dW250pW23074dA3）应力计算N/m269.180.415npMFN/m2 MPa64.037SAF1.N/m2 N/m269.20151W 7求主应力 212Mn 22.70034FFMPa0.890.38.513F4）根据最大剪应力理论求许可荷载因 MPa13.92F160故 N= kN6057.1.由本例题可以看出，在实心轴中由剪力 FS 产生的剪应力 一般很小，可以忽略。Q 例 9-9 已知钢圆杆 A=8010-4m2，W=10010 -6m3，W n=20010-6m3，=134
38、MPa，如图 9-23(a)所示，试校核此杆强度。解：1）作轴的计算简图如图 9-23(b)所示。2）作杆的轴力图、扭矩图、剪力图和弯矩图如图 9-23(c) 所示。3）固定端处的内力分量如图 9-21(d) 所示，但是危险截面在距固端 1m 处，该处的内力有： ， ，kN0F4nM，如图 9-21(e) 所示。kN8.12m182 zyyM4）危险点位置如图 9-21(f) 所示，其应力单元体如图 9-21(g) 所示。5) 危险点处的应力为 MPa5.130.108643WAFNMNxMPa201463nxW6）强度校核： MPa134P5.1362045.23 axr 34由于 ，仍然认
39、为强度满足要求。%87.1015. (a)(b) (c)图 9-23(f) (g)(e)(d) 例 9-9 图 9-24(a)(b)所示为 2.5m3 挖掘机减速器的一轴上装一齿轮，齿轮与轴通过平键联接，已知键所受的力为 F=12.1kN。平键的尺寸为：b=28mm，h=16mm ，l 2=70mm,圆头半径 R=14mm。键的许用剪应力 =87MPa，轮毂的 jy =100MPa，试校核连接的强度。 解：1）校核剪切强度。键的受力情况如图 9-24(c)(d)所示，此时剪切面上的剪力为 FS=F=12.1kN。对于圆头平键，其圆头部分略去不计,如图 9-24(e)所示，故剪切面面积为A =b
40、lp=b(l22R)=2.8(7-21.4)=11.7610-4 m2所以，平键的工作剪应力为 3.1076.4MPaFS满足剪切强度条件，安全。 2）校核挤压强度。与轴和键比较，通常轮毂抵抗挤压的能力较弱，挤压面上的挤压力为Fjy=F=12.1kN。挤压面的面积与键的挤压面相同，设键与轮毂的接触高度为 h/2，如图 9-24(f)所示，则挤压面面积为 24m1036.)20.7(612pjylhA故轮毂的工作挤压应力为 MPaPa3.4jyjyjF也满足挤压强度条件。所以，这一键联接的剪切和挤压强度条件是足够的。 例 9-10 连接件如图 9-25(a)(b)所示，铆接的直径 d=1.9cm
41、, 荷载 FP=180kN;若材料的容许应力为=100MPa 、 =80MPa、 =200MPa，试对此结构进行强度校核。jy图 9-24图 9-25解：1）铆钉的抗剪强度校核：铆钉承受双剪； MPa156280nFPS 2622m1094dA则 ；8MPa9.9463SA2）主板与铆钉的挤压强度校核：铆钉与主板间挤压力为 a301nFPjy挤压面积为 263m1479tdjy Pa2102473c6jyjAF3）主钢板（t0、 3 。126）图示矩形截面拉杆中间开一深度为 h/2 的缺口，与不开口的拉杆相比，开口处的最大应力的增大倍数是 。(A) 2 倍； (B) 4 倍； (C) 8 倍；
42、 (D) 16 倍；7）三种受压杆件如图，设杆 1、2、和杆 3 中的最大压应力(绝对值) 分别用 、1max和 表示，它们之间的关系正确的是 。2max3ax题 9-2 图(4)题 9-2 图(3)题 9-2 图(2)题 9-2 图(5)题 9-2 图(6)(A) ； (B) = ；1max2a3max1max2a3max(C) ； (D) = ； 38）题 9-2 图(8) 所示铆钉连接，铆钉的挤压应力 为 。yj(A) ； (B) ；(C) ； (D) 。2dFd2bF24d9）题 9-2 图(9) 所示木接头，水平杆与斜杆成 角，其挤压面积为 为 。jyA(A) ； (B) ；(C)
43、； (D) 。bhtanbhcosbh sincobh10）题 9-2 图(10) 所示冲床的冲压力为 F，冲头的许用应力为 ，被冲钢板的剪切极限应力为 b，钢板厚度为 t，被冲出的孔的直径应是 。(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。tFb4tF411）题 9-2 图(10) 所示电瓶车挂钩用插销联接，反插销直径为 d，当牵引力为 F 时，插销横截面的剪应力应为 。(A) ； (B) ； (C) ； (D) 。2dF24dF2dF234题 9-2 图(7)F FF Fbd题 9-2 图(8)题 9-2 图(12)Fh ba题 9-2 图(9)题 9-2 图(11)题 9-2 图(10
44、)12）题 9-2 图(12) 所示车床传动光杠的安全联轴器由销钉和套筒组成，轴的直径为 D，传递的力偶的最大力偶矩为 m，这时销钉每个剪切面上的剪力为 。(A)4m/D； (B) 2m/D； (C)m/2D； (D)m/D。9-3 填空题：1）题9-3图(1)所示 三种受压杆件中，压应力（绝对值）最大的是杆 。2）题9-3图(2)所 示空心立柱，横截面外边界为正方形，内边界为圆形（两图形形心重合）。立柱受沿a-a线的压力作用，该柱变形是 。3）正方形等截面立柱，受纵向压力F作用。当力F作用点由A移至B时，柱内最大压应力的比值 A/B是 。4）题 9-3 图(4) 所示铸铁构件受力如图，固定端
45、处危险点是 。5）题 9-3 图(5) 所示截面为带圆孔的方形，其截面核心的形状是 。6）题9-3图(6) 所示偏心压缩杆，偏心距 e值越大，则截面的中性轴到形心的距离将 。7）题 9-3 图(7) 所示木榫接头的剪切面面积为 和 ，挤压面面积为 。8）销钉接头如题 9-3 图(8) 所 示。销钉的剪切面面积为 ，挤压面面积为 。dhF b题 9-2 图(8)题 9-3 图(1) 题 9-3 图(2) 题 9-3 图(3)题 9-3 图(4) 题 9-3 图(5) 题 9-3 图(6)FcadF b题 9-3 图(5)9）图示厚度为 的基础上有一方柱，柱受轴向压力 作用，则基础的剪切面面积为
46、F，挤压面面积为 。10）图示直径为 d 的圆柱放在直径为 D=3d，厚度为 的圆形基座上，地基对基座的支反力为均匀分布，圆柱承受轴向压力 F，则基座剪切面的剪力为 。9-4 跨度为 l=3m 的矩形截面木桁条，受均布荷载 q=800N/m 作用，木桁条的容许应力=12MPa.容许挠度 f/l= 1/200，材料的弹性模量 E=9103MPa，试选择木桁条的截面尺寸，并作刚度校核。9-5 图示为简易起重机，其最大起重量 FG=15.5kN，横梁 AB 为工字钢，许用应力 =170 MPa，30 。若梁的自重不计，试按正应力强度条件选择横梁工字钢型号。9-6 简支梁由 200mm200mm20m
47、m 的等边角钢制成， ，试绘最大弯矩截面上的正应力分布图。已知：截面几何性质为 Wzo=322.0610-6m3，W yo=146.5510-6m3（对于 c 点） ，Izo=4554.5510-8m4，I yo=1180.0410-8m4 。4810.IyoFa正 方 柱题 9-3 图(9) 题 9-3 图(10)FdD题 9-4 图题 9-5 图题 9-6 图9-7 图示钻床，钻孔时受到压力 F15 kN。己知偏心距 e0.4 m，铸铁立柱的直径d125 mm，许用拉应力为 t=35 MPa，许用压应力为 c=120 MPa。试校核铸铁立柱的强度。9-8 水塔盛满水时连同基础总重量为 FG，在离地面 H 处，受一
