1、1第十四讲 排列组合专题 解决排列组合综合性问题的一般过程如下:1.认真审题弄清要做什么事。2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。一.特殊元素和特殊位置优先策略1.由 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数。练习题:7 种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略2. 7 人站成
2、一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法。练习题:某人射击 8 枪，命中 4 枪，4 枪命中恰好有 3 枪连在一起的情形的不同种数。三.不相邻问题插空策略3.一个晚会的节目有 4 个舞蹈,2 个相声,3 个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场。顺序有多少种？练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数。四.定序问题倍缩空位插入策略4.7 人排队,其中甲乙丙 3 人顺序一定共有多少不同的排法。练习题:10 人身高不等,排成前后排，每排 5 人,要求从左至右身高逐增，共有多
3、少排法？五.重排问题求幂策略5.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习,共有多少种不同的分法。练习题：某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这，两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数。某 8 层大楼一楼电梯上来 8 名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法。六.环排问题线排策略6. 8 人围桌而坐,共有多少种坐法?练习题：6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 。2七.多排问题直排策略7.8 人排成前后两排,每排 4 人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法。练习题：有两排座位，前排 11 个座位，后排 12 个座位，现安排 2 人就座规定前
4、排中间的 3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同排法的种数。八.排列组合混合问题先选后排策略8.有 5 个不同的小球,装入 4 个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法。练习题：一个班有 6 名战士,其中正副班长各 1 人现从中选 4 人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有 1 人参加,则不同的选法。九.小集团问题先整体后局部策略9.用 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹 1,之间。练习题：.计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩画,幅油画,幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么
5、共有陈列方式的种数。2. 5 男生和女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法。十.元素相同问题隔板策略10.有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个,有多少种分配方案？ 练习题：.10 个相同的球装 5 个盒中,每盒至少一有多少装法？ 2 . 10xyzw求这个方程组的自然数解的组数。 十一.正难则反总体淘汰策略11.从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这十个数字中取出三个数，使其和为不小于 10 的偶数,不同的取法有多少种？练习题：我们班里有 43 位同学,从中任抽 5 人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?十二.平均分组问题除法策略12. 6 本不
6、同的书平均分成 3 堆,每堆 2 本共有多少分法？练习题：1.将 13 个球队分成 3 组,一组 5 个队,其它两组 4 个队, 有多少分法？2.10 名学生分成 3 组,其中一组 4 人, 另两组 3 人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法。3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排方案种数。3十三. 合理分类与分步策略13.在一次演唱会上共 10 名演员,其中 8 人能能唱歌,5 人会跳舞,现要演出一个 2 人唱歌、2 人伴舞的节目,有多少选派方法。练习题：1.从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某
7、个座 谈会，若这 4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有多少种。2. 3 成人 2 小孩乘船游玩,1 号船最多乘 3 人, 2 号船最多乘 2 人,3 号船只能乘 1 人,他们任选 2 只船或 3 只船,但小孩不能单独乘一只船, 这 3 人共有多少乘船方法。十四.构造模型策略14. 马路上有编号为 1,2,3,4,5,6,7,8,9 的九只路灯,现要关掉其中的 3 盏,但不能关掉相邻的2 盏或 3 盏,也不能关掉两端的 2 盏,求满足条件的关灯方法有多少种？练习题：某排共有 10 个座位，若 4 人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？十五.实际操作穷举策略15.设有编号
8、 1,2,3,4,5 的五个球和编号 1,2,3,4,5 的五个盒子,现将 5 个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法练习题：1.同一寝室 4 人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ 2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有 4 种可选颜色,则不同的着色方法。5321BA十六. 分解与合成策略16. 30030 能被多少个不同的偶数整除练习:正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线十七.化归策略17. 25 人排成 55 方阵,现从中选 3 人,要求 3 人不在同一行也不在同
9、一列,不同的选法有多少种？练习题:某城市的街区由 12 个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从 A 走到 B 的最短路径有多少种？ 4十八.数字排序问题查字典策略18由 0，1，2，3，4，5 六个数字可以组成多少个没有重复比 324105 大的数？练习:用 0,1,2,3,4,5 这六个数字组成没有重复的四位偶数 ,将这些数字从小到大排列起来,第 71 个数是多少？ 十九.树图策略19 3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过 5次传求后,球仍回到甲的手中,则不同的传球方式。练习: 分别编有 1，2，3 ，4，5 号码的人与椅，其中 i号人不坐 i号椅（ 54321,i）的不同坐法
10、有多少种？ 二十.复杂分类问题表格策略20有红、黄、兰色的球各 5 只,分别标有 A、B、 C、D 、E 五个字母,现从中取 5 只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题 ”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“ 客 ”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解.21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数。小 结 本讲我们对有关排列组合的几种常见的解题策略加以探讨。排列组合历来是学习的难点，通过平时做的练习题，不难发现排列组合题的特点是条件隐晦，不易挖掘，题目多变，解法独特，数字庞大，难以验证。同学们只有对基本的解题策略熟练掌握。根据它们的条件,就可以选取不同的技巧来解决问题。对于一些比较复杂的问题,可以将几种策略结合起来应用把复杂的问题简单化，举一反三，触类旁通，进而为后续学习打下坚实的基础。红 1 1 1 2 2 3黄 1 2 3 1 2 1兰 3 2 1 2 1 1取法 45C41545C3535C235
