1、2.5 直线与圆锥曲线一、选择题1若不论 k 为何值，直线 yk (x2) b 与曲线 x2y 2 1 总有公共点，则 b 的取值范围是( )A( ， ) 3 3B ， 3 3C(2,2) D2,2答案 B解析 由题意可知，直线所过的定点(2，b) 应在双曲线上或内部，即y2x 21，b 23， b .3 32过抛物线 y24x 的焦点 F 作倾斜角为 的弦 AB，则| AB|的值为( )3A. B.837 163C. D.83 163 7答案 B解析 抛物线 y24x 的焦点 F 为(1,0)，过 F 且倾斜角为 的直线方程为 y (x1) ，3 3联立得方程组Error!得关于 x 的一元
2、二次方程 3x210x 30.设交于 A(x1，y 1)B(x2，y 2)两点则 x1x2是的两根有 x1x 2 .|AB|AF| |BF| x 1x 2p 2 .故选 B.103 103 1633已知过抛物线 y26x 焦点的弦长为 12，则此弦所在直线的倾斜角是( )A. 或 B. 或6 56 4 34C. 或 D.3 23 2答案 B解析 由焦点弦长公式|AB| 得2psin212， sin .6sin2 22 或 .故选 B.4 344(2009山东烟台 4 月)已知抛物线 y24x 上一点 P(x0， y0)，若 y01,2，则|PF|的范围是( )A. B.14，1 54，2C1,
3、2 D2,3答案 B解析 y 01,2，x 0 ，14，1由定义|PF|1x 0 .54，2故选 B.5直线 yxm 与椭圆 y 21 有两个不同的交点，则 m 的范围是( )x24A55 5Cm0 ，得 m20，b0)的右顶点 A 作斜率为1 的直线，该直x2a2 y2b2线与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B，C.若 ，则双曲线的离心率是( )AB 12BC A. B. 2 3C. D.5 10答案 C解析 由已知，直线方程为 xy a0，两渐近线为 0.xayb由Error! 得 xB .a2a b由Error! 得 xC .a2a b ， 2(xBx A)x Cx B，AB 12BC
4、3x B2x Ax C， 2a，解得 b2a，3a2a b a2a bc 2 5，e .a2 b2a2 5故选 C.9已知 ab0，e 1 与 e2 分别为圆锥曲线 1 和 1 的离心率，则x2a2 y2b2 x2a2 y2b2lge1lge 2 的值( )A一定是正值 B一定是零C一定是负值 D符号不确定答案 C解析 e 1 ，e 2 ，a2 b2a a2 b2ae 1e2 b0)的离心率为 ，则双曲线 1 的离心率为( )x2a2 y2b2 32 x2a2 y2b2A. B. 54 52C. D.32 54答案 B解析 椭圆离心率 e ，即 ， ，则 1 .32 ca 32 a2 b2a2
5、 34 b2a2 14 b2a2 54双曲线的离心率为 e .故选 B.52二、填空题11若抛物线 y22px 的焦点与双曲线 y 21 的右焦点重合，则 p 的值等于x23_答案 4解析 由已知 F 与 F2(2,0)重合，(p2，0) 2，p4.p212点 M(5,3)到抛物线 x2ay( a0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是_答案 x 212y解析 抛物线 x2ay (a0)的准线方程为 y ， 36，a12，a4 a4抛物线方程为 x212y .13双曲线 x2y 29 被直线 x2y10 截得的弦长为_答案 4335解析 Error!3y 24y80y1y2 ，y 1y 2
6、.83 43l 1 1k2 (y1 y2)2 4y1y2 5 169 323 .433514(2008全国)已知抛物线 yax 21 的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为_答案 2解析 把抛物线方程改写为x2 (y1) 得顶点 (0，1)，又原点为焦点，1a 4，1a抛物线 x24(y1)与 x 轴交于两点(2,0)，( 2,0)所求面积为 412.12三、解答题15直线 l：y 2x1 与抛物线 y212x 交于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，求线段 AB 的长解析 由Error!得 4x28x10，由韦达定理，得 x1x 22，x 1x2 .
7、14|AB| |x1x 2|1 k2 (1 k2)(x1 x2)2 4x1x2 .(1 22)(22 4f(1,4) 1516过椭圆 y 21 的一个焦点 F 作直线 l 交椭圆于 A，B 两点，椭圆的中心为 O，x22当AOB 的面积最大时，求直线 l 的方程解析 过椭圆焦点 F(1,0)的直线 l 垂直于 x 轴时，可知此时AOB 的面积等于 .22当 l 不垂直 x 轴时，可设直线 l 的方程为 yk (x1) 因为 |OF|是定值 1，所以AOB的面积可以用 1|y1y 2|(其中 y1，y 2是 A，B 的纵坐标) 来计算12将 ykxk 代入 y 21，消去 x，得(12k 2)y
8、22ky k20.x22由根与系数的关系可得(y1y 2)28k4 8k2(2k2 1)22 0)(x 1)2 y2化简得 y24x(x 0)(2)设过点 M(m,0)(m0)的直线 l 与曲线 C 的交点为 A(x1，y 1)，B( x2，y 2)设 l 的方程为 xty m，由Error!得 y24ty4m0，此时 16(t2 m)0.于是Error! 又 (x 11，y 1)， (x 21，y 2)FA FB 2，求 k 的取2 OA OB 值范围解析 (1)设双曲线方程为 1(a0 ，b0)x2a2 y2b2由已知得 a ，c 2，再由 a2b 22 2，得 b21.3所以双曲线 C 的方程为 y 21.x23(2)将 ykx 代入 y 21 得2x23(13k 2)x26 kx90.2由直线 l 与双曲线交于不同的两点得Error!即 k2 且 k22 得 xAxBy AyB2，而OA OB xAxBy AyBx AxB(kx A )(kxB )2 2(k 2 1)xAxB k(xAx B) 22(k 2 1) k 2 . 91 3k2 2 62k1 3k2 3k2 73k2 1于是 2，即 0.3k2 73k2 1 3k2 93k2 1解此不等式得 k23.13由得 k21.13故 k 的取值范围为( 1， )( ，1)33 33
