1、第二章综合素质检测时间 120 分钟，满分 150 分。一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在下列各对双曲线中，既有相同的离心率又有相同的渐近线的是( )A. y 21 和 1 B. y 21 和 x2 1x23 x29 y23 x23 y23Cy 2 1 和 x2 1 D. y 21 和 1x23 y23 x23 y23 x292(2010四川文，3)抛物线 y28x 的焦点到准线的距离是( )A1 B2 C4 D83若方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则下列关系成立的是 ( )x2a y2bA. B.
2、D. b0)的渐近线( )x2a2 y2b2 x2b2 y2a2A重合 B不重合，但关于 x 轴对称C不重合，但关于 y 轴对称 D不重合，但关于直线 yx 对称8双曲线 1 与椭圆 1( a0，m b0)的离心率互为倒数，那么以x2a2 y2b2 x2m2 y2b2a，b，m 为边长的三角形一定是 ( )A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰三角形9动圆的圆心在抛物线 y28x 上，且动圆恒与直线 x 20 相切，则动圆必过定点( )A(4,0) B(2,0) C(0,2) D(0 ，2)10命题甲是“双曲线 C 的方程为 1” ，命题乙是“双曲线 C 的渐近线方程为x2a2 y2
3、b2y x”，那么甲是乙的( )baA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件11如图所示，在正方体 ABCDA 1B1C1D1 中，P 是侧面 BB1C1C 内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是( )A直线 B圆C双曲线 D抛物线12过点 C(4,0)的直线与双曲线 1 的右支交于 A、B 两点，x24 y212则直线 AB 的斜率 k 的取值范围是( )A|k| 1 B| k| C|k| D|k|b0)的左、右焦点分别为 F1(c,0)，F 2(c,0)若椭圆上存在x2a2 y2b2点 P 使 ，则该椭圆的
4、离心率的取值范围为_asin PF1F2 csin PF2F116已知 F1、F 2 为椭圆的焦点，等边三角形 AF1F2 两边的中点 M，N 在椭圆上，如图，则椭圆的离心率为_三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本题满分 12 分)求以椭圆 3x213y 239 的焦点为焦点，以直线 y 为渐近线的x2双曲线方程18(本题满分 12 分)P 是椭圆 1(ab0)上且位于第一象限的一点，F 是椭圆x2a2 y2b2的右焦点，O 是椭圆中心，B 是椭圆的上顶点，H 是直线 x (c 为椭圆的半焦距)与 xa2c轴的交点，若 PFOF ，H
5、B OP，试求椭圆的离心率 e.分析 先确定点 H、B 、P 的坐标，由 HBOP ，得斜率 kHBk OP，建立 a，b，c 的关系式，进而求出 e.19(本题满分 12 分)已知直线 ykx2 交抛物线 y28x 于 A、B 两点，且 AB 的中点的横坐标为 2，求弦 AB 的长20(本题满分 12 分)已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，其准线过双曲线 x2a21(a 0，b0)的一个焦点；又抛物线与双曲线的一个交点为 M ，求抛物线和双y2b2 (32， 6)曲线的方程21(本题满分 12 分)已知椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列且它们有一个公共的焦点(4,0)，其中
6、双曲线的一条渐近线方程为 y x，求三条曲线的标准方程322(本题满分 14 分)设双曲线 C： y 21( a0)与直线 l：x y1 相交于两个不同x2a2的点 A、 B，求双曲线 C 的离心率的取值范围1答案 A解析 A 中离心率都为 ，渐近线都为 y x.233 332答案 C解析 本题考查抛物线的焦点到准线的距离3答案 A解析 方程 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆，x2a y2bb . b a4答案 B解析 椭圆 a2x2 y21 可化为 1，a2 x21a2 y2 2aab0)，x2a2 y2b2由Error! ，得(a 23b 2)y28 b2y16b 2a 2b20，由 0 及
7、 a2b 24 可得3a27，2a2 .77答案 D解析 双曲线 1 的渐近线方程为 y x，双曲线 1 的渐近线方程为x2a2 y2b2 ba x2b2 y2a2y x，ab又直线 y x 与 y x 关于直线 yx 对称ba ab8答案 B解析 双曲线的离心率 e1 ，椭圆的离心率 e2 ，由 a2 b2a m2 b2m a2 b2a1 得 a2b 2m 2，故为直角三角形m2 b2m9答案 B解析 直线 x20 恰好为抛物线 y28x 的准线，由抛物线定义知，动圆必过抛物线焦点(2,0)10答案 A解析 双曲线 1 的渐近线为 y x，而渐近线为 y x 的双曲线方程为x2a2 y2b2
8、 ba ba ( 0)x2a2 b2b211答案 D解析 点 P 到直线 C1D1 的距离等于它到定点 C1 的距离，动点 P 到直线 BC 的距离等于它到定点 C1 的距离12答案 B解析 如图所示，l 1 平行于 y x，l 2 平行于 y x，由图可3 3看出，当过 C 由 l1 位置逆时针方向转到 l2 位置之间的直线与双曲线 1 的右支都有两个交点，此时 k 或 k 1，又e 0 ，b0)x2a2 y2b2双曲线的渐近线为 y x，12 ， ，ba 12 b2a2 a2 c2a2 a2 10a2 14a 2 ，b 2 ，403 103即所求的双曲线方程为： 1.3x240 3y210
9、18解析 依题意，知 H ，F (c,0)，又由题设得 B(0，b)，x Pc，代入椭圆方( a2c，0)程结合题设解得 yP .b2a因为 HBOP ，所以 kHBk OP.由此得 abc 2，b 00 a2cb2ac从而得 e 2 e 21.ca bc a2 c2c2e 4e 210，又 00，b0)的x2a2 y2b2一个交点为 M ，(32， 6)设抛物线方程为 y22px (p0)，将点 M 坐标代入得 p2，y 24x，其准线为 x1，抛物线的准线过双曲线的一个焦点，双曲线的焦点为(1,0)且点 M 在双曲线上，(32， 6)a 2 ，b 2 ，14 34双曲线的方程为 4x2 1
10、.4y2321解析 因为双曲线的焦点在 x 轴上，故其方程可设为 1(a0，b0)，又因x2a2 y2b2为它的一条渐近线方程为 y x，所以 ，即 .解得 e2，3ba 3 b2a2 c2 a2a2 e2 1 3因为 c4，所以 a2，b a2 ，所以双曲线方程为 1.3 3x24 y212因为椭圆、抛物线、双曲线的离心率构成一个等比数列，所以这个等比数列的中间项一定是抛物线的离心率 1，由等比数列性质可得椭圆和双曲线的离心率互为倒数，因此，椭圆的离心率为 ，设椭圆方程为 1(a 1b10)，则 c4，a 18，b 8 24 248.12 x2a21 y2b21 21所以椭圆的方程为 1，易知抛物线的方程为 y216x.x264 y24822解析 由 C 与 l 相交于两个不同点，故知方程组Error!有两组不同的实根，消去 y 并整理得(1 a 2)x22a 2x2a 20.所以Error! 解得 0 ，且 e .62 2即离心率 e 的取值范围为 ( ，) (62，2) 2
