1、1第 13 课时 数列的求和方法（一）知识归纳：1拆项求和法：将一个数列拆成若干个简单数列（如等差数列、等比数列、常数数列等等） ，然后分别求和.2并项求和法：将数列的相邻的两项（或若干项）并成一项（或一组）得到一个新的且更容易求和的数列.3裂项求和法：将数列的每一项拆（裂开）成两项之差，使得正负项能互相抵消，剩下首尾若干项.4错位求和法：将一个数列的每一项都作相同的变换，然后将得到的新数列错动一个位置与原数列的各项相减，这是仿照推导等比数列前 n 项和公式的方法.5反序求和法：将一个数列的倒数第 k 项（k=1，2，3，n）变为顺数第 k 项，然后将得到的新数列与原数列进行变换（相加、相减等
2、） ，这是仿照推导等差数列前 n 项和公式的方法.6分组组合求和：将数列中具有相同规律的项组合到一起分别求和（二）学习要点：1 “数列求和”是数列中的重要内容，在中学高考范围内，学习数列求和不需要学习任何理信纸，上面所述求和方法只是将一些常用的数式变换技巧运用于数列求和之中. 在上面提到的方法中， “拆项” 、 “并项” 、 “裂项”方法使用率比较高， “拆项”的典型例子是数列“ ”的求和；“裂项”的典型例子是数列“)1(32nSn”的求和；“并项”的典型例子是数列“)(1n”的求和.nSn 1654322 “错位”与“反序”求和方法是比较特殊的方法，使用率不高，其中“错位”求和方法一般只要求
3、解决下述数列的求和问题：若 是等差数列， 是等比数列，则数列nanb 的求和运用错位求和方法.nba例 1求下列数列的前 项和 ：nnS（1）5，55，555，5555， ，； （2） ；5(10)911,345(2)n （3） ； （4） ；na 2,aa 2（5） ； （6）13,245,(2),n 2sinisisi89 解：（1） 5nnS 个 (99)n 个235(10)(1)0)10)9n35(89n（2） ，()(2)2nn 111 ()34352Sn 1()2n（3） ()()nan 11232S n()()() 1（4） ，nnaa当 时， ，1nS2当 时， ， 23n ，
4、4naa1两式相减得 ，23(1)S 1()nna 212nnSa（5） ，() 原式 22132)(3)n(1)276n（6）设 ，2sinisinsi89S 又 ，2228987 ， 例 2解答下述问题：（I）已知数列 的通项公式na ，求它的前 n 项和.)12(nan3解析 ,12nan),12()123()53()1 nnS= ( = 12)n（II）已知数列 的通项公式 求它的前 n 项和.na,)1(2na解析 ,)()1(222n.)1()1()1(32 2222 n nnSn （III）求和： ;1)2()1(nS解析注意：数列的第 n 项“n1”不是数列的通项公式，记这个数
5、列为 ，na其通项公式是 .6)2(12)(6)1(2)1( )333, 22 nnnnSkkka （）已知数列 .,09nnn Saa项 和的 前求解析 为等比数列， 应运用错位求和方法：nb)1(1为 等 差 数 列4.)109(9 ),10()9101085 9()(1095: ,)9(1)(3)(2109 ;0109 13212nn nnn nnnSSnS 两 式 相 减 得（）求和 nnn CCW)3(7432解析 ,310nn aaa为 等 差 数 列而 运用反序求和方法是比较好的想法，,kkC，nnnn C)3()23(741210 012145)()3( nnnC，0)(1nn
6、W+得 ,2)3()(2210 nn.3(1n评析例 1 讨论了数列求和的各种方法，关键是准确抓住数列通项公式呈现的规律，然后选定一种求和方法，并作出相应的变换.例 3已知数列 的通项 ，求其前 项和 na65()2nn为 奇 数为 偶 数 nnS解：奇数项组成以 为首项，公差为 12 的等差数列，1偶数项组成以 为首项，公比为 4 的等比数列；24当 为奇数时，奇数项有 项，偶数项有 项，n12 ，1 12(165)()()3()2 3n nnnS 5当 为偶数时，奇数项和偶数项分别有 项， n2n ，2(165)4(1)(3)4(1)2nnnS所以， 13(2)4()()nn为 奇 数为
7、偶 数例 4解答下列问题：设 ),3(9)(2xxf（1）求 的反函数 ;1f（2）若 ;),2(,11 nnn uuu求（3）若 ;,3,1 nnkk Saa 项 和的 前求 数 列解析（1） 9)(2xf（2） 是公差为 9 的等差数列，),(221nnuu,80,89knn（3） ),91(9kak);19( )8()0(0 n nS（II）设函数 ),2(1,:,32)( 1nbfbxf nn作 数 列求和： .1(14321 nn bW6解析 ),384(91,32,3221 nbnbbnnn当 n 为偶数时 )()(94 22W298)12(17394)(28n = );6(4(2
8、n当 n 为奇数时 )1()1(9 222 nnW ).762(913982194 )3(73 3)(4)(982 nnn解析例 2 中的（I ） 、 （II ）两题是以数列求和为主要内容的数列综合试题，需要熟练运用求和方法，问题（I ）中运用了 “裂项”求和方法，而问题（II ）中灵活运用了拆项与并项的求和方法.例 5已知数列 的各项为正数，其前 n 项和 ，na 2)1(nnaS满 足（I）求 之间的关系式，并求 的通项公式；)2(1n与 na（II）求证 .21nSS解析（I） ，而 ，2)(4na21)(4na得 ,0)01121 nn的等差数列，2),2(,0dannn 是 公 差;
9、)(4121 a而7（II） 22212 11, nSSnn.21 )1()32()1(,)(12 n nSSn 评析例 3 是十分常见的数列型的不等式证明问题，由于运用了数列求和的思想，作出了一个巧妙的放缩变换，然后与数列求和挂上了钩.训练题一、选择题1在数列 中， ，则项数 n 为 （ na 9,1nn S项 和若 其 前）A9 B10 C99 D1002数列 1， （1+2） ， （1+2+2 2） ， （1+2+2 2+2n1 ） ，的前 n 项和等于 （ ）8A B C Dn1221n1n2n3设 = （ 50317,)(43SS 则）A1 B 0 C1 D24数列 1， （ 项 和
10、 为的 前 n 321,2）A B C Dnn)1(2)1(4n5数列 的前 n 项和 （ a 221,2naaS则）A B C D2)1(n )(3n4n )14(3n6数列 的通项公式为 则数列 的前 n 项和na ,1421aabannn 令 b为（ ）A B C D2n)2(n)1(n)12(n二、填空题7数列 的前 10 项之和为 ,3165,8413,8若 nn则,29)(29已知 的前 n 项和 的值为 a |,14102aaS则10已知数列 的通项公式是 项和为 nn则 前,652三、解答题：11已知数列 的各项分别为 的na ,1654343 naaaa 求前 n 项和 .S
11、912已知数列 满足： 的前 n 项和na ,2)3()12(3121 nnbaa数 列.nn WbS项 和的 前求 数 列 .213设数列 中， 中 5 的倍数的项依次记为),(nn N将，,321b（I）求 的值 .4,（II）用 k 表示 ，并说明理由.kb21与（III ）求和： .213nb14数列 的前 n 项和为 ，且满足anS,)1(,naSa（I）求 与 的关系式，并求 的通项公式；1n（II）求和 .112232 nn aaW15将等差数列 的所有项依次排列，并如下分组：（ ） ， （ ） ， （ ） ，n 1a32,7654,a，其中第 1 组有 1 项，第 2 组有 2
12、 项，第 3 组有 4 项，第 n 组有 项，记 Tn1n为第 n 组中各项的和，已知 T3=-48，T 4=0，（I）求数列 的通项公式； na（II）求数列T n的通项公式；（III ）设数列 Tn 的前 n 项和为 Sn，求 S8 的值.答案与解析一、1C 2B 3C 4B 5D 6B10二、7 810 967 10512)3(n11 ,2nnnaa（1） ;)1(,Snn时当（2）当 ,121aaann时),()(1 12312 nnnS ;, 2aaann时当当 时，1）当 n 为奇数时;1Sn2）当 n 为偶数时 .212当 ),12()5()3()(, 1 nan nn时 ;14
13、,2.,;11nSbnan时当 得而而 .)2(,11n得 )14(1572,4432 nsWn 记，24n得 )()2(8143s n ).5(),5(24 ,4113Wnn得13 （I） ;5,01049321 abab11（II） ),(51),(52)1( NknkNmna或;2)1( ,2,52 1522 kab abk kkk或即（III） ).1(6,522121 nbbnbnn 14 （I） ),(1,2)(11 aaSnnnn两 式 相 减 得;,2121a nn （II） )412()31)(534nWn .21)1()531( 15 （I）设 的公差为 d，则 ， ，解na48673daT0674daT、得 ;,9,27n（II）当 时，在前 n1 组中共有项数为 ,1221n第 n 组中的 )()32(2 1 nnnT项 的 和;431n（III ） .5941,2588SaSn项的 前为
