1、2.2 圆内接四边形的性质 与判定定理,圆心角的度数等于它所对的弧的度数。,同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.,半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;90的圆周角所对的弦是直径.,圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。,圆周角定理,圆心角定理,推论1,推论2,【温故知新】,二.圆内接四边形的性质与判定定理,圆内接多边形-所有顶点都在一个圆上的多边形.,这个圆称多边形的外接圆.,思考: 任意三角形都有外接圆.那么任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗?等腰梯形呢?一般地, 任意四边形都有外接圆吗?,如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征
2、?,如图（1）连接OA,OC.则B= . D=,性质定理1 圆内接四边形的对角互补,将线段AB延长到点E,得到图（2）,（1）,性质定理2 圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。,性质定理1 圆内接四边形的对角互补,性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.,如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.,性质定理的逆命题成立吗？,假设：四边形ABCD中，B+D=180 求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）.,C,A,B,D,E,O,A,B,C,D,E,O,证明：(1)如果点D在O外部。则,（1）,（2）,AE
3、C+B=180因B+D=180,得 D=AEC与“三角形外角大于任意,不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。,(2)如果点D在O内部。则B+E=180,B+ADC=180E=ADC,同样矛盾。点D不可能在O内。,综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。,圆内接四边形判定定理,如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆.,当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法-穷举法,推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆.,例1 如图， 都经过A,B两点。经过点A的直线CD与 交于点C,与 交与点D.经过点B的直线EF与 交于点E,与 交与点F
4、.,证明：连接AB,BAD=E.,BAD+F=180,E+F=180,CE/DF .,求证：CE/DF.,四边形ABEC是O1 的内接四边形。,四边形ADFB是 O2 的内接四边形。,O1 与O2,O1,O2,O1,O2,例2 如图，CF是ABC的AB边上的高，FPBC, FQAC.,求证：A,B,P,Q四点共圆,证明：连接PQ。,在四边形QFPC中，,FPBC FQAC.,FQA=FPC=90.,Q,F,P,C四点共圆。(推论),QFC=QPC.,又CFAB,QFC+QFA=90.,A+QFA=90,A=QFC.,A=QPC.,A,B,P,Q四点共圆,A+QPB=180.,习题2.2,1.AD,BE是ABC的两条高， 求证：CED=ABC.,2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。,o,3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分E,且与BC,AD分别相交于F,G.求证： CFG=DGF.,
