1、vuu第七章 结构有限元分析引 言求解具体结构工程中的问题是有限元素法的最终目的，而实际工程结构是复杂多样的，要很好的运用有限元素法还得解决好像坐标变换、对称边界条件运用以及复杂结构连接等问题。本章即为解决有限元方法应用于工程结构中实际问题的算法。一、杆系或梁系的刚度坐标变换1、向量的坐标变换公式i) 一维向量的平面分解sincovuiii) 一维向量的三维空间分解 wvuucoscosiii) 平面向量的坐标变换： vvcosiniv)在三维空间中平面向量的坐标变换u v wu1l 1m1nv2 22wvunmlvu22112、杆元局部系下刚阵与整体系下刚阵的变换i）局部系下的单元平衡方程：
2、 jijipulEA1K由坐标变换（对节点力）vuvu vxyijx=jijyxiyxppsin0coisPT0由局部坐标系下的平衡方程 KPT由位移（节点）的坐标变换ii vuusncocosin00cosinii jj uv0代入P 的表达式： KT故 杆系举例：节点编号 1单元编号 2形成各单元的总体坐标系下刚阵 3单元拼装 4求解总体刚度方程 53、平面梁元局部系下刚阵到整体系的坐标变换i). 梁元局部系下的单元刚度平衡方程123456 jjyjxiiyixjjjiiilEIlIlEIlI llll lEAlEA lEIlIlIlI lllEl lAlEA MPPvuvu4626 61
3、261 2646 61612 22 233 22 32300 000 0jijiPK21ii) 坐标变换 iiii vuyxyvu10),cos(),s(jiji 0 21221100 KKKTTT iii) 空间梁元有更复杂的变换关系iv）其它单元的坐标变换Homework: 列出平面弹性问题的刚度矩阵向三维空间的变换二、节点局部系下的刚度矩阵变换（斜支撑条件的应用）i) 实际问题ii）问题：一些节点在总体坐标系下，一些节点是在局部坐标系下，这类问题称为混合坐标架问题，即最终的刚度矩阵是一个混合标架下的形式。我们的任务是从总体系下的刚阵推导混合标架下的刚阵计算。iii) 推导（以杆元或平面单
4、元为例），总体坐标系212121yxyxPvuK若单元节点 1 取为局部坐标系，即： 111 vu)y,cos()x,ys(v 11vuT21210vuIvuT121yxTxP21210yxyxTyxyxPI 21212121 000 vuIKIPI Tyxyxyxyx 212121yxyxTvuK一般规律：i.K .iKTininii i211三、不同类型元素的结合和各种坐标变换矩阵引：工程结构特别是飞行器、船舶等不可避免地要同时采用不同类型的元素，从而引起不同类型元素之间的位移协调性问题。为保证这种协调性，必须引入特殊的变换矩阵以实现之，实际情况繁多，难于一一举例，仅通过几个例子说明处理这
5、类问题的方法。1、桁架与刚架混合结构使用杆元与梁元（不同节点不同自由度）abc dTzccaabbvu以杆元 a- b 为例，在组建总刚阵时， a- b 杆的刚阵要适当变换以适应节点 a 的自由度，即：bazba vuKOKvuK 434213243211434213214312改坐标变换可在组装时实现。方法 2：还可以利用子结构方法，将 a、d 两点的转角 作为内部自由度，而刚架的zda,出口刚阵不包括该自由度（即聚缩掉） ，因该自由度与邻近元素没有协调要求。2、梁元素可能与平面应力板元素混合使用梁元素的节点取在轴线 a- b 上，但是位移协调关系发生在角节点 1-2-3- 4 上，且前者含
6、有转角自由度， ，而后者仅含有平移自由度。z,即： TTTzbbzaaTba vuvuvu43214321需要建立转换关系：(a 点到 12 点；b 点到 34 点；)4321T 可依据初等弯曲理论的基本假设来决定。a b1234h1h2h1h2a1 u12 u2uaa如图：21va21va212 21211)( )(huuhza01022111hhT则： 43TKTNote: 上述变换，仅作了节点位移协调，而不能保证元素边界上各点的位移协调性。实际当中，很难保证它们的相容性，不得不放松要求，仅保证节点上位移一致，相应地产生一定程度上的误差。这样做，仍可保证一定的工程精度。作业：推导该梁元与平
7、面应力元位移协调的刚阵形式。偏心梁元：用 1、2 两点的广义位移取代中性轴上 a、b 节点的广义位移，这样，1、2 两点的位移可以与其它单元的节点协调。 2,121 ivuTziiiT由初等弯曲理论： 1011 eeuvazaz同理： 2Tb 12a b 1 2a buau1e 10TTK四、约束不足和附加约束这种问题的发生一般在工程结构上，例如如下结构，杆元 在 y局部坐标系下计算42,1没有任何问题，此时的总刚平衡方程中，对应的节点位移仅有 y方向三个节点的位移。但放在总体系下，或在 xy系下计算时，总刚平衡方程中，在一个节点上有两个位移自由度，而结构本身是不能提供 4 节点 x方向的位移
8、约束。从计算总平衡方程看，总刚阵此时是奇异的（因为缺少约束条件） ，因从平衡观点来看，当节点 4 上作用有 x方向的外力时，结构内不可能产生内力与之平衡；换句话说，结构内产生的内力值为无穷大，反过来说，若要节点 4 沿 x方向发生位移，无需施加任何外力（几何可变（瞬时）结构） 。再如空间平面应力元素组成的薄壁结构，节点 a 与上面所描述的道理一致，同属于约束不定的问题。这类问题在总刚矩阵中一般有两类表现：如所述杆系问题，当坐标系取为 xy时， 1单元 和 在 4 节点 x方向对应的刚阵元2素（行和列）为零，从而，总刚矩阵奇异；当坐标系取为 xy 时，节点 4 在 xy 方向 2对应的刚阵元素线
9、性相关，同样，总刚矩阵奇异。处理方法：在这类特殊节点处，采用节点坐标系，并将不定的那个自由度抛去不计，这样做， 1在刚阵中导致奇异的那些行（列）就不再出现了。这种做法的缺点是，使各节点的自由度数不等，坐标轴不统一，因而，程序设计上使工作复杂化。将包含该类点的单元作为子结构，用聚缩的办法将特殊点消去。 2既然这种特殊的位移是不定的，我们不妨人为的规定它取某种数值，把它作为预定 3边界位移来对待。所规定的位移值，应当满足小位移假设，倘若在特殊节点处采用节点坐标系，显然可令：0xu这种处理对程序设计没有任何特殊要求，仅增加预定边界位移的数目，所以最为方便。其它情况：还有一类节点，几何上接近于上述那些
10、节点，如上两图中虚线的位置，与特殊节点 1邻接的诸元素虽然不共线（面） ，但几乎共线（面） 。所以，在 x方向的刚度虽然不是 0，xyx,y412a但接近 0。对于这类结构，我们可想而知其刚度矩阵是接近奇异的。该阵对计算误差是极其敏感的，换句话说，原始数据有微小改动，或计算步骤的微小变化，都可能导致计算结果的重大变化。这就是所谓的“病态”问题。病态矩阵的计算结果是靠不住的，一定要避免。凡遇有上述结构，均应按约束不足来处理。另一方面，又会遇到附加的约束条件， 2如右图三根梁交汇处，有刚性很大的镶板加固，故每个梁元素端有一小段近似绝对刚性。这种元素的刚阵，应作一定的变换，以体现刚硬端的约束作用。首
11、先，按 a-b 梁元建立该元素的刚度方程，其节点位移在 a 点，为：Tzaavu取 1-c-a-d 部分为绝对刚硬，则 与Tzvu11间存在刚性约束关系，该约束为：cosevinuzazz11a0iT即在进入刚阵组装时，通过上式可消去 ,使得梁元 a-b 的节点位移在 a 点与节点 1 联系起a来。再如右图结构，可能出现在飞行器结构中， 3表示一段支持于机身上的机翼。在它的右端，有一段刚度很大的构造，在分析时，最好看作是绝对刚硬的，这一段结构将在诸节点 1，2，3，4，5，之间建立一组约束条件，这些节点的位移都应当能用刚硬段的 6 个刚体位移来表示，即： ,.321iwvuTTzayxaaii
12、 如右图平面刚架结构，也可以引进附加约束问题， 4他的元素刚阵矩阵一般都有这样的特点：与轴向拉压变形有关的刚度系数，远远大于与弯曲刚度有关的刚度系数。经验表明：当刚阵元素数值相差悬殊时，极易出现病态，为了避免这种情况，可以引进近似假设，即认为元素的拉压刚度是无穷大，对应的附加约束条件： 324312 uvvbaexycd11z1uvxya1234 512 3xy4这种情况，可在刚阵组合时直接处理，而不必引入变换矩阵。即在总刚方程中仅取相关约束中位移的那一半，各矩阵投放时，对应的刚度系数相加即可。如：总刚 .MPuvuvz,yxzz,z,z,.uuz 124342312121 1-2 元刚阵：
13、212211 zzzzvuvuvu用 Lagrange 乘子法处理约束条件 5约束条件式可以象我们上述问题那样，通过矩阵变换或组装时的取换来处理，这样在计算时就不再理会此类问题；另一种处理办法，可以放在计算总刚时，再考虑这些约束条件，注意，我们以上研究的约束（矩阵变换）全是线性的，一般可写成： 一 般 是 稀 疏 的CAAU 232212 11约束的意义表明基本位移向量中的各分量不全是独立的了。在用最小位能原理推导结构总刚度方程时，必须把无约束的极值问题改为有约束的极值问题。带约束的泛函极值问题，可以通过 Lagrange 乘子法，转化为无约束的极值问题，即： PKTT)(21*求 0，联立解之，即可求得 。ACPT,APOCK这给后续数值计算线性代数方程组带来一定的麻烦，但想办法还是能够较好解决的。五、对称性条件的应用如结构对称载荷对称或反对称，可以利用这些条件来缩减计算规模或附加边界条件。如：若载荷也具有某种对称性，计算时可仅取 ， 或 。214n还可以利用子结构方法，处理一些具有重复对称性的结构，这放在下一节讲。作业：计算杆系结构的位移及内力：杆 1 和 2 的长度 l=1杆 3 的长度 l=杆 1 和 2 的横截面积：A 1=A2=1杆 3 的横截面积：A 3=E1=E2=E3=104
