1、1信号系统分析概述：1.为什么要学习本课程？本课程是继电路分析课程后的一门基础理论课，对电类专业又是一门较重要的课程，先前我们所学过的电路分析课程所分析的信号无非是直流和正弦交流信号，所分析的电路最高不过是二阶电路。而在信号与系统分析中，所分析的信号有指数、斜坡、脉冲、冲激等一些复杂的信号，所分析的电路也不局限于二阶及以下系统，而可以是二阶以上高阶系统。除此外，信号分析要研究分析信号机系统的频率特性，这对于通信及自控专业很重要。2.本课程特点：以数学理论为分析依据，愈来愈多地运用了现代数学的概念和方法，对系统进行时域及时域分析，把分析问题与其数学表述和论证密切地结合起来。其分析所应用的数学工具
2、有：傅里叶级数、积分变换、Z 变换、线性常微分方程、级数等。3.课程任务：（1）确定线性、非时变连续时间系统和离散实践系统相应的各种方法。（2）研究信号的频率特性（频谱分析）和分析信号的频率特性与时间特性2的联系。第 1 章 连续时间信号与系统的时域分析1.1 信号的定义与分类一、信号的基本概念1. 信息：通过文字、语言、图像及数据所表达的思想和概念，代表一个新鲜的事物，消息和事件，是一门科学。2. 信号：是携带信息的一种物理量，是信息的表现形式和运载工具。研究信号的目的在于了解各种信号（电信号）的组成变化的规律，以便传输和处理信号。二、信号的分类*按时间函数的确定性分为1.确定信号与随机信号
3、A.确定信号：对确定的时间信号又确定的数值，它包括连续时间信号 周期信号 f(t)=f(t+nt) n=o1非周期信号准周期信号（概周期）离散时间信号：某此离散点上，具有不确定的数值。B.随机信号：对任何时间都无确定的信号数值，也即信号的温度及出现时3间是不可预测的。*按时间函数取值的连续性分为2.连续时间信号与离散时间信号*按时间函数的可积性划分3.能量信号与功率信号能量信号：能量为有限值的信号功率信号：功率为有限值的信号1.2 信号的描绘与运算1.2.1 常用基本信号及其性质1.直流信号：f(t)=A -0u(t)=0 t0Sgn(t)=-1 t0R(t)= 或 R(t)=tu(t)0 t
4、0f(t)（at ）dt=f(x/a)(x)1/adx=1/af(0)a1 波形在时间域压缩 a 倍f(t)中以 at 代 t，若： 幅度不变。 03 f()d=d+-2 d=2-2=0例：试写出 f(t)的表达式方法 1.突出阶跃函数表示法f(t)=(t+1)u(t)-(t-1)u(t-1)-2(t-1)u(t-1)+2(t-3)u(t-3)+2u(t-4)方法 2.突出门函数表示法f(t)=(t+1)u(t)-u(t-1)-2(t-2)u(t-1)-u(t-3)-2u(t-3)-u(t-4)1.3 系统及其分类1.3.1 系统的基本概念1.系统：为了达到信息有效、可靠，面对信息进行了加工处
5、理的设备总称；或为完成某种特定任务的整体总称。如物理系统、自然系统等。2.系统分类：自然系统与人工系统、物理系统与非物理系统，按系统数学模型及特性分类有12（1）线性系统与非线性系统线性系统：均匀性（其次性）、叠加性、分解性。均匀性：若 f(t)y(t)则 kf(t)ky(t)叠加型：系统在 n 个输入作用下的响应，等于它们分别单独作用产生的响应之和。若：f 1y 1;f2y 2则 f1+ y1f 2+ y2线性可表示为 k1f1+k2f2k 1y1+k2y2推记：如果系统具有线性性时，则系统具有分解特性y(t)=yx(t)+yf(t)（要求零输入、零状态分别具有线性性）非线性系统：不具备上述
6、特性的系统（2）因果系统与非因果系统如果当前的响应与未来的激励无关，则该系统就是一个因果系统，即响应与输入为因果关系，当 t0 的 uc(t)和 iL(t)解：i L(0-)=1 A uc(0-)=6vt0 后,方程为 d2uc/dt2+6(duc/dt)+5uc=0uc(t)=k1e-t+k2e-5t k1+k2=uc(0)=6-k1-5k2=uc(0)=-iL(0)/c=-519得 k1=25/4 k2=-(1/4) uc(t)=(25/4)e-t-(1/4)e-5t v t0iL(t)=-ic=-(1/5)(duc/dt)=(5/4)e-t-(1/4)e-5t A t01.5 系统的单位
7、阶跃与单位冲激响应1.5.1 系统的单位阶跃响应系统在 u(t)作用下的零状态响应 g(t)为单位阶跃响应对于一阶系统，求 g(t)可用三要素法，但二阶 以上电路不适应。三要素求 uc(t)零状态响应 uc(t)=Uc()(1-e-t/ )u(t)即 guc(t)=(1-e-(t/) )u(t)gic(t)=c(dguc(t)/dt)=1/R(e-(t/) )u(t)+c(1-e-(t/) )(t)=1/R(e -(t/) )u(t)对于二阶及以上的系统需用经典法，求其阶跃响应。1.5.2 系统的单位冲激响应h(t)为系统在 (t)作用下产生的零状态响应，也称为单位冲激响应。因为 (t)=u(
8、t), h(t)=g(t)1.由 g(t)求 h(t)求 h(t)的方法： 2.冲激平衡法203.有传输算子 H(P)得到1. 由 g(t)求 h(t) (注意 (t)的取样特性)如上例：已知电容电压单位阶跃响应为 guc(t)=(1-e-t/ )u(t)huc(t)=g uc(t)=1/Rc(e-t/ )u(t)+(1-e-t/ )(t)= 1/Rc(e -t/ )u(t)hi(t)=c(dhuc(t)/dt=c-1/Rc(1/Rc)e-t/ (t)=-(1/R2c)e-t/ u(t)+(1/R)(t)物理意义：t=0,(t)加在 R 两端，t0 后，(t)=0，电容有电压加在 R 上。2.
9、 冲激平衡法：因为 （t）只在 t=0 作用于系统，在这一瞬间它把全部能量转换为电场或磁场能量储存在 L 或 C 中，t0 后，(t)=0，所以求 (t)作用下的零状态响应，实质上是求 t0 后的零输入响应。(1)比较系统法（根据等式比较系统）例：已知系统微分方程位 h“(t)+4h(t)+3h(t)=(t)+2(t)求 h(t)解：这是 n=2 m=1 nm两个概念：（1）系统在 （t）极其导数作用下的零状态响应与初始储能作用的零输入响应的函数形式相同。 （2）等号两边冲激函数的阶跃平衡，为使方程平衡，方程中左边冲激响应，及其导数中一定包含有冲激函数及其导数，且冲激函数的最高阶导数项，即 (
10、t）一定出 现在冲激响应函数的最高阶21导数项 h“(t)中，即：h“(t)(t)，(t) ，u(t); h(t) (t), u(t) h(t)u(t)特征方程：p 2+4p+3=0 1=-3 2=-1h(t)=(k1e-3t+k2e-t)u(t)代入方程比 较系数求出 k1k2h(t)=(-3k 1e-3t-k2e-t)u(t)+(k1e-3t+k2e-t)(t)=(-3k1e-3t-k2e-t)u(t)+（k1+k2）(t)h“(t)=(9k1e-3t+k2e-t)u(t)+(3k1-k2)(t)+(k1+k2)(t）代入原方程(k1+k2)(t)+(k1+3k2)(t)=(t)+2(t)
11、k1+k2=1k1+3k2=2 k1=k2=1/2 h(t)=(1/2e-3t+1/2e-t)u(t)例 2：已知 y(t)+3y(t)+2y(t)=4(t）已知 y(0-)=y(0-)=0,求 y(t)解：此时 y(t)即为 h(t),y(t)=(k1e-2t+k2e-t)u(t)y=(-2k 1e-2t-k2e-t)u(t)+(k1+k2)(t)y“=(4k1e-2t+k2e-t)u(t)+(-2k1-k2)(t)+(k1+k2)(t)代入原方程求出k1=8 k2=-4 y(t)=(8e-2t-4e-t)u(t)当 nm时，h(t)包含有 (t)及其导数项。、2、 等效初始条件的冲激平衡法
12、（为上面方法的归纳）22步骤：a.根据冲激平衡原理和特征方程，写出 h(t)表达式。b.设出冲激平衡结构式，计算等效初始条件 h(0+)h(0+)h“(0+)c.确定待定系数例：如上，已知 h“(t)+4h(t)+3h(t)=(t)+2(t)h(t)=(k1e-t+k2e-2t)u(t)设：h“(t)=A(t)+B(t)+Cu(t)h(t)=A(t)+Bu(t) 冲激平衡结构式*h(t)=Au(t)由于为零状态：则 h(0-)=h(0-)=h“(0-)=0从而 h(0+)=A h(0+)=B h“(0+)=C（看 u(t)的跳变）A=1 A=1将结构式*代入方程得： B+4A=2 B=-24B
13、+C+3A=0 C=5即 h(0+)=1 h(0+)=-2 h“(0+)=5k1+k2=1 k1=k2=1/2 h(t)=1/2(e-t+e-3t)u(t)-k1-3k2=-2若 n=m，则 h(t)有 (t)项，若 n0 时为零，我们把原输入信号 (t)等效为初始条件，即把零状态响应转化为零输入响应，有 RiL(t)+ L(diL(t)/dt)=0 (p+R/L)iL(t)=0 iL(t)=Ae-R/Lt t0iL(0-)=0 UL(0)=(t)iL(0+)=1/LuL()d=1/L() d=1/L 代入得iL(t)=1/Le-R/Ltu(t)=h(t)电感电压，冲激响应为UL(t)+R/L
14、UL()d=(t) 1+(R/L)(1/P)=027UL(t)=Ae-(R/L)t iL(0+)=1/L uL(0+)=-(R/L) A=-(R/L)考虑 t=0 点的冲激有 UL(t)=(t)-(R/L)e(-R/L)tu(t)=L(diL/dt)1.6.2 卷积极分yf(t)=f(t)*h(t)=h（t）*f(t)=f()h(t-)d其中：为信号的作用时间 t-0 即观察响 应时间t：观察响应时间 要比信号作用时间推迟t-:系统记忆时间积分过程中 为变量，t 为常数，积分完后， 自动消失，t 为变量卷积极分的上下限的四种可能情况（数学上）a.若 f(t)h(t)均为双边函数 yf(t)=f
15、()h(t-)db.若 f(t)有始， h(t)为双边 y(t)=f()h(t-)dc.若 f(t)为双边， h(t)为有始 y(t)=f(t)h(t-)dd.若 f(t)h(t)均为有始， y(t)=f(t)h(t-)d281.卷积极分的图解法卷积的几何意义为：在不同的 t 值情况下，两图形 f().h(t-)的乘积曲线与轴构成的面积，它的运算过程是经过：变量代换、翻转、时移、相乘及积分而完成的。例 1：如图求 f1(t)*h(t)例 2：如图，求 f(t)*h(t)29说明：a.图形一 经翻转 后，即为 t=0 时刻，然后再根据两 图形有无重叠， 进行时移 t，右移 t0,左移 t0。b.
16、积分下限由乘积曲线左端点确定，积分上限由乘积曲线左端点确定，积分上限由乘积曲线右端点确定。2.卷积的解析法由 yf(t)=f()h(t-)d 可知30积分下限由未翻转的函数 f( )括号内代数式等于零的 值决定。积分上限由翻转后的函数 h( )括号内代数式等于零的 值决定。响应时间起点由积分上限减下限决定。如：f1(t-t1)*f2(t-t2)=f1(-t1).f2(t-t0)d=f(t-t2-t1)u(t-t2-t1)例：如图，求 f1*f2y(t)=f1(t)*f2(t) f1=1/2u(t-2)-u(t-5); f2=2u-(t-1)-u(t-7)y(t)=f1*f2=f1()f2(t-)d=1/2u(-2)-4(-5)24(t-1)-u(t-7)d=d-d-d+d=(t-3)u(t-3)-(t-9)u(t-9)-(t-6)u(t-6)+(t-12)u(t-12)
