1、中考热点 3等腰三角形分类讨论等腰三角形的分类讨论题多见于初三各级各类模拟考试甚至中考的压轴题中，由于这类题目都与图形运动有关，需要学生具有一定的想象能力、分析能力和运算能力，而这正是学生最缺乏的，理清这类题目的解题思路和解题策略将会等到在中考中获得高分的重要砝码。等腰三角形分类讨论的解题思路粗分有两种，第一种：用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边，后用三条线段依次相等建立方程后求解，第二种：分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解。下面就常见的题型进行分析、归纳典型例题【例 1】如图，在 RtABC 中，C=90， ，AC=
2、4；D 是 BC 的延长线上的一个动点，54sinBEDA=B ，AE BC（1）找出图中的相似三角形，并加以证明；（2）设 CD=x，AE=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）当ADE 为等腰三角形时，求 AE 的长【思路分析】思路一：用含有 x 或者 y 的代数式来表示等腰三角形的三条边长 AD、DE、AE 三条线段依次相等建立方程后求解，显然 AE 和 DE 边都不方便用含含有 x 或者 y 的代数式表示。思路二：分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用第（1）题中证明的ABDEDA 将等腰的条件转化到ABD 中进行求解，最后带入定义域检验。解：（1）AEBC E
3、AD=ADB，EDA=BABDEDA（2）ABDEDA AED 即yxx163223162x0（3）情况一：当 AE=AD 时AD=BD 即 162x7情况二：DE= AE 时AB=AD，ACBDBC=CD即 3x情况三：AD= DE 时AB=BD 即 52x点评：将等腰三角形的条件进行适当转化，计算过程大大简化，既节约时间又提高正确率【例 2】已知直线 的解析式 ，直线 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，直线 经过 B、C 两点，1l63xy1l 2lAB C DE点 C 的坐标为 .又知点 P 在 x 轴上从点 A 向点 C 移动，点 Q 在直线 上从点 C 向点 B 移动.点 P、Q
4、)0,8( 2l同时出发，且移动的速度都为每秒 1 个单位长度，设移动时间为 t 秒（ ）10t（1）求直线 的解析式2l（2）当 t 为何值时，PCQ 是等腰三角形【思路分析】在直角坐标系中对等腰三角形进行讨论，依然遵循两大基本思路此题中 PC、QC 两条边长都方便用含有 t 的代数式表示，而 PQ 不易表示，将等腰三角形 PQ=QC 和 PC=PQ 两种情况，通过添加底边上的高转化为直角三角形，再用锐角三角比和相似三角形的方法进行求解则较易求得结果。解：（1）设直线 BC 的解析式 )0(kbxy把 B（0，6）C（8，0）代入得 43xy（2）情况一：当 PC=QC 时t15情况二：当
5、PQ=CQ 时在 RtBOC 和 RtQHC 中，BCOQHcos即 54210t130t情况三：当 PQ=PC 时在 Rt BOC 和 RtPHC 中，BCOPHcos即 54102t1380t点评：在直角坐标系中进行等腰三角形的分类讨论依然要通过策略进行化解，将等腰三角形问题通过添加底边上的高转化为直角三角形，再寻找熟悉的“基本型”列出比例式后求解。【例 3】如图，已知二次函数 的图象与 轴交cbxy2)0(x于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 轴交于点 C，且 OB=OC=3，顶点为 M（1）求二次函数的解析式；（2）探索：线段 BM 上是否存在点 N，使NMC 为等腰三
6、角形；如果存在，求出点 N 的坐标；如果不存在，请说明理由【思路分析】根据直线 MB 的解析式为 设 N 点的坐标为62xyCABOyxQPl1l2HCABOyxl1l2PQHyO BOxCAOMONO，因为 C（0，3 ）和 M（1，4）为已知点，所以NMC 的三条边长 NM、MC、NC 均可表示)62,(x出来，根据思路一：三边依次相等建立方程后求解，最后带入定义域检验。解：（1）OB=OC=3 ，B（3，0） ，C （0，3） ，解得： cb392cb二次函数的解析式为 32xy（2）设 N 点的坐标为 ，C （0，3）和 M（1，4）)6,(x，24)012CM22)3(xN)(xx当
7、 CM=NC 时， 322解得 （舍去）,此时 N 1,5721x)516,7(当 CM=MN 时， 2()(2x解得 （舍去）, 此时 N 510,5012x )51024,1(当 CN=MN 时， 22)3(x22)()(xx解得 ,此时 N x,线段 BM 上是否存在点 N ， )51024,1(),256,7(使NMC 为等腰三角形；点评：直角坐标系中进行等腰三角形的分类讨论如果三角形三个顶点的坐标易求得，则三条边长亦能表示出来，三边依次相等建立方程后求解，代数法学生较易理解而且不易漏解，但是计算有时十分繁琐。【例 4】在梯形 ABCD 中，已知 ABCD， ADDB，AD =DC=C
8、B，AB=4以 AB 所在直线为 x轴，过 D 且垂直于 AB 的直线为 y轴建立平面直角坐标系（1）求DAB 的度数及 A、D 、C 三点的坐标；（2）求过 A、D、C 三点的抛物线的解析式及其对称轴 L（3）若 P 是抛物线的对称轴 L 上的点，当 PDB 为等腰三角形时，求点 P 的坐标【思路分析】这又是一题在直角坐标系中对等腰三角形进行讨论，本题可采用几何法求解，当 BD 为等腰三角形的腰时分别以 B、D为圆心 BD 的长为半径画弧与对称轴的交点就是所求的 P 点，再D CBA Oxy L用勾股定理求出对应的线段长度就可求出点 P 的坐标了，当 BD 为等腰三角形的底边时 P 点在 B
9、D 的中垂线和对称轴的交点上。解：（1）DC= BC CDB=CBDCDAB CDB=ABDCBD=ABD四边形 ABCD 是等腰梯形 CBA= DABADDB DAB+DBA =90DAB=60，DBA=30RtABD 中，BDA=90 ，AB=4AD=2OA=1，OD= ，BC=CD=23 、 、 、)0,1(A),(B),2(C)3,0(D（2）设二次函数解析式为 acbxy把 、 、 、 代入),()3,(),(解得 02axy对称轴：直线 1（3）当 BD=DP 时，对称轴上的点 P 有两个分别为 P1 和 P2BD= DP1= DP2= ，DE=13EP 1= EP2= ),(E
10、、31P)13,(2P当 BD=PB 时，对称轴上的点 P 有两个分别为 P3 和 P4BD= BP3= BP4= ，BF=2FP 3= FP4= 2 、),1(P),(当 PB=PD 时，设 1y222)3(y0 ),1(5PD CBA OxyLP1P2EFD CBA OxyLP3P4FE点评：本题也可采用代数法设 P 点坐标为（1，y）利用两点之间的距离公式列出关于 y 的方程，不过需要注意解方程时必须采用开平方法，否则很难求出正确结果【例 5】如图，在 中， ， ， ，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，点 PRtABC906AB8C从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点 P 作 PQ
11、BC 于 Q，过点 Q 作 QRBA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点 P 停止运动。设 ， 。QxRy（1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长；（2）求 关于 的函数关系式，写出自变量的取值范围；yx（3）是否存在点 P，使 为等腰三角形？若存在，请写出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由。x【思路分析】 中的 PR 边很难表示成含有字母的代数式，因QR此当 PR=PQ 和 PR=QR 时需分别画出两个等腰三角形，解等腰三角形的问题通常是化归成解直角三角形的问题所以作出等腰三角形底边上的高，两个全等的直角三角形与ABC 相似，利用相似比或锐角三角比求解解：（1） ，
12、 ， ， 90A6B8AC10B点 为 中点， D132， HB，C ， A312805BDA（2） ， QR 9R， ， ， ，CAB106yx即 关于 的函数关系式为： yx365（3）存在，分三种情况：当 时，过点 作 于 ，则 PQRPMQRRM， ，1290290C， ，84cos1545QP， 136425x85x AB CD ERPH Q M21AB CD E RPH QAB CD ERPH QAB CD ERPH Q当 时， ， PQR31265x6x当 时，则 为 中垂线上的点，于是点 为 的中点，PQREC1224CEA，tanRB， 36528x152x综上所述，当 为
13、或 6 或 时， 为等腰三角形PQR点评：当点 P 在线段 DE 的延长线时 PR=QR，这种情况学生比较容易遗漏，可以从这个角度思考：当P、Q 两点自左向右运动时线段 QR 的长度逐渐变短，而线段 PR 的长度先变短后变长，这样比较容易画出 PR=QR 的这种情况。强化训练：1. 如图，点 A 是MON（记为 ）的边 ON 上一点，且OA=10，cos=3:5,P 是 OA 上的一个动点（与 O、A 不重合） ，过 P 作 PDOM，D 为垂足，以 PA 为边作正方形 PABC（在MON 内部） ，设 OD 的长为 x,PA 的长为 y.（1）求 y 关于 x 的函数关系式，并写出自变量 x
14、 的取值范围；（2）当 x 为何值时，PCD 为等腰三角形？2. 已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，DCBC，P 是边 AB上一动点，PECD，垂足为点 E，PMAB ，交边 CD 于点M，AD =1，AB=5，CD=4 （1）求证：PME= B；（2）设 A、P 两点的距离为 x，EM =y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）连结 PD，当PDM 是以 PM 为腰的等腰三角形时，求 AP 的长3. 已知在ABC 中，A=45，AB =7， ，动点 P、D 分34tanB别在射线 AB、AC 上，且DPA=ACB ，设 AP=x，PCD 的面积为 y（1）求
15、ABC 的面积；（2）如图，当动点 P、D 分别在边 AB、AC 上时，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果PCD 是以 PD 为腰的等腰三角形，求线段 AP 的长4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB = 4，BC = 3，点 E 是边 CD 上任意一点（点 E 与点 C、D 不重合） ，过点 A 作 AFAE，交边 CB 的延长线于点 F，联结 EF，交边 AB 于点 G设 DE = x，BF = y（1）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域；CA P BDA DP EMCBCDP ABOMNAB CDEFG（2）如果 AD = BF，求证： AEF
16、 DEA ；（3）当点 E 在边 CD 上移动时，AEG 能否成为等腰 三角形？如果能，请直接写出线段 DE 的长；如果不能，请说明理由5. 已知，在直角坐标平面中，O 为坐标原点，二次函数 的图象与 y 轴交于4)1(2xky点 A，与 x 轴的负半轴交于点 B，且ABO 的余切值为 43（1）求点 A 与点 B 的坐标；（2）求此二次函数的解析式；（3）如果点 P 在 x 轴上，且ABP 是等腰三角形，求点 P 的坐标6. 如图，在直角坐标平面内有点 A(6, 0)，B(0, 8)，C(-4, 0)，点M、N 分别为线段 AC 和射线 AB 上的动点，点 M 以 2 个单位长度/秒的速度自
17、 C 向 A 方向作匀速运动，点 N 以 5 个单位长度 /秒的速度自 A 向 B 方向作匀速运动，MN 交 OB 于点 P(1)求证：MNNP 为定值；(2)若BNP 与 MNA 相似，求 CM 的长；(3)若BNP 是等腰三角形，求 CM 的长7. 四边形 OABC 是等腰梯形，OABC。在建立如图的平面直角坐标系中，A（4，0 ） ， B（3，2） ，点 M 从 O 点以每秒 3 个单位的速度向终点 A 运动；同时点 N 从 B 点出发以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，过点 N 作 NP 垂直于 x 轴于 P 点连结 AC 交 NP 于 Q，连结 MQ。（1）写出 C 点的坐标；
18、（2）若动点 N 运动 t 秒，求 Q 点的坐标（用含 t 的式子表示）（3）当 t 为何值时，AMQ 为等腰三角形。8. 如图，E 是正方形 ABCD 的边 AD 上的动点，F 是边 BC 延长线上的一点，且 BF=EF，AB=12，设 AE=x，BF =y（1）当BEF 是等边三角形时，求 BF 的长；（2）求 y 与 x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）把ABE 沿着直线 BE 翻折，点 A 落在点 处，试探索： BFA能否为等腰三角形？如果能，请求出 AE 的长；如果不能，请说明理由9. 如图 5，在以 O 为圆心的两个同心圆中，小圆的半径为1，AB 与小圆相切于点 A，与大圆相
19、交于 B，大圆的弦BCAB，过点 C 作大圆的切线交 AB 的延长线于 D，OC 交小圆于 E（1） 求证：AOBBDC；P ABONMyxCQEDCOA BAB CDEFOxyNABC MP（2） 设大圆的半径为 ，CD 的长为 ，求 与 之间的函数解析式，并写出定义域xyx（3） BCE 能否成为等腰三角形？如果可能，求出大圆半径；如果不可能，请说明理由10. 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，AE =1，BE=2点 F 在边 BC 的延长线上，且 CF=BC；P 是边 BC 上的动点（与点 B 不重合） ，PQEF ，垂足为 O，并交边 AD 于点 Q；QHBC ，垂足为
20、 H （1）求证：QPHFEB；（2）设 BP=x，EQ=y ，求 y 关于 x 的函数解析式， 并写出它的定义域；（3）试探索PEQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，请求出 x 的值；如果不可能，请说明理由11. 如图，抛物线经过原点 O、点 A（6，8）和点（3，-5） （1）求直线 OA 的表达式；（2）求抛物线的表达式；（3）如果点 B 在线段 OA 上，与 y 轴平行的直线 BC 与抛物线相交于点 C，OBC 是等腰三角形，求点 C 的坐标12. 如图，在正方形 ABCD 中，点 F 在 CD 边上，射线 AF 交 BD于点 E，交 BC 的延长线于点 G（1）求证：ADECDE（
21、2）过点 C 作 CHCE，交 FG 于点 H，求证：FH= GH（3）设 AD=1，DF=x，试问是否存在 x 的值，使得ECG 为等腰三角形？若存在求出 x 的值；若不存在，请说明理由13. 如图，正方形 ABCD 的边长为 1，点 P 是 AD 边上一动点，CEBP 于E，连 DE，（1）设 AP=x，DCE 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出 x 的取值范围（2）求 AP 为何值时，CDE 是等腰三角形？14. 如图，在矩形 ABCD 中， ， ，O 是对角线 BD4AB3C的中点，点 P 在边 AB 上，联结 PO 并延长，交边 CD 于点 E，交边 BC 的延长线
22、于点 Q（1）求证： ； （2）设 ， ，求 yOEPxQ与 x 的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围；（3）试判断CQE 能否成为等腰直角三角形，如果能，请求出 x 的值；如果不能，请说明理由ABO xyA DEB P C FQOHCDEAB GFHA BCDPEAB CDPOEQ15. 如图 1，在等腰梯形 中， ， 是 的中点，过点 作 交 于ABCDB EAEFBC D点 ， .F46， 0（1）求点 到 的距离；E（2）点 为线段 上的一个动点，过 作 交 于点 ，过 作 交折线PPMFCMNA于点 ，连结 ，设 .ADCNEx当点 在线段 上时（如图 2） ， 的形状是否发生
23、改变？若不变，求出 的周长；若N P改变，请说明理由；当点 在线段 上时（如图 3） ，是否存在点 ，使 为等腰三角形？若DC存在，请求出所有满足要求的 的值；若不存在，请说明理由.16. 操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q探究：设 A、P 两点间的距离为 x（1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；（2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出
24、函数的定义域；（3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，试说明理由17. 如图，等腰梯形 中， ， =2，ABCDB 5,ADC=8， BCMEN的顶点 在边 上移动，一条边始终经过点 ，另一边与交于点 ，联接 AFDF（1）设 ，试建立 关于 的函数关系式，并写出yx, xA DEBFC图 1 图 2A DEBFCPNM图 3A DEBFCPNMNMDFE CBACDAB图 1CDAB图 2CDAB图 3函数定义域； （2）若 为等腰三角形，求出 的长AEF BE1
25、8. 如图，在梯形 ABCD 中，AD/BC ，AB=CD=BC=4，AD=2点 M 为边 BC的中点，以 M 为顶点作EMF =B，射线 ME 交边 AB 于点 E，射线 MF交边 CD 于点 F，连结 EF（1）指出图中所有与BEM 相似的三角形，并加以证明；（2）设 BE=x，CF=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域；（3）如果BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长19. 如图，已知二次函数 的图象经过点cb2)0(，与 轴交于点 ， 轴，且),2(mA0yBAxOB3（1）求 的值；（2）求二次函数的解析式；（3）如果二次函数的图象与 轴交于 C、D 两点（
26、点 C 在左恻） 问线x段 BC 上是否存在点 P，使POC 为等腰三角形；如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由20. 已知： ABCD 中，对角线 ACAB，AB=15，AC =20，点 P 为射线 BC 上一动点，APPM （点 M与点 B 分别在直线 AP 的两侧） ，且PAM =CAD，连结 MD。（1） 当点 M 在 ABCD 内时，如图 13，设 BP=x，AP= y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（2） 请在图 14 中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与AMD 相似的三角形，若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；（3） 当AMD
27、 为等腰三角形时，求 BP 的长。21. 如图 10，在直角梯形 中， ， ,ABCD/90C， 动点 、 分别从点 、 同时,12BC810PQDB出发，动点 沿射线 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动P点 在线段 上以每秒 1 个单位长的速度向点 运动，当点 运Q动到点 时，点 随之停止运动设运动的时间为 （秒） t设射线 与射线 相交于点 ， 能否为等腰三角形？如ABEA果能，请直接写出 的值；如果不能，请说明理由.t22. 如图 3-6 在半径为 6，圆心角为 90 度的扇形 OAB 的 AB 弧上，有一个动点 P，PHOA，垂足为H， OPH 的重心为 G （1）当点 P 在
28、AB 弧上运动时，线段 GO、 GP、 GH 中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度；（2）设 PH=x，GP=y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出DyOAOBOxCPBACD（图 14）PMBACD（图 13）AB CDMEFCDBAQP图 10ABHDPE G图 3-6O自变量的取值范围；（3）如果 PGH 是等腰三角形，试求出线段 PH 的长答案：1.（1）Rt ODP 中 cos= 5310yx10x)678(x（2）当 CP=DP 时， 且 43当 CD=CP 时，过 CGDP，RtCPG 中 cosCPG= 且 52yxx9101035xy51
29、8x当 CD=DP 时，过 DHCP，RtDHP 中 cosDPH= 且 53421xyx81035xy49150x2. （1）在四边形 BCMP 中，B+C+CMP+MPB=360，C =MPB=90B+CMP=180而PME+CMP=180，PME=B（2）解：作 AHBC 于 H，交 PE 于点 F PECD，BCCD，PEBC AFPE AH =CD=4，AB=5，BH=3AD=1，EF=1PFBH， ， AHPxPF53 又PME= B ，PEM=AHB =90 ，PEM AHB153xPE ， 即 定义域为 0x AHBM4315xy43209xy513（3）解：（）当 PM=PD
30、 时，DE =EM ，即 577AP（）当 PM=DM 时， 解得 x=1，即 AP=143209)153(4xx综上所述，当PDM 是以 PM 为腰的等腰三角形时， 或 AP=1715AP3. 解：（1）作 CHAB，垂足为点 H设 CH=m ， A=45，AH=CH=m34tanBm43 m=4ABC 的面积等于 743 1472（2）AH= CH=4， DPA=ACB， A=A，ADPABC 2AC ，即 PABD47xD2473xC作 PEAC，垂足为点 EA=45，AP=x， 2xP所求的函数解析式为 ，即 定义域为 4731y xy21677320x（3）由ADPABC ，得 ，即
31、 ACPBD45x45PDPCD 是以 PD 为腰的等腰三角形， 有 PD=CD 或 PD=PC（i）当点 D 在边 AC 上时，PDC 是钝角，只有 PD=CD 解得 24735x38（ii）当点 D 在边 AC 的延长线上时， 如果 PD=CD，那么 解得 x=162437xC2)4(xPC 2475x如果 PD=PC，那么 解得 ， （不符合题意，舍去） 2)(5321x7综上所述，AP 的长为 ，或 16，或 32384. 解：（1）在矩形 ABCD 中， ，AD = BC = 3即D =ABF 90BADCAFAE， 又 ，EFEAFBE，BADDAE =BAF于是，由D =ABF，
32、DAE =BAF，得DAEBAF 由 DE = x，BF = y，得 ，即得 34xy43xy 关于 x 的函数解析式是 ，定义域是 0（2）AD = BF，AD = BC， BF = BC 在矩形 ABCD 中，AB / CD， 即得 FG = EG 1FGBEC于是，由 ，得 AG = FGFAG =AFGAFE =DAE 90EAF于是，由 ，AFE =DAE，得AEFDEAD（3）当点 E 在边 CD 上移动时，AEG 能成为等腰三角形此时， 当 AG = EG 时， ； 当 AE = GE 时， ； 当 AG = AE 时，9432DE 78D5. 解：（1）由解析式可知，点 A 的
33、坐标为（0，4） cotABO= ，BO =3 点 B 的坐标为（-3，0） 3-5 512108642-2-4-6-8y10x4k5k-03k-62k-4HPOBC AMN-5 5 10 15 20108642-2-4-6-8-4kyx4-2k2k 6-3k 3k5kHPOBC AMN（2）把点 B 的坐标（-3，0）代入解析式，得 解得 04)1(39k351k所求的二次函数的解析式为 52xy（3）因为ABP 是等腰三角形，所以（i）当 AB=AP 时，点 P 的坐标为（3，0） （ii）当 AB=BP 时，点 P 的坐标为（ 2，0）或（-8，0） （iii ）当 AP=BP 时，设点
34、 P 的坐标为（x，0） 根据题意，得 解得 点 P 的坐标为（ ，0） 42x67x67综上所述，点 P 的坐标为（3，0） 、 （2，0） 、 （-8，0） 、 （ ，0） 6. (1) 过点 N 作 NHx 轴于点 H，设 AN=5k，得：AH=3k，CM=2k 当点 M 在 CO 上时，点 N 在线段 AB 上时：OH=6-3k，OM=4-2k， MH=10-5k，PONH， 10563PO 当点 M 在 OA 上时，点 N 在线段 AB 的延长线上时：OH=3k-6，OM=2k-4 ，MH =5k-10，PONH， H(2) 当BNP 与MNA 相似时：当点 M 在 CO 上时，只可
35、能是MNB=MNA=90，BNPMNABOA， ， ， ABNO10256k3016CM当点 M 在 OA 上时，只可能是NBP=NMA，PBA=PMO ，PPNABAB ，矛盾不成立. O(3) ， ， ， ，25NH245Pk85POk8B 当点 M 在 CO 上时， ， 10N() ， ， ， B87201CM() ，则 ， ，矛盾不成立BAN() ，则PP , ，NHNHH又 ，可证 为等腰三角形，MA ， ， ，1053k542CM当点 M 在 OA 上时， ，10B() ， ， ， BPN8510k3k601CM() 或 ，不成立P09BN7. （1）C（1，2）（2）过 C 作
36、CEx 轴于 E，则 CE2 当动点 N 运动 t 秒时，NBt点 Q 的横坐标为 3t设 Q 点的纵坐标为 yQ 由 PQCE 得 点 Q（ ）31yQ32tyQ2,t（3）若 QM QAQPOA MPAP 而 MP4（1t2t ）33t 即 1t 33tt 21若 AQAMAQ 2AP 2PQ 2 AQ= 、AM42t222)(9)3()( ttt)(3t 42t)1(31850 185而 若 MQ MAMQ 2 MP2PQ 2 即9498tt 2)(t 095942t解得 t 或 t1（舍去）0 2455当 t 时，QMA 为等腰三角形。综上所述：当 t 、t 或 t QMA 都为等腰三
37、角形。2131854958. 解：（1）当BEF 是等边三角形时，ABE=30 AB=12，AE= BF=BE= 48（2）作 EGBF ，垂足为点 G 根据题意，得 EG=AB=12，FG=y-x，EF =y 所求的函数解析式为 221)(xy )120(24xx（3）AEB= FBE=FEB，点 落在 EF 上 A ， = =A=90 AEFBE要使 成为等腰三角形，必须使 FB而 ， ，12 xy124x整理，得 解得 022经检验： 都原方程的根，但 不符合题意，舍去1x 1xAB CDE FGAB CDE FA当 AE= 时， 为等腰三角形 12BFA9. 解：(1)大O 与 CD
38、相切于点 C，DCO=90. BCD+OBC=90, CBAD， ABO+OCB=90,OC=OB ,OBC=OCB, BCD=ABO.小O 与 AB 相切于点 A，BAO=90.CBD=BAOAOBBDC（2）过点 O 作 OHBC，垂足为 H OAB=ABC=BHO=90，四边形 OABH 是矩形. BC 是大O 的弦，BC=2 BH =2OA=2， 在 Rt OAB 中，AB = AOBBDC ， ， 122xOAB ABCD ，函数解析式为 ，定义域为 12xy 2y1x当 EB=EC 时，ECB=EBC ，而ECB=OBC，EB EC当 CE=CB 时，OC =CE+OE=CB+OE
39、=2+1=3 当 BC=BE 时，BEC=ECB =OBC，则BCEOCB 则 设 OC = x,则 CE= , , (负值舍去).OC= .,OCBE1x217217综上所述，BCE 能成为等腰三角形，这时大圆半径为 3 或 210. （1）证明：PQEF，F =90QPH ，QHBC，PQH=90QPH F= PQH)在正方形 ABCD 中，B=90QHP= B =90，QPH FEB （2）解：QPHFEB 又QH =AB=BC=CF， FQHEP 12EBPHAQ=BH=BP+PH= 在 RtAEQ 中，y=EQ= ， 1x 2AQ2)(x函数解析式为 ，其定义域为 0x 222y （
40、3）解：PEQ 可能成为等腰三角形PH=1，HQ=AB=3，PQ= BE=2，BP=x，EP=,1042x 当 满足 = 且 0x 2 时，EP=EQ解得 x=1 x422x 当 满足 = 且 0x 2 时，EQ =PQ解得 x=210 当 满足 = 且 0x 2 时，EP=PQ解方程得 ， 不合题意，舍x42 6,2去综上所述，当 x=1 或 x=2 时，PEQ 能成为等腰三角形11. 解：（1）设直线 OA 的表达式 y=kx， A（6，8） ，8=6k解得 所求直线的表达式为 34xy34（2）设抛物线的表达为 y= ax2+bx， 抛物线经过点（6，8） 、 （3，5） ， 解得 所求
41、抛物线的表达式为 .39568ba.314,a xy142（3）设直线 BC 与 轴相交于点 H，BC / 轴，BC 轴xyx设 B（3m，4m） ，则 OH=3m，BH=4m ，OB=5m由于OBC 是等腰三角形，所以当 OC=OB 时，CH= BH=4 m，点 C（3m ，4m ）. （舍去） ， .C,192019102)940,3(当 BC=OB=5m 时，CH= BC BH=m，点 C（3m, m） （舍去） ， .C,4212)1,(当 BC=OC 时，过点 C 作 CEOB，垂足为 E，BE= ，OB25BC= ，CH= BHBC =mOBHE8254cosm874点 C（3m,
42、 m ） ， ， （舍去） ， .C .87192017219)57683,4(点 C 的坐标为 或 或 )40,31()3,()57683,249(12. （1）略（2）DAE=DCE，DCE=HCGHFC=HCFHCG=HGCFH =HC=HG（3）ECG 是钝角三角形只可能 EC=GC 设CEG= EGC= ，则BAE=BCE=2，ECD+ECB=90=30x= 313. 过点 D 作 DHCE 于 H（1） BCEPBA1,ABxP12xP12CEx DCHBCE2 21xCE21xDHCEy)10(x（2）当 CD=CE 时 12x0x当 DE=EC 时ABP EBC BPCAE12
43、2x当 DE=ED 时，CH=BE= 121x22x综上所述，当 x=0 或 1 或 时，DEC 为等腰三角形 14.（1）证明：在矩形 ABCD 中， ， ， O 是对角线 BD 的中点，/ABCDPOED， OBD又 ，BOPDOE， PE（2）解： ， ， BOPDOE， ，CQy33QyBPDEx 得 ， ， 即 ， ，4ABEx/BCPB43xy123()2x（3）解：当CQE 是等腰直角三角形时，得 ，即 ， EQ4xy ，得 ，解得 ， （舍去） 123()xy1234()x172当 时，CQE 是等腰直角三角形 715.（1）如图 1，过点 作 于点EGBC 为 的中点， 在
44、中，AB12A RtEBG60 ， 3 213， 即点 到 的距离为EBC（2）当点 在线段 上运动时， 的形状不发生改变NADPMN ，PMFGE， ， G EFBC ， PG3ME同理 4如图 2，过点 作 于 ，HA ， 6030CB ， 132P cos2PM 图 1A DEB F CG图 2A DEBFCPNMGH则 3542NHM在 中，RtP222537NHP 的周长= 74当点 在线段 上运动时， 的形状发生改变，但 恒为等边三角形NDCM MNC当 时，如图 3，作 于 ，则MRR类似， 2R 是等边三角形， 此时， 3N612xEPGB图 3A DEBFCPNM图 4A DEBFCPMN图 5A DEBF（P）CMNGGRG当 时，如图 4，这时 此时，PN 3P 6135xEP当 时，如图 5， 则 又0N 20N ， 0 ， 因此点 与 重合， 为直角三角形180C FC 此时，tan3A 614xEG综上所述，当 或 4 或 时， 为等腰三角形 2x3M17. 图 1 图 2 图 3（1）解：PQPB证明如下：过点 P 作 MNBC，分别交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，那么四边形 AMND 和四边形 BCNM 都是矩形，AMP 和CNP 都是等腰直角三角形（如图 1） NPNC
