1、大连理工大学网络教育学院第 1 页 共 10 页工程力学（一）辅导资料十主 题：第九章 截面几何性质及梁的应力及强度计算 第一-六节学习时间：2014 年 6 月 2 日6 月 8 日内 容：本周我们将学习第九章截面几何性质及梁的应力及强度计算的第 1-6 节内容，希望通 过下面的学习能使同学们加深对截面几何性质的相关知识的理解。一、学习要求1、掌握静矩和形心的基本概念；2、掌握静矩和形心的求法；3、掌握惯性矩和惯性积的相关概念及求法；4、掌握惯性矩和惯性积的性质；5、掌握惯性矩和惯性积的平移轴公式和转轴公式；6、掌握主惯性轴和主惯性矩的基本概念；7、掌握梁纯弯曲时横截面上正应力的求法；8、了
2、解纯弯曲理论在横力弯曲中的推广。二、主要内容（一）静矩和形心1、基本概念（1）静矩：面积对轴的一次矩。（2）形心：面积的几何中心。2、公式（1）静矩： ， ，符号：正、负。AxydSAyxdS大连理工大学网络教育学院第 2 页 共 10 页图 1 （2）形心：由重心的公式得均质物体形心的公式， ， ，ASxdyCASdxCCyAySCx注意：截面对形心轴的静矩为零。（二）惯性矩和惯性积1、基本概念惯性矩：面积对轴的二次矩。2、公式（1）惯性矩： ，AxdyI2AydxI2（2）极惯性矩： P（3）惯性积： AxyI（4）惯性半径： ，IiyyIix图 2大连理工大学网络教育学院第 3 页 共
3、10 页3、性质（1）截面对互相垂直的两轴的惯性矩之和等于截面对该两轴交点的极惯性矩。 yxPII（2）对通过 O 点的任意两个互相垂直轴的惯性矩之和相等。即： ,yxyxII（3）惯性矩永远大于零，惯性积可正、 负、零。（4）当截面有一个对称轴时，截面对包含该轴的一对轴的惯性积为零。图 3（5）圆截面的惯性矩和惯性积：，6421dIIPyx0xyI图 4（三）惯性矩和惯性积的平移轴公式和转轴公式1、平移轴公式， ， ，注意 的符号。AaIxc2AbIyc2abAIxcy,大连理工大学网络教育学院第 4 页 共 10 页图 52、组合截面的惯性矩和惯性积， ，nixixI1niyiyI1nix
4、iyxI13、惯性矩和惯性积的转轴公式，cos2scosin2iicos1 xyyxyx IIII2in21 xyyxyxy IIII cossin1xyyxyx III图 6（四）主惯性轴和主惯性矩大连理工大学网络教育学院第 5 页 共 10 页1、主惯性轴：惯性积为零的一对轴。 2、主惯性矩：截面对主惯性轴的矩，主 惯性矩为极值。3、形心主轴：主惯性轴过形心。 4、形心主矩：截面对形心主轴的矩。（五）梁纯弯曲时横截面上的正应力1、基本概念纯弯曲：即梁的横截面上只有弯矩而无剪力，此时横截面上只有正应力而无切应力。2、纯弯下梁的变形特征图 73、平面假设 在纯弯曲下梁变形后，横截面仍保持平面，
5、并与梁轴正交，相 邻横截面只作相对转动。 各纵向纤维之间无挤压或拉伸作用，此假设称为单向受力假设。中性层：下部纵向纤维伸长，上部纵向纤维缩短，且沿梁高度连续变化。所以，从伸长区到缩短区，其间必有一层纵向纤维，它既不伸长，也不 缩短，这一层称为中性层。 大连理工大学网络教育学院第 6 页 共 10 页中性轴：中性层和横截面的交线。 图 8（1）几何方面图 9距中性层为 处的任一纵向“纤维” 正应变与 成正比。yy（2）物理方面各纵向“纤维 ”均处于单向受力状 态，在 线弹性材料范围内，由单向拉压虎克定律，得出横截面上距中性轴为 的各点处正应力。y大连理工大学网络教育学院第 7 页 共 10 页图
6、 10横截面上任一点处的正应力与 成正比 。中性轴上的正应力为零，最大正y应力 发生在距中性轴最远的上下边缘。max（3）静力学方面轴力为零， ，得 。Ad00AydE0Ayd表明横截面面积对 z 轴的静矩 为零，证明了均匀材料梁的中性 轴 z 必过横截面的形心 C。图 11内力对 y 轴之矩为零，0 yzAAy IEzdEzdzMyzI表明截面对 y、z 轴的惯性积为零， 说明 y、z 轴是一 对形心主轴。大连理工大学网络教育学院第 8 页 共 10 页图 12内力对 之矩 组成弯矩 Mz，令 ，则 。dAyEyA2AZIdy2ZEIM1横截面上距中性轴距离为 处一点的弯曲正应力公式： 。y
7、 zIy其中， 为横截面对 轴的 惯性矩； 称为截面抗弯刚度。ZIzZEI弯截面模量： ；maxyIWzz最大正应力公式： 。zzMIa表中列出了简单截面的 和 计算公式。表中 ， 为薄壁圆平均Z Dda/OR半径。表 14、公式分析 大连理工大学网络教育学院第 9 页 共 10 页纯弯曲正应力公式： zIMy式中 是计算之点到中性轴的垂直距离； 沿高度线性分布， 的方向根据的转 向而定（如截面的弯矩 为正，则中性轴以上受 压，以下受拉。相反，如截面的弯矩为负，则中性轴以上受拉，以下受压）。 纯弯曲最大正应力发生在距中性轴最远处的上下边缘，中性轴上正应力为零。（六）纯弯曲理论在横力弯曲中的推广
8、对于细而长的梁（跨高比 ），计算表明：可以将纯弯曲理论推广到横5/hl力弯曲中。此结论将极大地 扩展了该公式的使用范围，并确定了它们在工程中的实用价值。横力弯曲中的正应力公式为： ，此 时弯矩 为变量。zIyxM)(三、重要考点（一）选择题1、矩形截面梁发生横力弯曲时，在横截面的中性 轴处（ ）。A正应 力最大，剪 应力为零 B正应力和剪应力均为零C正应力和剪应力均最大 D正应力为零，剪应力最大答案：D2、关于内力与应力的关系中，下列选项正确的是（ ）。A内力是 应 力的矢量和 B应力是内力的平均值C内力是应力的代数和 D应力是内力的分布集度答案：D大连理工大学网络教育学院第 10 页 共 10 页（二）判断题1.截面形状尺寸改变得越急剧，应力集中程度就越严重。 （ ）答案：正确2.弯曲应力有正应力和剪应力之分。一般正应力由弯矩引起，剪应力由剪力引起。（ ）答案：正确（三）计算题1、下图所示工字型梁，已知梁长 L=10m，载荷 P=50kN，作用在梁的中间位置上，已知 IZ=65586cm4，求梁的最大正 应力以及最大正应 力所在截面上的 a 点正应力。解： zzZIPLIyMW4280maxmaxax Pa365.10840433MPaIyMzaa 36.4962143mx
