1、7.1.证明： izyx证：由对易关系 及zxyxi2反对易关系 ， 得0zyxi上式两边乘 ，得z 2zzyxi12z z7.2 求在自旋态 中， 和 的测不准关系：)(21zSxy?2yx解：在 表象中 、 、 的矩阵表示分别为z)(21zxy0)(21zS01x 02iSy 在 态中21z012)0 1(21 xxS41) ( 2221 xx4)(2xxS012)0 1(21 iSyy4) ( 2221 iiyy4)(2yyS16)(42yxS讨论：由 、 的对易关系xy ， zi要求 4)(22zyxSS 16)(42yxS在 态中，)(21zz 16)(42yxS可见式符合上式的要求
2、。7.3.求 的本征值和所属的本征函数。02012 iSSyx及解： 的久期方程为x02 20)2( 的本征值为 。xS设对应于本征值 2的本征函数为 12/ba由本征方程 ，得2/1/1xS1102ba11 a由归一化条件 ，得2/1),(*1a即 21 21 1ba对应于本征值 的本征函数为 12/1设对应于本征值 的本征函数为 22/1ba由本征方程 2/12/1Sx222 abab由归一化条件，得1),(2*2a即 12a 21 b对应于本征值 的本征函数为 12/1同理可求得 的本征值为 。其相应的本征函数分别为ySi121i1217.4 求自旋角动量 方向的投影)cos,(cszy
3、xn SS本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量 z有哪些可能值？这些可能值各以多大的几率出现？ zS的平均值是多少？解：在 表象， 的矩阵元为zSn cos102cos02cos012 in ssiSn其相应的久期方程为 0cos2)cos(2)(ii即 )(42202 )1coscos(222利 用所以 的本征值为 。nS2设对应于 的本征函数的矩阵表示为 ，则n baSn)(21iicoscso2 ba)(cos1ib由归一化条件，得 2*),(21 babcos12aia2)cos1(2)(21iSn)cos1(2)(21iSn 2121)cos(cos0cs0)(21 iiSn
4、2121)cos(cos00)(21 iiSn可见， 的可能值为 zS 相应的几率为 2cos12cos1)cos1(22ss2zS同理可求得 对应于 的本征函数为2nS)cos1(2)(21 iSn在此态中， 的可能值为 z 2 相应的几率为 2cos12cos1cos2zS7.5 设氢的状态是 ),(23)110YrR求轨道角动量 z 分量 和自旋角动量 z 分量 zS的平均值；zL求总磁矩 eM2的 z 分量的平均值（用玻尔磁矩子表示） 。解： 可改写成 10),(2301),(21101 YrRYrRzz SS(),()(,)( 211022112 从 的表达式中可看出 的可能值为 0
5、zL相应的几率为 4134zLzS的可能值为 2相应的几率 为 iC413422 ziizS)(eeLMzzzBMe4127.6 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？解：体系可能的状态有 4 个。设两个单粒子态为 ， ，则体系可能的状态为ij)()(321qiii2jjj )()( )(3132 231qqqjii jiijii)()( )(132 2314 ijj ijjijj7.7 证明 和 组成的正交归一系。)()1(,SSA解： )()()( 2/12/12/12/1)( zzzz
6、 S/ zzzzS1)()(2/12/zzS)()()()( 2/12/12/12/)2(1 zzzzS S /1 zzzzS=0 )()()()(22/12/12/1/1/)3(1 zzzzS SS )()()()( 2/12/12/12/1 / zzzz 0/zzS同理可证其它的正交归一关系。 )()()()(21 2/12/12/1/ /)3( zzzzS SS /2/1 zzzz )()()()( 12/2/12/1/ zzzz 2/2/1 zzzz SS)()()()( 12/2/1/1/ zzzz 07.8 设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是 。如果电子之间的库仑能和21
7、)(rrU相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一电子处于沿 x 方向运动的第一激发态时，两电子组成)(rU体系的波函数。解：电子波函数的空间部分满足定态S-方程 )()()(2rEr )()(21)(22 rEzyx )()()(22 rr考虑到 ，令zyxr)()(ZYX EXYZzyxXzyx )(212 222EzxZYX)21( )(2 22xExX)212(yY)1(2zExZ)(22zyE)()(21xHeNxXnxnn2yyYmym)()(21zezZz)(21 zHyxNrmnrmnnm )()(2er)23Enm其中 ， !2/1nNn对于基态 ，01H2/30)(rer对于沿 方向的第一激发态 ， 01mn， xH 2)1（2/30)(rer214/32510)(rx两电子的空间波函数能够组成一个对称波函数和一个反对称波函数，其形式为 )()(2),( 2012101 rrrS )(21)(21/34 22rrexex)(212/342)(r )()(),( 12021021 rrrA )(212/3421)(rex而两电子的自旋波函数可组成三个对称态和一个反对称态，即和)3(S)2()1(S、A综合两方面，两电子组成体系的波函数应是反对称波函数，即独态： ASr),(211三重态： )3(2143)1(2,SASr
