1、初中几何的辅助线问题摘 要：平面几何是初中教学的一门重要课程，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但对不少初中学生来说，平面几何也是一门难度较大的学科。 解数学题的一个基本思路是将复杂的问题转化为较为熟悉的或已经掌握的问题，不少平面几何问题都需要进行这种转化，添加适当的辅助线就是实现这种转化的一种重要手段。要系统地掌握添加辅助线的方法并非易事。 有关辅助线问题，是平面几何教学的难点，不少初中生感到平面几何比较难学，特别是遇到需要添加辅助线的习题，有时会感到无从下手。在初中几何题中，经常会用到辅助线，尽管教师把辅助线的一般规律讲的淋漓尽致，学生做的
2、时候还会卡住。那么，究竟怎样进行辅助线的教学？认识规律，掌握方法很重要，为此，对初中几何中添加辅助线的思路从以下几个方面进行了总结，希望帮助学生有效地学习。1 在探索中添加辅助线笔者认为，挖掘教学因素，开发智力应成为添加辅助线教学中的重点。添加辅助线问题，要深挖教材的内在智力因素，讲清辅助线的意义和根据，不断总结经验，找出规律。以过直径 AB 的两个端点直线的变动为例来看添加辅助线的规律。(直径所对的圆周角是直角），将这两条直线动起来，将有一系列题目产生：如果 AP、BP 的交点 P 在圆周上，过 O 作 AB 的垂线交圆 O 于 D，交 AB 的延长线于 E，则有下面的题目：AB 为圆 O
3、的直径， ODAB ，BP 交圆 O 于 P，交 DO 于F，AP 的延长线与 DO 交于 E，求证：EOFO =(R 为圆的半径) 。连结 OP， BPOPBO= E，而POF= EOP，PFOEPO，即得 EOFO =OP2=R2。如果 AP 和 BP 交于圆外一点，BP 交圆 O 于 D，PA=PB，且过 D 点的切线 CDAP，则有题目：AB 为圆 O 的直径， AP 和 BP 交于圆外一点，BP 交圆 O于 D，PA=PB，且过 D 点的切线 CDAP，求A 的度数。连结 AD，则ADC=2, ADC= 3, 2 =3,得PA=AB，而 PA=PB，则PAB 是等边三角形，故A=60
4、 PAB 中，A=90，以 AB 为直径的圆交 BP 于 Q，切线QD 交 AP 于 D，求证： PD=DA。连结 AQ，则 1+2 =3+ 4但1=2 ，则3 =4所以 DQ=DA=DP。反过来，若 PD=DA，QD 是否和圆相切呢？结论仍然正确。于是又有题目：PAB 中，A=90，以 AB 为直径的圆交 BP 于Q，PD=DA，求证：QD 是圆的切线。（证明略）。以上用运动的观点考察了 PA、PB 交于圆上和圆外的情况和添加辅助线的规律，不仅可以培养学生创造性的思维能力，还能从中获得添加辅助线的规律。对发展学生的智力是大有益处的，这正是辅助线教学的重点。 2 用平移、旋转、对称法添加辅助线
5、平移、旋转、对称是平面几何中的三大变换，在解几何证明题时利用平移、旋转、对称添加辅助线是基本思路和常用的方法。引导学生在分析图形特点的同时，掌握适当的添加辅助线的方法，对于提高学生的解（证）题能力是十分重要的。 2.1 利用平移添加辅助线涉及梯形一类问题，往往将梯形的腰或对角线平移，构成平行四边形和三角形。例 1.梯形 ABCD 中，DCAB ，A 和B 互余，M 、N 分别是 DC、AB 的中点，求证：MN=(AB-CD)。分析：将 DA 平移至 ME，CB 平移至 MF，则构成了AEMDBFMC 和EMF,易证 EMF 是直角三角形，且 MN 是斜边 EF 上的中线，则有 MN=EF，而
6、EF=AB-CD，当然，还可以通过添加其他辅助线完成，但这样添加比较快捷。例 2.梯形 ABCD 中，AD EFBC ，AD=12，BC=18，AE EB=23，求 EF 的长。分析：过点 D 作 DGAB ，分别交 EF 于 H，交 BC 于 G，只要分别求出 EH、HF 的长即可。解：过点 D 作 DGAB，分别交 EF 于 H, 交 BC 于 GADEFBC， AD=12，BC=18，AD=EH=BG=12 GC=BC-BG=18-12=6AEEB= DHHG=23 DH DG=25DH DG= FHCG FH6=25FH=2.4 EF=12+2.4=14.42.2 利用旋转添加辅助线2
7、.2.1 涉及梯形腰上中点问题例 3.已知梯形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点，ED 平分ADC，且 AD+BC=CD，求证：ECDE，EC 平分BCD。分析：将 AED 绕点 E 旋转，使 A 和 B 重合，点 D 落在 CB的延长线上， 则AED 和BEF 全等， 可得 DE=FE；由题条件易知2= F， 则 CD=CF,根据等腰三角形三线合一性质可得结论。2.2.2 涉及正方形有关问题往将某一三角形绕顶点旋转一定的角度，随着图形的变换，问题就可解决。例 4 正方形 ABCD 中，M、N 在边 BC、CD 上，MAN=45；求证：MN=MB+ND。分析：将 AND 绕点 A
8、顺时针旋转 90 则和 ABE 重合， 可得EAN=90 ，AE=AN，BE=DN，由MAN=45，得EAM=MAN=45，那么 AEM ANM，MN=ME=MB+BE=MB+DN。2.3 利用对称添加辅助线在三角形有关线段和、差问题，往往借助角平分线把一个三角形沿角平分线翻折，构造三角形全等，进行等量代换。例 5.已知，等腰直角三角形 ACB 中，C=90，AD 平分CAD，求证：AB=AC+CD。2 分析：延长 CD 到 E，使 CE=CA=CB，则可证明 CAMCEM；CBNCEN ，可得：ME=MA， NE=NB，1=A，2= B ；所以 MEN=90，利用勾股定理：MN2=ME2+N
9、E2=MA2=NB2。上述两例在添加辅助线问题中也称截长补短。3 其他添加辅助线问题3.1 在比例线段问题计算和证明中，常作平行线作平行线时往往是保留结论中的一个比，然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来。例 7. ABC 中，D 是 AC 上一点，F 是 CB 延长线上一点，且AD=BF，DF 交 AB 于 E，求证：EFED= ACBC。分析：证明本题的基本思想是添加平行线，作平行线时可保留EFED 这个比。证法 1：过点 D 作 DMCF，交 AB 于 M。则 EFED= BFDMADDM= ACBC AD=BFEF ED= ACBC证法 2：过点 F 作 FGAC，交 AB 延长
10、线于 G，则 FGAD= FEDEACBC= FGFB AD=BFEF ED= ACBC。3.2 见中点引中位线，利用中位线的性质 例 8. ABC 中，D 是 BC 边的中点，E 是 AD 边的中点，连结BE 并延长交 AC 于点 F，求证 FC=2AF。证法 1：分析：由已知 D 是 BC 边的中点，E 是 AD 边的中点，容易想到用中位线来解决问题。如图 12，过点 D 作 DGAC 交 BF于 G，则 G 为 BF 的中点，DG 是BFC 的中位线，可得FC=2DG；由 E 是 AD 边的中点，DGAC，易证 DG=AF，所以FC=2DG。证法 2：过点 D 作 DGBF 交 AC 于
11、 G，由 D 是 BC 中点，则FG=GC；由 E 是 AD 中点，DGBF，则 AF=FG，所以AF=FG=GC，即可得 FC=2DG。 例 9.试说明顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形是平行四边形。 已知 ：在四边形 ABCD 中，E 、F、G 、H 分别是AB、 BC、CD、DA 的中点，试说明四边形 EFGH 是平行四边形。用梯形中位线性质可知 EFAB ，再由等腰三角形 “三线合一”性质即可求解。本题也可延长 AF、BC 相交，利用直角三角形斜边上中线的性质求解。另外，通过对本题的求解，可得相应的两个命题：一是直角梯形斜腰上的中点到另一腰的两个端点的距离相等，二是任意梯形一要中点
12、到另一腰两个端点组成的三角形面积等于梯形面积的一半。这两个命题在具体解题中可以帮助我们审题。值得大家注意的是，三角形的中位线和梯形的中位线的性质为说明几何问题中的平行关系，线段的倍半关系等提供了新的依据，创造了新的求解途径。所以在处理有关几何问题时，可以联想中位线的性质，通过作辅助线构造中位线，为求解提供方便。3.3 两圆相交、相切问题3.3.1 相交两圆常通过连结公共弦来辅助解题例 11.已知圆 O1 和圆 O2 相交于 A、 B 两点，过 A 的分析：要证明 CE=CA，常规考虑证3=E ，3=2，通过连结公共弦 AB，利用弦切角性质2=1，则3= E，得证。3.3.2 相切两圆常通过切点
13、作公切线来辅助解题例 13、已知圆和圆外切于点 P，过 P 的直线分别交圆和圆于A、 C、B 、 D，求证：ACBD 。分析：要证明 ACBD，观察图形即要证C=D，通过点 P当然，这几个例题只是两圆问题中的几个典型，还有许多其它题目，不一定都使用上述添加辅助线的方法，遇到实际问题还要结合题目条件分析，该添则添，切不可生搬硬套。上面对几何问题中添加辅助线问题作了简单的分析，使学生在探究、合作交流的学习中对数学产生兴趣，培养自信心。几何添加辅助线只是解决诸多数学问题问题的一个方面，通过解决这一类问题，目的在于使学生掌握考虑数学题的基本思想方法，从而有效处理其它的问题。夸美纽斯认为，“应该用一切可能的方式把孩子们的求知与求学的欲望激发起来”，“我们用不着劝说一只鸟儿去飞，樊笼打开之后它立刻就会飞的”。课堂应借助开放、互助的教学形式与方法、手段，激发学生探究数学的浓厚兴趣，使学生在轻松愉快的气氛中掌握知识，从而主动探究。参考文献： 1 数学与研究黄全福用平移、旋转、对称添加辅助线（1986.3，第 22 页）张 辉 平几中的辅助线问题 ；（1986年 7 第 24 页）2 初中数学论文集，培养学生思维的灵活性；数学“探究式学习”的初步探索；3王长明怎样添加几何辅助线.
