1、初 中 数 学 辅 助 线 的 添 加 浅 谈人 们 从 来 就 是 用 自 己 的 聪 明 才 智 创 造 条 件 解 决 问 题 的 ， 当 问 题 的 条 件 不够 时 ， 添 加 辅 助 线 构 成 新 图 形 ， 形 成 新 关 系 ， 使 分 散 的 条 件 集 中 ， 建 立 已 知与 未 知 的 桥 梁 ， 把 问 题 转 化 为 自 己 能 解 决 的 问 题 ， 这 是 解 决 问 题 常 用 的 策 略 。一 添辅助线有二种情况： 1 按定义添辅助线： 如 证 明 二 直 线 垂 直 可 延 长 使 它 们 ,相 交 后 证 交 角 为 90； 证 线 段 倍 半 关系
2、可 倍 线 段 取 中 点 或 半 线 段 加 倍 ； 证 角 的 倍 半 关 系 也 可 类 似 添 辅 助 线 。2 按基本图形添辅助线： 每 个 几 何 定 理 都 有 与 它 相 对 应 的 几 何 图 形 ， 我 们 把 它 叫 做 基 本 图 形 ，添 辅 助 线 往 往 是 具 有 基 本 图 形 的 性 质 而 基 本 图 形 不 完 整 时 补 完 整 基 本 图 形 ，因 此 “添 线 ”应 该 叫 做 “补 图 ”！ 这 样 可 防 止 乱 添 线 ， 添 辅 助 线 也 有 规 律 可循 。 举 例 如 下 ： （1）平行线是个基本图形： 当 几 何 中 出 现 平 行
3、 线 时 添 辅 助 线 的 关 键 是 添 与 二 条 平 行 线 都 相 交 的 等 第三 条 直 线 （2）等腰三角形是个简单的基本图形： 当 几 何 问 题 中 出 现 一 点 发 出 的 二 条 相 等 线 段 时 往 往 要 补 完 整 等 腰 三 角 形 。出 现 角 平 分 线 与 平 行 线 组 合 时 可 延 长 平 行 线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 。 （3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形： 出 现 等 腰 三 角 形 底 边 上 的 中 点 添 底 边 上 的 中 线 ； 出 现 角 平 分 线 与 垂 线 组合 时 可 延 长 垂
4、线 与 角 的 二 边 相 交 得 等 腰 三 角 形 中 的 重 要 线 段 的基本图形。 （4）直角三角形斜边上中线基本图形 出 现 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 点 往 往 添 斜 边 上 的 中 线 。 出 现 线 段 倍 半 关 系且 倍 线 段 是 直 角 三 角 形 的 斜 边 则 要 添 直 角 三 角 形 斜 边 上 的 中 线 得 直 角 三 角 形斜 边 上 中 线 基 本 图 形 。 （5）三角形中位线基本图形 几 何 问 题 中 出 现 多 个 中 点 时 往 往 添 加 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 进 行 证 明 当有 中 点 没 有 中 位
5、线 时 则 添 中 位 线 ， 当 有 中 位 线 三 角 形 不 完 整 时 则 需 补 完 整 三角 形 ； 当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且 与 倍 线 段 有 公 共 端 点 的 线 段 带 一 个 中 点 则 可 过这 中 点 添 倍 线 段 的 平 行 线 得 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 ； 当 出 现 线 段 倍 半 关 系 且与 半 线 段 的 端 点 是 某 线 段 的 中 点 ， 则 可 过 带 中 点 线 段 的 端 点 添 半 线 段 的 平 行线 得 三 角 形 中 位 线 基 本 图 形 。 （6）全等三角形： 全 等 三 角 形 有 轴 对 称
6、形 ， 中 心 对 称 形 ， 旋 转 形 与 平 移 形 等 ； 如 果 出 现 两条 相 等 线 段 或 两 个 档 相 等 角 关 于 某 一 直 线 成 轴 对 称 就 可 以 添 加 轴 对 称 形 全 等三 角 形 ： 或 添 对 称 轴 ， 或 将 三 角 形 沿 对 称 轴 翻 转 。 当 几 何 问 题 中 出 现 一 组 或两 组 相 等 线 段 位 于 一 组 对 顶 角 两 边 且 成 一 直 线 时 可 添 加 中 心 对 称 形 全 等 三 角形 加 以 证 明 ， 添 加 方 法 是 将 四 个 端 点 两 两 连 结 或 过 二 端 点 添 平 行 线 （7）相
7、似三角形： 相 似 三 角 形 有 平 行 线 型 （ 带 平 行 线 的 相 似 三 角 形 ） ， 相 交 线 型 ， 旋 转 型 ；当 出 现 相 比 线 段 重 叠 在 一 直 线 上 时 （ 中 点 可 看 成 比 为 1） 可 添 加 平 行 线 得平 行 线 型 相 似 三 角 形 。 若 平 行 线 过 端 点 添 则 可 以 分 点 或 另 一 端 点 的 线 段 为 平行 方 向 ， 这 类 题 目 中 往 往 有 多 种 浅 线 方 法 。 （8）特殊角直角三角形 当 出 现 30， 45， 60， 135， 150 度 特 殊 角 时 可 添 加 特 殊 角 直 角 三
8、 角 形 ，利 用 45 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为 1： 1： 2； 30 度 角 直 角 三 角 形 三 边 比 为1： 2： 3 进 行 证 明 （9）半圆上的圆周角 出 现 直 径 与 半 圆 上 的 点 ， 添 90 度 的 圆 周 角 ； 出 现 90 度 的 圆 周 角 则 添它 所 对 弦 -直 径 ； 平 面 几 何 中 总 共 只 有 二 十 多 个 基 本 图 形 就 像 房 子 不 外 有 一砧 ， 瓦 ， 水 泥 ， 石 灰 ， 木 等 组 成 一 样 。二基本图形的辅助线的画法1.三角形问题添加辅助线方法 方法 1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍。含
9、有中点的题目，常常利用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了问题。 方法 2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。 方法 3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于平分线段的一些定理。 方法 4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。 2.平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都
10、具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：（1）连对角线或平移对角线：（2）过顶点作对边的垂线构造直角三角形（3）连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线（4）连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。（5）过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.3.梯形中常用辅助线的添法梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四
11、边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：（1）在梯形内部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形内平移两腰（4）延长两腰（5）过梯形上底的两端点向下底作高（6）平移对角线（7）连接梯形一顶点及一腰的中点。（8）过一腰的中点作另一腰的平行线。（9）作中位线当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决，这是解决问题的关键。4.圆中常用辅助线的添法在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地
12、得到解决，因此，灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。（1）见弦作弦心距有关弦的问题，常作其弦心距（有时还须作出相应的半径），通过垂径平分定理，来沟通题设与结论间的联系。（2）见直径作圆周角在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角“ 这一特征来证明问题。（3）见切线作半径命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用“切线与半径垂直“ 这一性质来证明问题。（4）两圆相切作公切线对两圆相切的问题，一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。（5）两圆相交作公共弦对
13、两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转 180 度，得到全等形， ，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两
14、角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。 ”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切
15、、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，内切） ，或相离（内含、外离） ，那么，辅助线往往是连心线或内外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，
16、亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积， （在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积） ，往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边” 。三角形中作辅助线的常用方法举例一、在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，若直接证不出来，可连接两点或延
17、长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例 1：已知如图 1-1：D、E 为ABC 内两点,求证:ABACBDDECE.证明：（法一）将 DE 两边延长分别交 AB、AC 于 M、N，在AMN 中，AMAN MDDENE;（1）在BDM 中，MBMDBD； （2）在CEN 中，CNNECE； （3）由（1）（2）（3）得：AMANMBMDCNNEMDDENEBDCEABACBDDEEC （法二：）如图 1-2， 延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G，在ABF 和GFC 和GDE 中有： ABAF BDDGGF （三角形
18、两边之和大于第三边） （1）GFFCGECE（同上）（2）DGGEDE（同上）（3）由（1）（2）（3）得：ABAFGFFCDGGEBDDGGFGECEDEABACBDDEEC。二、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：ABCDENM1图 ABCDEFG21图例如：如图 2-1：已知 D 为ABC 内的任一点，求证：BDCBAC。分析 ：因为BDC 与BAC 不在同一个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使BDC 处于在外角的位
19、置，BAC 处于在内角的位置；证法一：延长 BD 交 AC 于点 E，这时BDC 是EDC 的外角，BDCDEC，同理DECBAC，BDCBAC证法二：连接 AD，并延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角BDFBAD，同理，CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。三、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图 3-1：已知 AD 为ABC 的中线，且12,34,求证：BECFEF。分析：要证 BECFEF ，可利用
20、三角形三边关系定理证明，须把 BE，CF，EF 移到同一个三角形中，而由已知1 2，34 ，可在角的两边截取相等的线段，利用三角形全等对应边相等，把EN，FN，EF 移到同一个三角形中。证明：在 DA 上截取 DNDB，连接 NE，NF，则 DNDC，在DBE 和DNE 中：ABCDEFG12图ABCDEFN13图 24 )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法EDBNDBEDNE （SAS）BENE（全等三角形对应边相等）同理可得：CFNF在EFN 中 ENFNEF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF。注意：当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，然后
21、用全等三角形的性质得到对应元素相等。四、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例如：如图 4-1：AD 为ABC 的中线，且12，34，求证：BECFEF证明：延长 ED 至 M，使 DM=DE，连接 CM，MF。在BDE 和CDM 中， )(1辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等中 点 的 定 义DECBBDECDM （SAS）又12，34 （已知） 1234180（平角的定义）32=90，即：EDF90FDMEDF 90在EDF 和MDF 中 )(公 共 边 已 证辅 助 线 的 作 法DFMEEDFMDF （SAS）14图 ABCDEFM1234EFMF （全
22、等三角形对应边相等）在CMF 中，CFCMMF（三角形两边之和大于第三边）BECFEF注：上题也可加倍 FD，证法同上。注意：当涉及到有以线段中点为端点的线段时，可通过延长加倍此线段，构造全等三角形，使题中分散的条件集中。五、有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例如：如图 5-1：AD 为 ABC 的中线，求证：ABAC2AD。分析：要证 ABAC2AD，由图想到： AB BDAD,ACCDAD，所以有ABAC BDCD ADAD2AD，左边比要证结论多BDCD，故不能直接证出此题，而由 2AD 想到要构造2AD，即加倍中线，把所要证的线段转移到同一个三角形中去。 证明：延长 AD
23、 至 E，使 DE=AD，连接 BE，则AE2ADAD 为ABC 的中线 （已知）BDCD （中线定义）在ACD 和EBD 中)()辅 助 线 的 作 法对 顶 角 相 等已 证EDABCACDEBD （SAS）BECA（全等三角形对应边相等）在ABE 中有：ABBEAE（三角形两边之和大于第三边）ABAC2AD。ABCDE15图（常延长中线加倍，构造全等三角形）练习：已知ABC，AD 是 BC 边上的中线，分别以 AB 边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 5-2， 求证EF2AD 。六、截长补短法作辅助线。例如：已知如图 6-1：在ABC 中，ABAC，12，P 为 AD 上任
24、一点。求证：ABACPBPC。分析：要证：ABACPBPC ，想到利用三角形三边关系定理证之，因为欲证的是线段之差，故用两边之差小于第三边，从而想到构造第三边 ABAC，故可在 AB 上截取 AN 等于 AC，得 ABACBN， 再连接 PN，则 PCPN ，又在PNB 中，PB PNBN，即：ABACPBPC 。证明：（截长法）在 AB 上截取 ANAC 连接 PN , 在APN 和APC 中 )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法APCNAPNAPC （SAS）PCPN （全等三角形对应边相等）在BPN 中，有 PBPNBN （三角形两边之差小于第三边）BPPCABAC证明：（补短
25、法） 延长 AC 至 M，使 AMAB，连接 PM，ABCDEF25图 ABCDNMP16图 2在ABP 和AMP 中 )(21公 共 边已 知辅 助 线 的 作 法APMBABPAMP （SAS）PBPM （全等三角形对应边相等）又在PCM 中有：CMPMPC(三角形两边之差小于第三边)ABACPBPC。七、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1：已知 ACBD，ADAC 于 A ，BCBD 于 B， 求证：ADBC分析：欲证 ADBC，先证分别含有 AD，BC 的三角形全等，有几种方案：ADC 与BCD，AOD 与BOC，ABD 与BAC，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可
26、设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA，CB，它们的延长交于 E 点，ADAC BCBD （已知）CAEDBE 90 （垂直的定义）在DBE 与CAE 中 )(已 知 已 证公 共 角ACBDEDBECAE （AAS）EDEC EBEA （全等三角形对应边相等）EDEAECEB 即：ADBC。（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。 ）ABCDE17图O八 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例如：如图 8-1：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。分析：图为四边形，我们只学了三角形的有关知识，必须把它转化为三角形来解决
27、。证明：连接 AC（或 BD）ABCD ADBC （已知）12，34 （两直线平行，内错角相等）在ABC 与CDA 中 )(4321已 证公 共 边已 证CAABCCDA （ASA）ABCD（全等三角形对应边相等）九、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1：在 RtABC 中，ABAC，BAC90，12，CEBD 的延长于 E 。求证：BD2CE 分析：要证 BD2CE，想到要构造线段 2CE，同时CE 与ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。 证明：分别延长 BA，CE 交于点 F。BECF （已知）BEFBEC90 （垂直的定义）在BEF 与BEC 中， )(21
28、已 证公 共 边已 知BECFBEFBEC（ASA）CE=FE= CF （全等三角形对应边相等）21BAC=90 BECF （已知） BACCAF90 1BDA901BFC9019图 DCBAEF2ABCD18图 234BDABFC在ABD 与ACF 中)(已 知 已 证已 证ACBFDABDACF （AAS）BDCF （全等三角形对应边相等） BD2CE十、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图 10-1；AC、BD 相交于 O 点，且 ABDC，ACBD，求证：AD。分析：要证AD ，可证它们所在的三角形ABO 和DCO 全等，而只有 ABDC 和对顶角两个条件，差一个条件， ，难以
29、证其全等，只有另寻其它的三角形全等，由ABDC，ACBD，若连接 BC，则ABC 和DCB 全等，所以，证得A D。证明：连接 BC，在ABC 和DCB 中 )(公 共 边已 知已 知CBDAABCDCB (SSS)AD (全等三角形对应边相等)十一、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1：ABDC，AD 求证：ABCDCB。分析：由 ABDC，AD，想到如取 AD 的中点 N，连接 NB，NC，再由 SAS 公理有ABNDCN，故 BNCN，ABNDCN。下面只需证NBCNCB，再取 BC 的中点 M，连接 MN，则由 SSS 公理有NBMNCM，所以NBCNCB。问题得证。证明：取
30、 AD，BC 的中点 N、M，连接 NB，NM，NC。则 AN=DN，BM=CM，在ABN 和DCN中 )()已 知已 知辅 助 线 的 作 法DCAB DCBA10图 O1图 DCBAMNABNDCN （SAS）ABNDCN NBNC （全等三角形对应边、角相等）在NBM 与NCM 中 )(公 共 边 辅 助 线 的 作 法 已 证 NMCBNMBNCM，(SSS) NBCNCB （全等三角形对应角相等）NBCABN NCBDCN 即ABCDCB。巧求三角形中线段的比值例 1. 如图 1，在ABC 中，BD：DC1：3，AE：ED2：3，求 AF：FC。解：过点 D 作 DG/AC，交 BF
31、 于点 G 所以 DG：FCBD：BC因为 BD：DC1：3 所以 BD：BC1：4 即 DG：FC1：4，FC4DG因为 DG：AFDE：AE 又因为 AE：ED2：3 所以 DG：AF3：2即 所以AF：FC ：4DG1：6例 2. 如图 2，BCCD，AFFC，求 EF：FD解：过点 C 作 CG/DE 交 AB 于点 G，则有 EF：GCAF：AC因为 AFFC 所以 AF：AC1：2 即 EF：GC1：2， 因为 CG：DEBC：BD 又因为 BCCD所以 BC：BD1：2 CG：DE1：2 即DE2GC因为 FDEDEF 所以 EF：FD小结：以上两例中，辅助线都作在了“已知”条件
32、中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。请再看两例，让我们感受其中的奥妙！例 3. 如图 3，BD：DC1：3，AE：EB2：3，求 AF：FD。解：过点 B 作 BG/AD，交 CE 延长线于点 G。 所以 DF：BGCD：CB因为 BD：DC1：3 所以 CD：CB3：4 即 DF：BG3：4， 因为 AF：BGAE：EB 又因为 AE：EB2：3所以 AF：BG2：3 即所以 AF：DF例 4. 如图 4，BD：DC1：3，AFFD，求 EF：FC。解：过点 D 作 DG/CE，交 AB 于点 G所以 EF：DGAF：AD因为 AFFD 所以 AF：AD1：2
33、 图 4即 EF：DG1：2 因为 DG：CEBD：BC，又因为 BD：CD1：3， 所以 BD：BC1：4即 DG：CE1：4，CE4DG因为 FCCEEF所以 EF：FC 1：7练习：1. 如图 5，BDDC，AE：ED1：5，求 AF：FB。2. 如图 6，AD：DB1：3，AE：EC3：1，求 BF：FC。答案：1、1：10； 2. 9：1初中几何辅助线一 初中几何常见辅助线口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂
34、线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为和 。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆形半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
35、是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。注意点辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。二 由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向
36、两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一） 、截取构全等几何的证明在于猜想与尝试，但这种尝试与猜想是在一定的规律基本之上的，希望同学们能掌握相关的几何规律，在解决几何问题中大胆地
37、去猜想，按一定的规律去尝试。下面就几何中常见的定理所涉及到的辅助线作以介绍。如图 1-1，AOC=BOC，如取 OE=OF，并连接 DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例 1 如图 1-2，AB/CD，BE 平分BCD，CE 平分BCD，点 E 在 AD 上，求证：BC=AB+CD。图 1-1OABDEFC 图 1-2ADB CEF分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之
38、等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。简证：在此题中可在长线段 BC 上截取 BF=AB，再证明 CF=CD，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长 BE 与 CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。例 2 已知：如图 1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证 DCAC分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。例 3 已知：如图 1-4，在ABC 中，C=
39、2B,AD 平分BAC，求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？练习1 已知在ABC 中，AD 平分BAC，B=2C，求证：AB+BD=AC2 已知：在ABC 中，CAB=2B，AE 平分CAB 交 BC 于 E，AB=2AC，求证：AE=2CE图 1-3ABCDE图 1-4AB CDE3 已知：在ABC 中，ABAC,AD 为BAC 的平分线，M 为 AD 上任一点。求证：BM-CMAB-AC4 已知：D 是ABC 的BAC
40、的外角的平分线 AD 上的任一点，连接 DB、DC。求证：BD+CDAB+AC。（二） 、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例 1 如图 2-1，已知 ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180 分析：可由 C 向BAD 的两边作垂线。近而证ADC与B 之和为平角。例 2 如图 2-2，在ABC 中，A=90 ，AB=AC，ABD=CBD。求证：BC=AB+AD分析：过 D 作 DEBC 于 E，则 AD=DE=CE，则构造出全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截
41、取的方法。例 3 已知如图 2-3，ABC 的角平分线 BM、CN 相交于点 P。求证：BAC的平分线也经过点 P。分析：连接 AP，证 AP 平分BAC 即可，也就是证 P 到 AB、AC 的距离相等。练习：1如图 2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 图 2-1ABCDEF 图 2-2AB CDE图 2-3PAB CMND F图 2-4BO APDC如果 PC=4，则 PD=（ ）A 4 B 3 C 2 D 12已知在ABC 中，C=90 ，AD 平分CAB，CD=1.5,DB=2.5.求 AC。3已知：如图 2-5, BAC=CAD,ABAD，CEAB，AE= （AB+A
42、D）.求证：D+B=180 。214.已知：如图 2-6,在正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 为 BC 上的点，FAE=DAE。求证：AF=AD+CF。5 已知：如图 2-7，在 RtABC 中，ACB=90 ,CDAB，垂足为 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FH/AB 交 BC 于 H。求证 CF=BH。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。 （如果题目中有垂直于角平分线的线段，
43、则延长该线段与角的另一边相交） 。例 1 已知：如图 3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD 于 D，H 是 BC 中点。求证：DH= （AB-AC）2分析：延长 CD 交 AB 于点 E，则可得全等三角形。问题可证。图 2-5ABDCE 图 2-6EAB CDF图 2-7FDCBAEH图 图 3-1ABCDHE图 3-2DABEFC例 2 已知：如图 3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD 为ABC 的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。例 3已知：如图 3-3 在ABC 中，AD
44、、AE 分别BAC 的内、外角平分线，过顶点 B 作 BFAD，交 AD 的延长线于 F，连结 FC 并延长交 AE 于 M。求证：AM=ME。分析：由 AD、AE 是BAC 内外角平分线，可得 EAAF，从而有 BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。例 4 已知：如图 3-4，在ABC 中，AD 平分BAC，AD=AB，CMAD 交 AD延长线于 M。求证：AM= （AB+AC）21分析：题设中给出了角平分线 AD，自然想到以 AD 为轴作对称变换，作ABD 关于 AD 的对称AED，然后只需证 DM= EC，另21外由求证的结果 AM= （AB+AC） ，即 2AM=AB+AC，也21可
45、尝试作ACM 关于 CM 的对称FCM，然后只需证 DF=CF 即可。练习：1 已知：在ABC 中，AB=5，AC=3，D 是 BC 中点，AE 是BAC 的平分线，且 CEAE 于 E，连接 DE，求 DE。2 已知 BE、BF 分别是ABC 的ABC 的内角与外角的平分线，AFBF于 F，AEBE 于 E，连接 EF 分别交 AB、AC 于 M、N，求证 MN= BC21图 3-3DB EFNACM图 3-4nEBAD CMF（四） 、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线，从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反
46、向延长线相交，从而也构造等腰三角形。如图 4-1 和图 4-2 所示。图 4-2图 4-1CA BCBAFIEDHG例 4 如图，ABAC, 1=2，求证：ABACBDCD。例 5 如图，BCBA，BD 平分ABC，且 AD=CD，求证：A+C=180。例 6 如图，ABCD，AE、DE 分别平分BAD 各ADE，求证：AD=AB+CD。12ACDBB DCAA BECD练习：1. 已知，如图，C=2A，AC=2BC。求证：ABC 是直角三角形。2已知：如图，AB=2AC，1=2，DA=DB，求证：DCAC3已知 CE、AD 是ABC 的角平分线，B=60，求证：AC=AE+CD4已知：如图在ABC 中，A=90，AB=AC，BD 是ABC 的平分线，求证：BC=AB+ADCA BAB CDAEB D CAB DC1 2三 由线段和差想到的辅助线口诀：线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角
