1、- 1 -线、角、相交线、平行线规律 1.如果平面上有 n(n2)个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直线，一共可以画出n(n1)条.12规律 2.平面上的 n 条直线最多可把平面分成 n(n+1)+1个部分.12规律 3.如果一条直线上有 n 个点，那么在这个图形中共有线段的条数为 n(n1)条.12规律 4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的一半.例：如图，B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点.求证：MN = AC12证明：M 是 AB 的中点，N 是 BC 的中点AM = BM = AB ,BN = CN
2、= BC12MN = MB+BN = AB + BC = (AB + BC)MN = AC12练习：1.如图，点 C 是线段 AB 上的一点，M 是线段 BC 的中点.求证：AM = (AB + BC) 2.如图，点 B 在线段 AC 上，M 是 AB 的中点，N 是 AC 的中点.求证：MN = BC 123.如图，点 B 在线段 AC 上，N 是 AC 的中点，M 是 BC 的中点.求证：MN = AB 规律 5.有公共端点的 n 条射线所构成的交点的个数一共有 n(n1)个.12规律 6.如果平面内有 n 条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有 2n（n1）个.规律 7. 如果平面
3、内有 n 条直线都经过同一点，则可构成 n（n1）对对顶角.规律 8.平面上若有 n（n 3）个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共可作出 n(n1)16(n 2）个.规律 9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为 90o.规律 10.平面上有 n 条直线相交，最多交点的个数为 n(n1) 个.12规律 11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.规律 12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁内角的角平分线互相垂直.例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.规律 13.已知 ABDE, 如图,规律如下：1 ABC+BCD
4、+CDE=360E DCBAHGFEDBCAHGFEDBCAHG FEDBCANM CBAMC BANM CBAN M CBA- 2 -规律 14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.例：已知，BE、DE 分别平分ABC 和ADC，若A = 45 o,C = 55o,求E 的度数.解：AABE = EADE CCDE = ECBE 得AABECCDE = EADE ECBEBE 平分ABC、DE 平分ADC，ABE =CBE，CDE =ADE2E =A CE = (AC)1A =45 o,C =55 o,E =50o 三角形部分规律 15在利用三角形三边
5、关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题.例：如图，已知 D、E 为ABC 内两点，求证： ABACBDDECE. 证法（一）：将 DE 向两边延长，分别交 AB、AC 于 M、N在AMN 中， AM ANMDDE NE 在BDM 中，MB MD BD 在CEN 中，CNNECE 得AM ANMBMD CNNEMDDENE BDCEAB ACBD DECE证法（二）延长 BD 交 AC 于 F，延长 CE 交 BF 于 G,在ABF 和GFC 和GDE 中有，AB AFBDDGGFGF
6、FCGE CEDGGE DE有AB AFGFFC DGGEBDDGGFGECEDEAB ACBD DECE注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题.练习：已知：如图 P 为ABC 内任一点，求证： (ABBCAC)PAPBPCAB BCAC12规律 16三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.FGNMEDCBA+= CDEABCBCD2E DCBA-=CDE ABCBCD3 E DCBA-= CDEABCBCD4 E DCBA+=CDE ABCBCD5 E D CBA+= C
7、DEABC BCD6E DCBA NMEDBCA- 3 -例：如图，已知 BD 为ABC 的角平分线，CD 为ABC 的外角ACE 的平分线，它与 BD 的延长线交于 D.求证：A = 2 D证明：BD、CD 分别是ABC 、ACE 的平分线ACE =2 1, ABC =22A = ACE ABCA = 212 2又D =1 2A =2D规律 17. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于 90o 加上第三 个内角的一半.例：如图，BD、CD 分别平分ABC、ACB， 求证：BDC = 90o A12证明：BD、CD 分别平分ABC、ACBA2122 = 180o2(12)= 180 oAB
8、DC = 180o(12)(12) = 180oBDC把式代入式得2(180oBDC)= 180 oA即：360 o2BDC =180 oA2BDC = 180oABDC = 90o A规律 18. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于 90o 减去第三个内角的一半.例：如图，BD、CD 分别平分EBC、FCB， 求证：BDC = 90o A12证明：BD、CD 分别平分EBC、FCBEBC = 21、 FCB = 2221 =A ACB 22 =A ABC 得2（12）= AABC ACBA2（12）= 180oA（12）= 90o A12BDC = 180o(12)BDC = 180o
9、(90 o A)BDC = 90o A2规律 19. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的一半.例：已知，如图，在ABC 中，C B， ADBC 于 D， AE 平分BAC.求证：EAD = (CB)1证明：AE 平分BACBAE =CAE = BAC2BAC =180o(BC)EAC = 180o(B C)1ADBCDAC = 90 o CEAD = EACDAC2 1C EDBADCBA2121 FE DCBAE D CBA- 4 -EAD = 180 o(BC)(90 oC)12= 90o (BC) 90oC= (CB)如果把 AD 平移可
10、以得到如下两图，FD BC 其它条件不变，结论为EFD = (CB).12注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.规律 20.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.例：已知 D 为ABC 内任一点，求证：BDC BAC证法（一）：延长 BD 交 AC 于 E，BDC 是EDC 的外角，BDC DEC同理：DECBACBDC BAC证法（二）：连结 AD，并
11、延长交 BC 于 FBDF 是ABD 的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDC BAC规律 21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线且1 = 2，3 = 4，求证：BECF EF证明：在 DA 上截取 DN = DB，连结 NE、NF，则 DN = DC在BDE 和NDE 中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可证：CF = NF在EFN 中，ENFNEFBECFEF规律 22. 有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的
12、中线，且1 = 2，3 = 4，求证：BECFEF证明：延长 ED 到 M，使 DM = DE，连结 CM、FMBDE 和CDM 中，BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2， 3 = 4123 4 = 180o3 2 = 90 o即EDF = 90 oFDM = EDF = 90oEDF 和MDF 中ED = MDFDM = EDFDF = DFAB CDEFFED CBAFAB CDEDCBA4321NFED CBAMAB CDE F1 2 345- 5 -EDFMDFEF = MF在CMF 中，CF CM MFBECFEF（此题也可加倍 FD，证法同上
13、）规律 23. 在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.例：已知，如图，AD 为ABC 的中线，求证：ABAC2AD证明：延长 AD 至 E，使 DE = AD，连结 BEAD 为ABC 的中线BD = CD在ACD 和EBD 中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE 中有 ABBEAEAB AC2AD规律 24.截长补短作辅助线的方法截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；补短法：延长较短线段和较长线段相等.这两种方法统称截长补短法.当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d 有下列情况之一时用此种方法：abab = cab = cd例：已知，如图，在AB
14、C 中，ABAC，1 = 2，P 为 AD 上任一点，求证：ABAC PBPC证明：截长法：在 AB 上截取 AN = AC，连结 PN在APN 和APC 中，AN = AC1 = 2AP = APAPN APCPC = PNBPN 中有 PBPCBNPBPCAB AC补短法：延长 AC 至 M，使 AM = AB，连结 PM在ABP 和AMP 中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM 中有 CM PMPCAB ACPBPC练习：1.已知，在ABC 中，B = 60o,AD、CE 是ABC 的角平分线,并且它们交于点 O求证：AC = AE CD2.已知，
15、如图，ABCD1 = 2 ,3 = 4. 求证：BC = ABCD 规律 25.证明两条线段相等的步骤：观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所在的三角形全等.如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.例:如图，已知，BE、CD 相交于 F，B = C，1 = 2，求证： DF = EF证明：ADF =B3 AEF = C 4又3 = 41 2ED CBAP1 2ND CBAAB CD21PM 4321E DCBA- 6 -B = CADF = AEF在ADF 和AEF 中ADF = AEF
16、1 = 2 AF = AFADF AEFDF = EF规律 26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角 （等角）的余角相等来证明两个角相等.例：已知，如图 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90o，过 A 作任一条直线 AN，作 BDAN 于 D，CEAN 于E，求证：DE = BDCE证明：BAC = 90o, BDAN12 = 90 o 13 = 90o2 = 3BD AN CEANBDA =AEC = 90o在ABD 和CAE 中，BDA = AEC2 = 3AB = ACABDCAEBD = AE 且 AD = CEAEAD = BDCEDE = BDCE规律 27.三角
17、形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.例：AD 为ABC 的中线，且 CFAD 于 F，BEAD 的延长线于 E求证：BE = CF证明：（略）规律 28.条件不足时延长已知边构造三角形.例：已知 AC = BD，ADAC 于A，BCBD 于 B求证：AD = BC证明：分别延长 DA、CB 交于点 EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE 和CAE 中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC ，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC规律 29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成 三角形来解决问题.例：已知，如图，ABCD，
18、AD BC求证：AB = CD证明：连结 AC（或 BD）AB CD，ADBC1 = 2 在ABC 和CDA 中，1 = 2 AC = CA3 = 4 ABC CDA43 21FEDCBA321NEDCBA21D CBAFEOED CBA4321DCBA EFD CBA- 7 -AB = CD练习：已知，如图，AB = DC，AD = BC，DE = BF，求证：BE = DF规律 30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.例：已知，如图，在 RtABC 中，AB = AC，BAC = 90 o，1 = 2 ，CEBD 的延长线于 E求证：BD = 2CE证
19、明：分别延长 BA、CE 交于 FBECFBEF =BEC = 90o在BEF 和BEC 中1 = 2 BE = BEBEF =BECBEFBECCE = FE = CF2BAC = 90o , BECFBAC = CAF = 90o 1BDA = 90 o1BFC = 90 oBDA = BFC在ABD 和ACF 中BAC = CAFBDA = BFCAB = ACABDACFBD = CFBD = 2CE练习：已知，如图，ACB = 3B，1 =2,CDAD 于 D，求证：ABAC = 2CD规律 31.当证题有困难时，可结合已知条件，把 图形中的某两点连接起来构造全等三角形.例：已知，如
20、图，AC、BD 相交于 O，且 AB = DC，AC = BD，求证：A = D证明：（连结 BC，过程略）规律 32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供 条件.例：已知，如图，AB = DC，A = D求证：ABC = DCB证明：分别取 AD、BC 中点 N、M，连结 NB、NM 、NC（过程略）规律 33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做 垂线，利用角平分线上的点到角两边距离相等证题.例：已知，如图，1 = 2 ，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于 D，ABBC = 2BD，求证：BAP BCP = 180o证明：过 P 作 PEBA 于 EPD BC
21、 ，1 = 2 PE = PD在 RtBPE 和 RtBPD 中21EFDCBAOABDCBA DC21D CBANPEDCBA21- 8 -BP = BPPE = PDRtBPE RtBPDBE = BDAB BC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PD BCPEB =PDC = 90 o在PEA 和PDC 中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180 oBAPBCP = 180 o练习：1.已知，如图，PA、PC 分别是ABC 外角MAC 与NCA 的平分线，它们交于 P，PD BM 于 M，PF
22、BN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线2. 已知，如图，在ABC 中，ABC =100o，ACB = 20o，CE 是ACB 的平分线，D 是 AC 上一点，若CBD = 20o，求CED 的度数。规律 34.有等腰三角形时常用的辅助线作顶角的平分线，底边中线，底边高线例：已知，如图，AB = AC，BDAC 于 D，求证：BAC = 2DBC证明：（方法一）作BAC 的平分线 AE，交 BC 于 E，则1 = 2 = BAC1又AB = ACAEBC2ACB = 90oBD ACDBC ACB = 90 o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）过 A 作 AEBC 于 E（过程略
23、）（方法三）取 BC 中点 E，连结 AE（过程略）有底边中点时，常作底边中线例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，D 为 BC 中点，DEAB 于 E，DF AC 于 F，求证：DE = DF证明：连结 AD.D 为 BC 中点，BD = CD又AB =ACAD 平分BACDEAB，DFACDE = DF将腰延长一倍，构造直角三角形解题FMNPBADCED CBA21EDCBAFED CBA- 9 -例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，在 BA 延长线和 AC 上各取一点 E、F，使 AE = AF，求证：EFBC证明：延长 BE 到 N，使 AN = AB,连结 CN,则 A
24、B = AN = ACB = ACB, ACN = ANCBACB ACNANC = 180o2BCA 2ACN = 180oBCA ACN = 90o即BCN = 90oNC BCAE = AFAEF = AFE又BAC = AEF AFEBAC = ACN ANCBAC =2AEF = 2ANCAEF = ANCEFNCEFBC常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，D 在 AB 上，E 在 AC 延长线上，且 BD = CE，连结 DE 交 BC 于 F求证：DF = EF证明：（证法一）过 D 作 DNAE，交 BC 于 N，则DNB = A
25、CB，NDE = E ，AB = AC，B = ACBB = DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF 和ECF 中1 = 2NDF =EDN = EC DNF ECFDF = EF（证法二）过 E 作 EMAB 交 BC 延长线于 M,则EMB =B （过程略）常过一腰上的某一已知点做底的平行线例：已知，如图，ABC 中，AB =AC，E 在 AC 上，D 在 BA 延长线上，且 AD = AE，连结 DE求证：DEBC证明：（证法一）过点 E 作 EFBC 交 AB 于 F，则AFE = BAEF = CAB = ACB = CAFE =AEFAD = AEAED =A
26、DE又AFEAEFAEDADE = 180o2AEF2AED = 90 o 即FED = 90 o DEFE又EFBCDEBC（证法二）过点 D 作 DNBC 交 CA 的延长线于 N， （过程略）（证法三）过点 A 作 AMBC 交 DE 于 M， （过程略）常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形-等边三角形例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 80o ,P 为形内一点，若 PBC = 10o PCB = 30o 求PAB 的度数.解法一：以 AB 为一边作等边三角形，连结 CE则BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACNFECBA21N FEDCB
27、A21MFEDCBA NMF EDCBA- 10 -AE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE= 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80o12ACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACE ACB= 80o50 o = 30oPCB = 30 oPCB = BCEABC =ACB = 50 o, ABE = 60 oEBC =ABE ABC = 60 o50 o =10oPBC = 10 oPBC = EBC在PBC 和EBC 中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BP
28、BAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10 o = 40oPAB = (180oABP)= 70 o12解法二：以 AC 为一边作等边三角形，证法同一。解法三：以 BC 为一边作等边三角形BCE，连结 AE,则EB = EC = BC， BEC =EBC = 60 oEB = ECE 在 BC 的中垂线上同理 A 在 BC 的中垂线上EA 所在的直线是 BC 的中垂线EABCAEB = BEC = 30 o =PCB12由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =B
29、PAABP =ABCPBC = 50o10 o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40 o)= 70o1212规律 35.有二倍角时常用的辅助线构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角例：已知，如图，在ABC 中，1 = 2，ABC = 2C ，求证：ABBD = AC证明：延长 AB 到 E，使 BE = BD，连结 DE则BED = BDEABD =E BDEABC =2E21ED CBAPECBAPECBA- 11 -ABC = 2CE = C 在AED 和ACD 中E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABB
30、E即 ABBD = AC平分二倍角例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC求证：ABC = ACB证明：作BAC 的平分线 AE 交 BC 于 E，则BAE = CAE = DBCBD ACCBD C = 90 oCAEC= 90 o AEC= 180 o CAEC= 90 oAEBCABC BAE = 90oCAEC= 90 oBAE = CAEABC = ACB加倍小角例：已知，如图，在ABC 中，BDAC 于 D，BAC = 2DBC求证：ABC = ACB证明：作FBD =DBC,BF 交 AC 于 F（过程略）规律 36.有垂直平分线时常把垂直平分线上 的
31、点与线段两端点连结起来.例：已知，如图，ABC 中，AB = AC，BAC = 120o，EF 为 AB 的垂直平分线，EF 交 BC 于 F，交 AB 于 E求证：BF = FC12证明：连结 AF，则 AF = BFB = FABAB = ACB = CBAC = 120oB = CBAC = (180oBAC) = 30 o12FAB = 30 oFAC =BACFAB = 120o30 o =90o又C = 30 oAF = FC12BF = FC练习：已知，如图，在ABC 中，CAB 的平分线 AD 与 BC 的垂直平分线 DE 交于点 D，DMAB 于M，DNAC 延长线于 N求证
32、：BM = CNDE CBAFDCBAFECBANM EDCBA- 12 -规律 37. 有垂直时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC 中，B =2C，ADBC 于 D求证：CD = AB BD证明：（一）在 CD 上截取 DE = DB，连结 AE，则 AB = AEB = AEBB = 2CAEB = 2C又AEB = CEACC = EACAE = CE又CD = DECECD = BDAB（二）延长CB 到 F，使 DF = DC，连结 AF 则 AF =AC（过程略）规律 38.有中点时常构造垂直平分线.例：已知，如图，在ABC 中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD
33、= CD求证：ABC 为直角三角形证明：过 D 作 DEBC，交 AC 于 E，连结 BE，则 BE = CE，C = EBCABC = 2CABE =EBCBC = 2AB，BD = CDBD = AB在ABE 和DBE 中AB = BDABE =EBCBE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90 oBAE = 90 o即ABC 为直角三角形规律 39.当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题.例：已知，如图，在ABC 中，A = 90o，DE 为 BC 的垂直平分线求证：BE 2AE 2 = AC2证明：连结 CE，则 BE = CEA = 90 o A
34、E 2AC 2 = EC2AE 2AC 2= BE2BE 2AE 2 = AC2练习：已知，如图，在ABC 中，BAC = 90o，AB = AC，P 为 BC 上一点求证：PB 2PC 2= 2PA2规律 40.条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如图，在ABC 中，B = 45o，C = 30o，AB = ，求 AC 的2长. 解：过 A 作 ADBC 于 DBBAD = 90o，B = 45o，B = BAD = 45o，E DC BAFDC BAEDC BAED CBAP CBA- 13 -AD = BDAB 2 = AD2BD 2，AB =AD = 1C =
35、30o，AD BCAC = 2AD = 2四边形部分规律 41.平行四边形的两邻边之和等于平行四边形周长的一半.例：已知,ABCD 的周长为 60cm，对角线 AC、BD 相交于点 O，AOB 的周长比BOC 的周长多 8cm，求这个四边形各边长.解：四边形 ABCD 为平行四边形AB = CD，AD = CB ，AO = COAB CDDACB = 60AOABOB(OBBC OC) = 8AB BC = 30，ABBC =8AB = CD = 19，BC = AD = 11答：这个四边形各边长分别为 19cm、11cm 、19cm、11cm.规律 42.平行四边形被对角线分成四个小三角形，
36、相邻两个三角形周长之差等于邻边之差.（例题如上）规律 43.有平行线时常作平行线构造平行四边形例：已知，如图，RtABC ，ACB = 90o，CDAB 于 D，AE 平分CAB 交 CD 于 F，过 F 作 FHAB 交 BC于 H求证：CE = BH证明：过 F 作 FPBC 交 AB 于 P，则四边形 FPBH 为平 行四边形B = FPA， BH = FPACB = 90o，CDAB5CAB = 45o，BCAB = 90o5 =B5 =FPA又1 =2，AF = AFCAFPAFCF = FP4 =15 ，3 = 2B3 =4CF = CECE = BH练习：已知，如图，ABEFGH
37、，BE = GC求证：AB = EFGHD CBA54 321PHF EDCBAGHFEBAC- 14 -规律 44.有以平行四边形一边中点为端点的线段时常延长此线段. 例：已知，如图，在ABCD 中， AB = 2BC，M 为 AB 中点求证：CMDM证明：延长 DM、CB 交于 N四边形 ABCD 为平行四边形AD = BC，ADBCA = NBA ADN =N又AM = BMAMDBMNAD = BNBN = BCAB = 2BC，AM = BMBM = BC = BN1 =2，3 =N123N = 180o，13 = 90 oCM DM规律 45.平行四边形对角线的交点到一组对边距离相
38、等.如图：OE = OF规律 46.平行四边形 一边（或这边所在的直线）上的任意一点与对边的两个端点的 连线所构成的三角形的面积等于平行四边形面积的一半.如图：SBEC = SABCD12规律 47.平行四边形内任意一点与四个顶点的连线所构成的四个 三角形中，不相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形面积的一半.如图：SAOB SDOC = S BOCS AOD = SABCD12规律 48.任意一点与同一平面内的矩形各点的连线中，不相邻的两条 线段的平方和相等.如图：AO 2OC 2 = BO2 DO 2规律 49.平行四边形四个内角平分线所围成的四边形为矩形.如图：四边形 GHMN 是矩形
39、（规律 45规律 49 请同学们自己证明）规律 50.有垂直时可作垂线构造矩形或平行线.例：已知，如图，E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点，且 BE = ED，P 为对角线 BD 上一点，PFBE 于 F， PGAD 于 G求证：PFPG = AB证明：证法一：过 P 作 PHAB 于 H，则四边形 AHPG 为矩形AH = GP PHADADB =HPBBE = DE321NM BAD CNPHGFE DCBAFEODCBA E DCBA ODCBANMHGDCBAA DCBOOB CDA- 15 -EBD = ADBHPB =EBD又PFB =BHP = 90oPFBBHPHB =
40、FPAHHB = PGPF即 AB = PGPF证法二：延长 GP 交 BC 于 N，则四边形 ABNG 为矩形， （证明略）规律 51.直角三角形常用辅助线方法：作斜边上的高例：已知，如图,若从矩形 ABCD 的顶点 C 作对角线 BD 的垂线与BAD 的平分线交于点 E求证：AC = CE证明：过 A 作 AFBD ，垂足为 F，则 AFEGFAE = AEG四边形 ABCD 为矩形BAD = 90 o OA = ODBDA =CADAF BDABDADB = ABDBAF = 90 oBAF =ADB =CADAE 为BAD 的平分线BAE =DAEBAEBAF =DAEDAC即FAE
41、=CAECAE =AEGAC = EC作斜边中线，当有下列情况时常作斜边中线：有斜边中点时例：已知，如图，AD、BE 是ABC 的高， F 是 DE 的中点，G 是 AB 的中点求证：GFDE证明：连结 GE、GDAD、BE 是ABC 的高，G 是 AB 的中点GE = AB，GD = AB12GE = GDF 是 DE 的中点GF DE有和斜边倍分关系的线段时例：已知，如图，在ABC 中，D 是 BC 延长线上一点，且 DABA 于 A，AC = BD12求证：ACB = 2B证明：取 BD 中点 E，连结 AE，则 AE = BE = BD121 =BAC = BD2AC = AEACB
42、=2 2 =1B2 = 2BACB = 2B规律 52.正方形一条对角线上一点到另一条对角线上的两端距离相等.例：已知，如图，过正方形 ABCD 对角线 BD 上一点 P，作 PEBC 于 E，作 PFCD 于 F求证：AP = EF证明:连结 AC 、PC四边形 ABCD 为正方形GOFEDCBAGFE DCBA21E DCBA- 16 -BD 垂直平分 AC，BCD = 90oAP = CPPEBC，PF CD，BCD = 90 o四边形 PECF 为矩形PC = EFAP = EF规律 53.有正方形一边中点时常取另一边中点.例：已知,如图，正方形 ABCD 中，M 为 AB 的中点，M
43、NMD，BN 平分CBE 并交 MN 于 N求证：MD = MN证明：取 AD 的中点 P，连结 PM，则 DP = PA = AD12四边形 ABCD 为正方形AD = AB, A =ABC = 90o1AMD = 90o，又 DMMN2AMD = 90o1 =2M 为 AB 中点AM = MB = ABDP = MB AP = AMAPM =AMP = 45 oDPM =135 oBN 平分CBECBN = 45oMBN =MBC CBN = 90o45 o= 135o即DPM =MBNDPMMBNDM = MN注意：把 M 改为 AB 上任一点，其它条件不变，结论仍然成立。练习：已知，Q
44、 为正方形 ABCD 的 CD 边的中点，P 为 CQ 上一点，且 AP = PCBC求证：BAP = 2QAD规律 54.利用正方形进行旋转变换旋转变换就是当图形具有邻边相等这一特征 时，可以把图形的某部分绕相等邻边的公共端点旋转到另一位置的引辅助线方法.旋转变换主要用途是把分散元素通过旋转集中起来，从而为证题创造必要的条件.旋转变换经常用于等腰三角形、等边三角形及正方形中.例：已知，如图，在ABC 中，AB = AC，BAC = 90o，D 为 BC 边上任一点求证：2AD 2 = BD2CD 2证明：把ABD 绕点 A 逆时针旋转 90o 得ACEBD = CE B = ACEBAC = 90oDAE = 90 oDE 2 = AD2AE 2 = 2AD2BACB = 90oDCE = 90 oCD 2CE 2 = DE22AD 2 = BD2CD 2 注意：把ADC 绕点 A
