1、阿基米德螺线的性质与应用环境学院 蔡冠清 200911181035 谭潮沣 200911181029摘要：阿基米德螺线 = + 又称为等速螺线,它的特殊形式是过极点的螺线=。一动点沿一直线作等速移动的同时，该直线又绕线上一点 O 作等角速度旋转时，动点所走的轨迹就是阿基米德螺线。关键词： 等速螺线 阿基米德螺线 极点位置 线对称 引 言 ： 阿 基 米 德 螺 线 ， 亦 称 “等 速 螺 线 ”。 当 一 点 P 沿 动 射 线 OP 以 等 速 率运 动 的 同 时 ， 这 射 线 有 以 等 角 速 度 绕 点 O 旋 转 ， 点 P 的 轨 迹 称 为 “阿 基 米德 螺 线 ”。 其
2、 首 次 由 阿 基 米 德 在 著 作 论 螺 线 中 给 出 了 定 义它 的 极 坐 标 方 程 为 ： r = a 这 种 螺 线 的 每 条 臂 的 距 离 永 远 相 等 于 2a。笛 卡 尔 坐 标 方 程 式 为 ：r=10*(1+t)x=r*cos(t*360)y=r*sin(t*360)z=0 阿基米德螺旋画法：（1）先以导程 S 为半径画圆，再将圆周及半径分成相同的n 等分，图中 n=8；（2）以 O 为圆心，作各同心圆弧于相应数字的半径相交，得交点、各点，即为阿基米德涡线上的点；（3）依次光滑连接各点，即得阿基米德涡线。阿基米德螺旋的主要性质有: 1.若点(,)在曲线
3、= 十 上,则点(, )在曲线 = + 上。这两支曲线关于 /2 线对称。特别是(图 1)当 =0 时,阿基米德螺线 = 可以画出关于 /2 线的对称两部分。2.若 = +，则有 = +a（2n+） （n Z）,即 = +2na(n Z).因而（图二）过极点 O 的每一条射线都被阿基米德螺线截成无穷多个线段，从第二个线段起，每个线段的长都是 2a.3.若 ，令 ，则有 = .从而（图 3）一般的阿基米德螺线都可由过极点的、有相同系数的阿基米德螺线截得。阿基米德螺线的应用先看阿基米德螺线在自然科学上的若干应用。一，使用阿基米德螺线三等分任意角具体方法如下：1. 将某任意角放到极坐标系中，使角的的
4、顶点与极点 O 重合，使角的始边 OA 在极轴上。在极坐标系中做一条阿基米德等速螺线 =a，a=10（可取任意实数）使之与角的终边相交，设该交点为 B,如图 1 所示。在现实作图中，可以把顺序反过来，先使用 Excel 图表作出阿基米德螺线，调整横纵坐标刻度，使之不畸变，打印在作图纸上，然后再将角做到极坐标系中去。图 12. 过点 O 引射线 OR,如图 2 所示图 23过 O 点，在射线 OR 上，用圆规截取 OPPQQR,连接 RB,分别过 P、Q做 RB 的平行线，交 OB 于 M、N，则 M、N 将 OB 三等分，即 OMMNNB,如图 2 所示：图 34以 O 为圆心，以 OM 为半
5、径作弧，交螺线于 E；以 O 为圆心，以 ON 为半径作弧，交螺线于 F,如图 4 所示：图 45.链接 OE、OF,则AOEEOFFOB(AOB)/3,即 OE、OF 将任意角AOB 三等分。图 5因为阿基米德螺线 a 为等速螺线，根据定义，动点沿动射线 OA 用速度 v做等速率直线运动的同时，这条射线又以等角速度 绕点 O 旋转做等角速度圆周运动，两项运动的时间都为 t，则：动点沿动射线 OA 用速度 v 做等速率直线运动， 则 vt (1)而同时，射线 OA 又以等角速度 绕点 O 旋转, 则 t (2)设 B 点的极坐标为（， ） ，动点从 O 点到达 B 点的时间为 t,同样，设 E
6、、F 点的极坐标分别为（1，1）和（2，2 ） ，动点从 O 点到达 F、F 点的时间分别为为 t1、t2. OMMNNB ，而且 1OE0M/3 ,1 /3 , 将（1）式代入即得 1(vt)/3 v(t/3)vt1 v v t1t/3 。也就是说，动点沿着射线作匀速直线运动从 O 点到达 E 点所用的时间为 t/3，是动点沿着射线作匀速直线运动从 O 点到达 B 点所用时间 t 的三分之一。而考虑匀速圆周运动:1 t1(t/3) (t)/3/3即AOE (AOB)/3同理可证得 t22t/3，从而证得 22/3，于是有AOE EOFFOB(AOB)/3即 OE、 OF 将任意角AOB 三等
7、分。使用阿基米德等速螺线解决三等分任意角问题,依靠等速螺线的定义,引入了参变数时间 t,动点从 O 点运动到 E 点的直线路程 1 是全程 的三分之一，推知所需时间也是全程时间的三分之一，从而动点所在直线 OA 旋转到 OE的时间也是全部旋转时间的三分之一，于是所转动的角度也是全部旋转角的三分之一。二，阿基米德螺线可以用来把等速的圆周运动转化为等速的直线运动。将 0 到 Pi 的两段等速螺线拼成一个“心形”的装置安放在一个圆盘上，则当圆盘等速旋转时， “心形”装置则将等速的圆周运动转化为等速的直线运动:然后，实际生活中，阿基米德螺线随处可见，应用较广。例如唱片的音槽、钟表里的发条与游丝、蒲团、
8、麦秸圆扇、一条盘绕休息着的蛇以及货币虫化石等都呈阿基米德螺线状。为 解 决 用 尼 罗 河 水 灌 溉 土 地 的 难 题 ， 他 发 明 了 圆 筒 状 的 螺 旋 扬 水 器 ，后 人 称 它 为 “ 阿 基 米 德 螺 旋 ”。 除 了 杠 杆 系 统 外 ， 值 得 一 提 的 还 有 举 重 滑轮 、 灌 地 机 、 扬 水 机 以 及 军 事 上 用 的 抛 石 机 等 。 被 称 作 “阿 基 米 德 螺 旋 ”的扬 水 机 至 今 仍 在 埃 及 等 地 使 用 。 一 些 喷 淋 冷 却 塔 所 用 的 螺 旋 喷 嘴 喷 出 喷 淋 液的 运 动 轨 迹 也 为 阿 基 米
9、 德 螺 线具 体 例 子 解 释 ： 阿 基 米 德 螺 旋 泵 的 工作原理是当电动机带动泵轴转动时,螺杆一方面绕本身的轴线旋转,另一方面它又沿衬套内表面滚动,于是形成泵的密封腔室。螺杆每转一周,密封腔内的液体向前推进一个螺距,随着螺杆的连续转动,液体螺旋形方式从一个密封腔压向另一个密封腔,最后挤出泵体。螺杆泵是一种新型的输送液体的机械,具有结构简单、工作安全可靠,使用维修方便、出液连续均匀、压力稳定等优点另外，它在我们的日常生活中也有很常见的应用.2009 年某著名品牌的最新款洗衣机,在内筒的设计方面,充分运用动力学原理，独创斜式提升筋设计，衣物在桶内沿阿基米德螺线运动，产生螺线摔打洗，
10、螺线搓揉洗，螺线离心洗等多种洗衣方式，有效提高衣物的洗净度。奇妙的是，阿基米德螺线还有美学价值。它，一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变），另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质。正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点，阿基米德螺线才在美学上有重要价值。参考文献：阿基米德全集 阿基米德（1998 年）数学通报1989 年 07 期相关链接： 维基百科 http:/zh.wikipedia.org/zh-cn/%E9%98%BF%E5%9F%BA%E7%B1%B3%E5%BE%B7%E8%9E%BA%E7%BA%BF
