阿基米德螺线浅析.doc

1、阿基米德螺线浅析作者:姜荣 200911181013 环境学院 09 级 黄鲁霞 200911181004 环境学院09 级 荣镭 200911181017 环境学院 09 级 摘要:本文就自然界中阿基米德螺线的存在，探讨了它的产生、原理、性质。并对阿基米德螺 线在生活中的应用进行了说 明。关键词：阿基米德螺线 产生 原理 性质 应用Abstract：This paper mainly discuss the cause, the principium and the habitude of Archimedes spiral because of its existence in natur

2、e. In addition, we make some introductions to its application in our daily life.Key words: Archimedes spiral cause principium habitude application引言:阿基米德与阿基米德螺线 Archimedes（阿基米德）是古希腊数学家、力学家。他在数学、物理方面都有极高的成就。公 元 前 287 年 ，阿 基 米 德 出 生 于 西 西 里 岛 (Sicilia)的 叙 拉 古(Syracuse)(今 意 大 利 锡 拉 库 萨 )。他 出 生 于 贵 族 ，与

3、 叙 拉 古 的 赫 农王 有 亲 戚 关 系 ，家 庭 十 分 富 有 。阿 基 米 德 的 父 亲 是 天 文 学 家 兼 数学 家 ，学 识 渊 博 ，为 人 谦 逊 。他 十 一 岁 时 ，借 助 与 王 室 的 关 系 ，被送 到 古 希 腊 文 化 中 心 亚 历 山 大 里 亚 城 ，跟 随 欧 几 里 得 的 学 生 埃 拉托 塞 和 卡 农 学 习 ，他 以 后 和 亚 历 山 大 的 学 者 保 持 紧 密 联 系 ，因 此他 算 是 亚 历 山 大 学 派 的 成 员 。阿 基 米 德 在 亚 历 山 大 学 习 和 生 活 了 许 多 年 ，曾 跟 很 多 学 者 密切

4、 交 往 。他 在 学 习 期 间 对 数 学 、力 学 和 天 文 学 有 浓 厚 的 兴 趣 。在 他学 习 天 文 学 时 ，发 明 了 用 水 利 推 动 的 星 球 仪 ，并 用 它 模 拟 太 阳 、行星 和 月 亮 的 运 行 及 表 演 日 食 和 月 食 现 象 。公 元 前 212 年 ，古 罗 马 军 队 攻 陷 叙 拉 古 ，正 在 聚 精 会 神 研 究 科学 问 题 的 阿 基 米 德 ，不 幸 被 蛮 横 的 罗 马 士 兵 杀 死 ，终 年 七 十 五 岁 。阿 基 米 德 的 遗 体 葬 在 西 西 里 岛 ，墓 碑 上 刻 着 一 个 圆 柱 内 切 球 的

5、 图形 ，以 纪 念 他 在 几 何 学 上 的 卓 越 贡 献 。据说为 解 决 用 尼 罗 河 水 灌 溉 土 地 的 难 题 ，它 发 明 了 圆 筒 状 的螺 旋 扬 水 器 ，后 人 称 它 为 “阿 基 米 德 螺 旋 ”。阿 基 米 德 在 论 螺 线 一 书 中 明 确 了 螺 线 的 定 义 ，以 及 对 螺 线 的 面 积 的 计 算 方 法 。一 、自 然 界 中 的 阿 基 米 德 螺 线 现 象1.1 神 奇 的 蜘 蛛 网蜘 蛛 是 地 球 上 古 老 的 节 肢 动 物 之 一 。它 们 的 生 活 历 程可 以 追 溯 到 2 亿 年 以 前 ，并 且 至 今

6、仍 然 保 存 着 一 个 庞 大 的 家族 。蜘 蛛 网 是 由 部 分 种 类 的 蜘 蛛 吐 丝 所 编 成 的 网 状 物 ，用 以捕 获 昆 虫 、小 型 脊 椎 动 物 等 作 食 物 ，或 用 以 结 巢 居 住 。蜘 蛛网 堪 称 蜘 蛛 巧 夺 天 工 的 杰 作 ，经 过 上 亿 年 的 演 化 ，现 在 的 蜘蛛 网 不 仅 有 不 可 比 拟 的 强 度 和 韧 性 还 具 精 美 的 几 何 图 形 。其 中 蜘 蛛 丝 的 捕 食 丝 是 由 外 向 网 心 开 始 铺 设 有 黏 性 的捕 食 螺 线 所 铺 设 的 捕 食 螺 线 其 间 的 距 离 是 相 等

7、 的 。就 是 本 文 所说 的 阿 基 米 德 螺 线 。1.2 扑 火 的 飞 蛾在 亿 万 年 前 ,没 有 人 造 火 光 ,飞 蛾 完 全 靠 天 然 光 源 日 光 、月光 或 星 光 指 引 飞 行 。由 于 太 阳 、月 亮 、星 星 距 离 地 球 都 很 远 ,它们 发 出 的 光 线 照 到 地 球 上 可 以 认 为 是 平 行 直 线 。当 飞 蛾 直 线 飞 行时 ,它 在 任 何 位 置 的 前 进 方 向 与 光 线 的 夹 角 都 是 一 个 固 定 值 。可 是 ,如果 光 源 离 得 很 近 ,不 能 将 它 们 发 出 的 光 线 看 作 平 行 光 时

8、 ,飞 蛾 再 按照 固 有 的 习 惯 飞 行 ,飞 出 的 路 线 就 不 是 直 线 ,而 是 一 条 不 断 折 向 灯光 光 源 的 阿 基 米 德 螺 线 。1.3 太 极 图国 学 中 的 阴 阳 具 有 多 重 含 义 ，是 一 类 特 殊 矛 盾 。从 黄 赤 交 角 造成 的 四 季 光 照 度 变 化 中 可 以 看 出 太 极 图 中 的 曲 线 是 两 条 阿 基 米 德螺 线 。四 季 的 阴 阳 无 限 等 分 变 化 图在 四 季 的 阴 阳 无 限 等 分 变 化 图 中 ，以 圆 心 为 极 点 ,以 极 点 到 夏至 的 方 向 为 极 轴 的 正 方 向

9、 建 立 极 坐 标 系 ,则 阴 、阳 的 大 小 与 时间 之 间 有 数 据 对 应 关 系 。显 然 ，这 是 两 条 阿 基 米 德 螺 线 。二 、模 型 的 建 立2.1 阿基米德螺线（亦称等速螺线）是指当 一 点 P 沿 动 射 线 OP以 等 速 率 运 动 的 同 时 ，这 射 线 又 以 等 角 速 度 绕 点 O 旋 转 ，则 点 P的 轨 迹 称 为 “阿 基 米 德 螺 线 ”。从 物 理 的 角 度 来 说 ，阿 基 米 德 螺 线是 匀 速 直 线 运 动 和 匀 速 圆 周 运 动 的 合 成 ，其 图 形 如 下 ：阿基米德螺线的一般方程中是： a在极坐标体

10、系中，阿基米德螺线的方程是：= a (a=const)即 在 坐 标 中 ，阿 基 米 德 螺 线 上 的 点 距 原 点 的 距 离 与 从 极 轴OX 转 过 的 角 度 成 正 比 例 。阿 基 米 德 螺 线 的 螺 距 是 一 个 常 数2a,(即 当 =2 时 ，r=2a)。其 证 明 是 ：r=a, r=a(+2)则 r=r-r=2a。所以要判定一个螺旋图形是否为阿基米德螺线，就可以看其在平面内是否符合 r = a 的 等 式 。2.2 阿基米德螺线规阿基米德螺线在理论研究上或是在实际应用中都是十分重要的。我们在教学这一内容时,为了使学生对此曲线的特性有深刻的直观印象,设计了能绘

11、制这一曲线的教具一一阿基米德螺线演示规。设动点开始运动时离定点 O 的距离为 ，即初始位置是0，M 在 l 上的运 动速度 v,l 绕 O 点转动的角速度为 ，经过时0(,) 间 t,转过角度 ,动点到达的位置为(,)M则有 (1)0vt及 (2)由(1)(2)消去 t 得 ,设 则有 。这00vt(0)va0a就是阿基米德螺线的极坐标方程。若 ， 是螺线 上的任意两点，则由1(,)M2(,)0， 可得 。这表明，当动点沿阿基0a0a2121()a米德螺线图线移动时,它的极半径的改变量 与极角的改变量成正比的,因此阿基米德螺线也可看成是动点的极半径改变量与21它的极角改变量成正比的点的轨迹。阿

12、基米德螺线演示规就是根据这一特性来制作的。三 、阿 基 米 德 螺 线 的 性 质3.1若 点 （ ）在 曲 线 上，则点（ ）在曲线 上，,a,a则这两支曲线关于 线对称。特别是（图 1）当 时，阿基米德螺线2可以画出关于 的对称部分。a3.2 若 ，则有 ，即 11(2)na()nZ12na.因而（图 2）过极点 O 的每一条射线都被阿基米德螺线截成了()nZ无穷多个线段，从第二个线段起，每个线段长度都是 。2a3.3 若 ，令 ，则有 。从而（图 3）一般的阿基米aa德螺线都可由过极点的、有相同系数的螺线截得。四 、阿 基 米 德 螺 线 的 应 用4.1 蜗 壳 入 口旋 流 器 蜗

13、壳 是 将 液 流 的 直 线 运 动 变 为 圆 周 运 动 的 转 换 器 。既要 使 悬 浮 液 顺 畅 地 进 入 旋 流 状 态 ，又 要 使 进 入 旋 流 状 态 的 过 渡 沿程 损 失 小 ，要 求 旋 流 器 蜗 壳 内 壁 曲 线 连 接 光 滑 而 没 有 拐 点 ，曲 率中 心 在 同 一 侧 ，这 样 沿 程 损 失 能 量 小 旋 流 器 的 效 率 高 。阿 基 米 德螺 线 多 被 用 于 蜗 壳 入 口 ，被 运 用 于 此 有 其 独 特 的 意 义 。4.1.1 蜗 壳 入 口 部 分 的 低 压 力 耗 散由 水 力 学 得 知 ，局 部 水 头 损

14、失 h 一 般 表 述 为 ：式 中 ： 为 局 部 水 头 损 失 系 数 ； 为 流 速 ；g 为 重 力 加 速 度 。4.1.2 阿 基 米 德 螺 线 入 口 蜗 壳 的 水 头 损 失蜗 壳 结 构 以 极 坐 标 形 式 表 示 为 阿 基 米 德 螺 线a为 极 坐 标 半 径 ， 为 极 角 ， 为 由 A 点 计 算 之 所 对 应 的 极 角 ；a 为参 数对 图 2 的 结 构 ，当 时 ， ，于 是 有 ，故 有 ，21R12a1/2R则 方 程 4 变 为 1(/2)式 中 ： 为 曲 率 半 径 ； 。1R2现 在 ，我 们 来 计 算 阿 基 米 德 螺 线 入

15、 口 阻 力 系 数 。将 曲 线 AB 相对 应 的 圆 心 角 等 分 成 n 个 角 度 ，每 一 个 记 作 ，则 每 一 个 圆 心 角所 对 应 的 极 半 径 可 以 根 据 公 式 求 出 ：1(/2)Rn式 中 ： ，n 为 相 对 应 的 极 半 径 的 的 个 数 。因 此 可 求 出 曲/线 AB 的 平 均 半 径 ：001(/2)niRn将 代 人 4（3），即 可 求 出 曲 线 AB 的 阻 力 系 数 的 近 似 值 。0R4.1.3 切 线 入 口 与 阿 基 米 德 螺 线 入 口 的 阻 力 系 数 大 小 比 较假 如 ， 入 口 高 度/2180m1

16、0Hm3.5.13.68/20.1如 果 是 阿 基 米 德 螺 线 入 口 ，假 定 将 等 分 成 10 份 代 人 公 式 6 中 ，其 平 均 极 半 径 为 1/20182(1)()0.4340R由 此 可 见 ，在 此 条 件 下 采 用 阿 基 米 德 螺 线 入 口 ，将 降 低 入 口 阻 力 。4.2 阿基米德螺线蜗杆的车削4.2.1 已 知 参 数 ：（如 图 2 所 示 ）蜗 杆 型 式 ：阿 基 米 德 螺 线 （ZA 蜗 杆 ）法 向 模 数 ;头 数 z=30.8nm齿 形 角 ； 导 程 角2 5140齿 项 圆 直 径 左 旋 ，轴 向 齿 距 公 差 为 ；

17、18.dpxf0.1齿 形 误 差 为 0.016. 、1f4.2.2 计 算 结 果 如 下蜗 杆 端 面 模 数 : 0.83cosnxm蜗 杆 轴 向 齿 距 : 2.56xp蜗 杆 直 径 系 数 : 3DZqtg蜗 杆 分 圆 直 径 ： 126.508xdmq蜗 杆 顶 圆 直 径 ： 11h蜗 杆 齿 顶 高 ： 10.7956h蜗 杆 根 圆 直 径 ： 12()5.2389fdhC蜗 杆 齿 根 高 ： 1.0.607fxCm所 以 ：蜗 杆 齿 全 高 ： .519h蜗 杆 轴 向 齿 厚 ：280.760.286591.xSXtg图所 以 取 ZA 蜗 杆 车 刀 头 部

18、 宽 度 为 ，如 图 3 所 示 。取 刀 具0.682.5前 角 。52当 刀 具 使 用 一 段 时 间 后 刀 刃 变 钝 ，需 进 行 修 磨 计 算 。由 于 刀 具 前角 不 是 很 大 ，修 磨 计 算 可 省 略 。通 过 使 用 该 刀 具 ，原 来 一 天 车 34 个 ，现 在 工 效 提 高 23 倍 ，该 刀 具 可 进 行 多 次 重 磨 ，耐 用 度 提 高 ，并 且 因 刀 具 采 用 了 大 拐 弯及 中 间 弹 簧 圆 柱 销 等 缓 冲 结 构 ，具 有 抗 冲 击 及 消 振 的 作 用 ，增 强了 刀 具 在 切 削 过 程 中 的 稳 定 性 ，提

19、 高 了 零 件 的 精 度 及 光 洁 度 ； 因而 在 加 工 蜗 杆 类 零 件 而 又 没 有 专 用 机 床 时 该 方 法 有 一 定 的 参 考 价值 。4.3 三爪卡盘自动定心原理车床的基本工作原理是,使被加工的工件随同车床主轴一起旋转,操作者操纵刀架而移动刀具去切削工件,从而获得预期的工件形状。卡盘本身半固装于主轴，同时用它的几个可调节爪夹住工件。三爪卡盘三个相互联动的卡爪，能同时等距离地向心（或离心）移动。在卡棒料（圆柱状坯件）或六方料（六棱柱状坯件）时,能使工件轴线与机床主轴轴线自动重合,因此它有自动定心的特点。兰爪卡盘的主要结构如图，外壳上互成 角的位置上,开有三条透1

20、20槽,三个卡爪可在其中做径向移动。卡爪的背面制有牙纹,卡爪以此牙纹与内部一圆盘咬合。圆盐正面上制有一条平面螺纹,其形状是阿基米德螺线工人师付称为“盘肠扣” 。卡爪牙 纹形状也是相应的阿基米德螺线,因此可以咬合。如果保持外壳不动,从外面用扳手旋转小伞形轮,则带动大伞形轮绕卡盘轴线（即机床主轴轴线）转动,这时大伞形轮正面的阿基米德螺线也要转动。这样,与之咬合的卡爪,一方面受平面螺纹（阿基米德螺线）的推动,另一方面又受到不动外壳上槽口的限制,所以只能做径向移动。现在需要说明的是,扳动小伞齿轮时为什么三个卡爪的径向位移总是相等的？这要从阿基米螺线的方程说起。因为 ()rk所以： drk于是 ()(r

21、rk这就是说，不论在螺线上的什么位置，当点回的极角 有一个增量时，极径的增量总是它( )的 k 倍。在卡盘上；扳动伞齿一个角度,等于使各个卡爪都得到相同的极角增量 ,所以它们的径向位移也必是相等的。由此可知 ,三爪卡盘上三个卡爪的径向等距移动,这个特点是由于圆盘上的阿基米德螺线的基本性质而造成的。就是说,三爪卡盘自动定心的原理是阿基米螺线的特性所致。此外,阿基米螺线的螺距（即当 时的 值）是一个常数 。2i2k因此可以继续旋转伞形齿轮,从而使卡爪可能在很大幅度内运动。如果换成别种螺线,螺距不是常数,卡爪将因其背面的牙纹无法适应改变着的螺距而卡住。所以只有阿基米德螺载才适于做三爪卡盘的平面螺纹。

22、 4.4 美 学 价 值数学具有美学价值。我们知道数学是对现实世界数量关系、空间形式、结构等的刻划。现实世界拥有许多美的因素, 所以数学拥有美就不奇怪了。罗素说过“ 数学, 如果正确地看它, 不但拥有真理, 而且也具有至高的美”,“哪里有数 , 哪里就有美” 。可是数学的美学价值却一直为人们所忽视。承认数学的美学价值, 不论对于数学研究或是数学教育, 都具有重要的意 义。对于数学研究者来说, 数学的美学价值使研究数学成为一种美的追求。对数学教育者来说, 学习数学过程, 同时应是感受美、欣赏美、理解美的过程, 提高学生的审美能力, 这极大地有利于数学的学习。阿基米德螺线的美学价值4.41 对象美

23、用匀速转动和匀速直线运动合成定义成的曲线 = a 被称为阿基米德螺线。其中第一圈所围面积为 ，第一圈未极角 ，所对21()3a2应的极径为 ，为半径的圆的面积, 等于第一个圆的面积的 。2a 13阿基米德螺线的美妙之处在于它经许多变换仍为自身。对如此美妙的性质, 阿基米德配了一句深刻的哲学名言 “虽经沧桑, 我仍将以故我出现”。4.4.2 方法美阿基米德力学方法。这是一种生动而优美的数学方法, 这种创造性的方法是阿基米德根据力学的重心、 杠杆平衡等原理去解决一些几何问题。例如他利用杠杆原理确定了球的体积。4.4.3 和谐美:和谐不但表现在规律上，也表现在对称上4.4.4 简单美：符号、概念：精

24、炼的简单、公式：数学符号刻画数学现象中相互关系的等式。【参 考 文 献 】1 王 明 华 杨 继 绪 . 阿 基 米 德 螺 线 的 性 质 与 应 用 .2 赵 郁 岚 周 康 毅 . 阿 基 米 德 螺 线 蜗 杆 的 车 削 3 张 晓 贵 王 子 苓 . 浅 谈 数 学 的 美 学 价 值 4 张学成 朱晓春 郭学亮 薄磊. 旋流器的蜗壳设计理论与计算. Coal Preparation Technology.2008.2 第一期5 赵 郁 岚 周 康 毅 . 阿 基 米 德 螺 线 蜗 杆 的 车 削6 府 钰 颜 尔 达 . 阿 基 米 德 螺 线 演 示 规 的 制 作 . 苏 州 教 育 学 院 .1990.37 解 析 几 何 理 数 教 学 参 考 资 料 几 种 常 用 曲 线 在 机 械 中 的 应 用 实 例8 刘 振 军 飞 出 一 条 螺 线9 迟 华 基 张 启 明 阴 阳 变 化 与 太 极 图10 胡 海 神 奇 的 蜘 蛛 网11 王永炎 张启明 赵宜军 太 极 图 反 映 了 自 然 界 最 基 本 的 周 期 运 动 简 谐 振 动