1、1第二章 初等数学模型本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法复习要求1进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。2进一步理解数学模型的作用与特点。类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构.利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我
2、们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽.1雨中行走问题雨中行走问题的结论是：（1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即 ，那么全身被淋的雨水总量为20hvrdpwDvvCcossin)(21这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑.（2）如果雨是从你的背后落下，即 . 令 ，则 . 那么全身被2220淋的雨水总量为 hvrrdDpwvCsinco),(这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.从建模结果看， “为了少些淋雨，应该快跑” ，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度.
3、而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数 C，而 C=C（v） ，于是问题便归结为确定速度 v，使 C（v）最小本模型的关键建模步骤便得以确定.有了确定的建模目的，自然引出与 C（v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的.另外，为了检验所建模
4、型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要.例 1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市 O（如图 2-1）的东偏2南 方向 300km 的海面 P 处，并以 20km/h 的速度向)102(cos西偏北 方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为4560km，并以 10km/h 的速度不断增大. 问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？问题分析与假设 1. 根据问题解决目的：问几小时后该城市开始受到台风的侵袭，以及台风侵袭的范围为圆形的假设，只要求出以台风中心 p（动点）为圆心的圆的
5、半径 r，这个圆的半径划过的区域自然是侵袭范围. 2. 台风中心是动的，移动方向为向西偏北 ，速度为 20km/h，而当前半径为 60km，并以4510km/h 的速度不断增大，即半径的增加速度为 ，t 为时间 .于是只要 ，便是城 图 2-1tr106)(601tpo市 O 受到侵袭的开始.模型 I 如图 2-2 建立坐标系：以 O 为原点，正东方向为 x 轴正向.在时刻 t(h)台风中心 的坐标为),(yxP.20173,0tyx此时台风侵袭的区域是 ,)()(222tryx其中 r(t)=10t+60. 图 2-2若在 t 时刻城市 O 受到台风的侵袭，则有 ,)601()0()( 22
6、2tyx即 ,)1(730123( 2 tt整理可得 ,86t由此解得 12 t 24，即 12 小时后该城市开始受到台风的侵袭.模型 II 设在时刻 t(h)台风中心为 （如图 2-2） ，此时台风侵袭的圆形半径为 10t+60，因此，P若在时刻 t 城市 O 受到台风侵袭，应有 601tO由余弦定理知 .cos22 PO注意到 tPO0,3,54210210sincos)45cos(cs P3故 .309620542)(tttPO因此 .)1(396022tt即 8解得 .41t2动物的身长与体重问题在生猪收购站或屠宰场工作的人们，有时希望由生猪的身长估计它的体重.试建立数学模型讨论四足动
7、物的躯干的长度（不含头、尾）与它的体重的关系，（1）问题分析众所周知，不同种类的动物，其生理构造不尽相同，如果对此问题陷入对生物学复杂生理结构的研究，就很难得到我们所要求的具有应用价值的数学模型并导致问题的复杂化.因此，我们舍弃具体动物的生理结构讨论，仅借助力学的某些已知结果，采用类比方法建立四足动物的身长和体重关系的数学模型.类比法是依据两个对象的已知的相似性，把其中一个对象的已知的特殊性质迁移到另一对象上去，从而获得另一个对象的性质的一种方法. 它是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现的方法，而不是一种论证的方法，它是建立数学模型的一种常见的、重要的方法. 类比法的作用是启迪思维，帮
8、助我们寻求解题的思路.，而它对建模者的要求是具有广博的知识，只有这样才能将你所研究的问题与某些已知的问题、某些已知的模型建立起联系. （2）模型假设与求解 我们知道对于生猪，其体重越大、躯干越长，其脊椎下陷越大，这与弹性梁类似.为了简化问题，我们把动物的躯干看作圆柱体，设其长度为 l、直径为 d、断面面积为 S（如图23）. 将这种圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，这样就可以借助力学的某些结果研究动物的身长与体重的关系.设动物在自身体重（记为 f）的作用下，躯干的最大下垂度为 b，即弹性梁的最大弯曲. 根据对弹性梁的研究，可以知道.23Sdfl又由于 Sl(体积)，于是f.23dlb
9、b 是动物躯干的绝对下垂度，b/l 是动物躯干的相对下垂度 .b/l 太大，四肢将无法支撑动物的躯干，b/l 太小，四肢的材料和尺寸超过了支撑躯干的需要，无疑是一种浪费，因此，从生物学角度可以假定，经过长期进化，对于每一种动物而言，b/l 已经达到其最适宜的数值，换句话说， b/l 应视为与动物尺寸无关的常数，而只与动物的种类有关.因此图 234，23dl又由于 ,故2,dSlf.44,klflf从 而即四足动物的体重与躯干长度的四次方成正比.这样，对于某种四足动物（如：生猪） ，根据统计数据确定上述比例系数 k 后，就可以依据上述模型，由躯干的长度估计出动物的体重了.（3）模型评注在上述模型
10、中，将动物的躯干类比作弹性梁是一个大胆的假设，其假设的合理性，模型的可信度应该用实际数据进行仔细检验.但这种思考问题、建立数学模型的方法是值得借鉴的.在上述问题中，如果不熟悉弹性梁、弹性力学的有关知识，就不可能把动物躯干类比作弹性梁，就不可能想到将动物躯干长度和体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有明确研究成果的弹性梁在自重作用下的挠曲问题.例 2 在中学数学中，通过类比推测或联想而发现新命题、新解法并不少见.诸如，由分数的性质类似地推测分式的性质；由直线与圆的位置关系推测圆与圆的位置关系；由一次函数、一次方程、一次不等式的某些性质和解法，推测二次函数、二次方程、二次不等式的某些类
11、似的性质与解法等.情形 1 已知： 中， ，AC =BC=1，BD 是 ACABC90边上的中线，E 点在 AB 边上，且 .求 的面积.DEEA如图 2-4，引 ，易证F24/1AS类比 若去掉情形 1 中直角这一特性，是否会产生类似命题呢？由此想到 图 2-4情形 2 已知 中(图 2-5)， ，BD 是ABCBAC 边上的中线，E 点在 AB 上，且 ， ，求CED1AS.ADS类似情形 1 的证法，易证得 ；当 时，12/AEDS2/ABC，与情形 1 结果相同. 图 2-524/AED类比 若保留情形 1 中的直角条件，去掉等腰三角形这一特殊性，可以类似地得到.情形 3 已知 中 ，
12、AC =2BC=2，BD 是 AC 边上中线， 交 BD 于BC90 ABCFH，求 .CBS同样可证 .这里，若在情形 3 中令 AC=2BC=1，也有 ，与情形 1 结6/1H 24/1ADES论相同；情形 3 是由情形 1 类比而来，最自然的想法是求 ，为了增加变换方式获得新命题，AE本情形求的是 .CBHS3实物交换问题实物交换是人类发展史上一种重要的交换方式，在当今的社会生活中也是屡见不鲜的，这种实5物交换问题可以出现在个人之间或国家之间的各种类型的贸易市场上. 例如：甲乙二人共进午餐，甲带了很多面包，乙有香肠若干，二人希望相互交换一部分，达到双方满意的结果.显然，交换的结果取决于双
13、方对两种物品的偏爱程度和需要程度，而对于偏爱程度很难给出确切的定量关系.因此可以采用图示的方法建立实物交换的数学模型，确定实物交换的最佳交换方案.下面依据等价交换准则确定最佳交换方案. 等价交换准则是指两种物品用同一种货币衡量其价值，进行等价交换.不失一般性，设交换前甲占有数量为 x0 的物品 X，乙占有数量为 y0 的物品 Y；交换后甲所占有的物品 X，Y 的数量分别记为 x,y；单位数量的物品 X，Y 的价值（价格）设为 p1,p2.由等价交换准则，x,y 满足方程,0,)( 00 yx容易证明，在此直线上的点进行交换均满足等价交换准则。在等价交换准则下双方均满意的交换方案必是此直线与曲线
14、 AB 的交点（如图 26）.无差别曲线概念的提出是用图形方法建立实物交换模型的基础，确定这种曲线需要收集大量的数据，还可以研究无差别曲线的解析表达式及其性质.例 3 消费者的选择在本章中讨论实物交换模型时，引进了无差别曲线描述人们对两种物品的满意和偏爱程度，用图形的方法确定两个人进行实物交换时应遵循的途径. 本例要利用无差别曲线族的概念讨论，一个消费者用一定数额的钱去购买两种商品时应作怎样的选择，即他应该分别用多少钱去买这两种商品.记甲乙两种商品的数量分别是 q1 和 q2，当消费者占有它们时的满意程度，或者说它们给消费者带来的效用，用 q1、q 2 的函数，记作 U（q 1,q2） ，经济
15、学中称为效用函数（ Utility function）. 图 2-7U（q 1,q2）=c（常数）的图形就是无差别曲线族，如图 2-7 是一族单调降、下凸、互不相交的曲线.在每一条曲线上，对于不同的点，效用函数 U（q 1,q2）的值不变.而随着曲线向右上方移动，U（q 1,q2）的值增加（图中 l2 上的 U 值高于 l1 上的 U 值）.曲线下凸的具体形状则反映了消费者对甲乙两种商品的偏爱情况.这里假定消费者的效用函数 U（q 1,q2） ，即他的无差别曲线族已经完全确定了.设甲乙两种商品的单价分别是 p1 和 p2（元） ，消费者有 s(元) 钱.当消费者用这些钱买这两种商品时所作的选择
16、，即分别用多少钱买甲和乙，应该使效用函数 U（q 1,q2）达到最大，即得到最大的满意度.经济学上称这种最优状态为消费者平衡.因为当消费者对两种商品的购买量分别为 q1 和 q2 时，他用的钱分别为 p1q1 和 p1q2，于是问题归结为在条件p1q1+p2q2=s (2.1)下求比例 p1q1/p2q2，使效用函数 U（p 1,q2）达到最大.这是二元函数的条件极值问题，用拉格朗日乘子法不难得到最优解应满足（2.2）211pu当效用函数 U（q 1,q2）给定后，由（ 2.2）式即可确定最优比例 p1q1/p2q2.上述问题也可用图形法求解.约束条件（2.1）在该图上是一条直线 MN.MN
17、必与无差别曲线族U（q 1,q2）=c 中的某一条曲线相切（图中是与 l2 相切） ，则 q1,q2 的最优值必在切点 Q 处取得.图 266图解法的结果与（2.2）式是一致的.因为在切点 Q 处直线 MN 与曲线 l2 的斜率相同，而 MN 的斜率是 KMN=- p1/p2，l 2 的斜率是 ，在 Q 点处 ，即给出（2.2）式.2122 qUdqKl 2lMNK经济学中 ， 称为边际效用，即商品购买量增加一个单位时效用函数的增量.（2.2）式1qU2表明，消费者均衡状态在两种商品的边际效用之比恰等于它们的价格之比时达到.从以上讨论可见，建立消费者均衡模型的关键是确定效用函数 U（q 1,q
18、2）.下面列举几个常用的效用函数，并分析消费者均衡状态，即最优比例 p1q1/p2q2 的实际含义.（1）若效用函数为（2.3）0,),(2121qU根据（2.2）式可以求得最优比例 p1q1/p2q2 为（2.4）212结果表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例，与商品价格比的平方根成正比.同时与效用函数U（q 1,q2）中的参数 、 有关： 越大购买商品甲的钱越少， 越大购买商品甲的钱越多.这说明在（2.3）式给出的效用函数中，参数 和 分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度.于是调整 和 可以改变消费者对两种商品的爱好倾向，或者说可以改变无差别曲线的具体形状.（2）若效用函数为（2.5）1
19、,0),(211qU根据（2.2）式可以求得最优比例 p1q1/p2q2 为（2.6）2这表明均衡状态下购买两种商品所用钱的比例与价格无关，而参数 和 分别表示消费者对商品甲和乙的偏爱程度.（3）设效用函数为（2.7）0,)(),(2121 baqaqU对（2.7）式的求解及结果分析留给读者.应用这个模型时，可以根据上面的分析决定选用哪一种形式的效用函数，并由经验数据确定其参数.4代表名额的分配问题（1）问题的提出 分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中.分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小
20、到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题.代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型.一个自然的问题是如何分配代表名额才是公平的呢？7（2）模型的分析与建立 在数学上，代表名额分配问题的一般描述是：设名额数为 N，共有 s 个单位，各单位的人数分别为 pi,i=1,2,s.问题是如何寻找一组整数 q1,qs 使得 q1+q2+ qs=N，其中 qi 是第 i 个单位所获得的代表名额数，并且“尽可能”地接近它应得的份额 piN/(p1+p2+ps)，即所规定的按人口比例分配的原则.如果对一切的 i=1,2,s，严格的比值
21、 恰好是整数，则第 i 个单位分得 qi 名额，这)/(1siip样分配是绝对公平的，每个名额所代表的人数是相同的.但由于人数是整数，名额也是整数，q i 是整数这种理想情况是极少出现的，这样就出现了用接近于 qi 的整数之代替的问题.在实际应用中，这个代替的过程会给不同的单位或团体带来不平等，这样，以一种平等、公正的方式选择 qi 是非常重要的，即确定尽可能公平（不公平程度达到极小）的分配方案.设某校有 3 个系（s=3 ）共有 200 名学生，其中甲系 100 名（p 1=100） ，乙系 60 名（p 2=60） ，丙系 40 名（p 3=40）.该校召开学生代表大会共有 20 个代表名
22、额（N=20） ，公平而又简单的名额分配方案是按学生人数的比例分配，显然甲乙丙三个系分别应占有 q1=10,q2=6,q3=4 个名额.这是一个绝对公平的分配方案.现在丙系有 6 名同学转入其他两系学习，这时 p1=103,p2=63,p3=34，按学生人数的比例分配，此时 qi 不再是整数，而名额数必须是整数，一个自然的想法是：对 qi 进行“四舍五入取整”或者“去掉尾数取整” ，这样将导致名额多余或者名额不够分配.因此，我们必须寻求新的分配方案.Hamilton (哈密顿)方法 哈密顿方法具体操作过程如下： 先让各个单位取得份额 qi 的整数部分q i； 计算 ri=qi-qi，按照从大到
23、小的数序排列，将余下的席位依次分给各个相应的单位，即小数部分最大的单位优先获得余下席位的第一个，次大的取得余下名额的第二个，依此类推，直至席位分配完毕.上述三个系的 20 个名额的分配结果见表 21.哈密顿方法看来是非常合理的，但这种方法也存在缺陷.譬如当 s 和人数比例 不)/(1siipN变时，代表名额的增加反而导致某单位名额 qi 的减少.表 21 按哈密顿方法确定的 20 个代表名额的分配方案系别 学生人数 所占比例（%）按比例分配的名额数最终分配的名额数甲 103 51.5 10.3 10乙 63 31.5 6.3 6丙 34 17.0 3.4 4总和 200 100.0 20.0
24、20考 虑 上 述 某 校 学 生 代 表 大 会 名 额 分 配 问 题 .因 为 有 20 个 代 表 参 加 的 学 生 代 表 大 会 在 表 决 某 些 提 案 时可 能 出 现 10： 10 的 局 面 ， 会 议 决 定 下 一 届 增 加 一 个 名 额 .按 照 哈 密 顿 方 法 分 配 结 果 见 表 22.表 22系别 学生人数 所占比例（%）按比例分配的名额数最终分配的名额数甲 103 51.5 10.815 11乙 63 31.5 6.615 7丙 34 17.0 3.570 3总和 200 100.0 21.000 218显然这个结果对丙系是极其不公平的，因为总名
25、额增加一个，而丙系的代表名额却由 4 个减少为 3 个.由此可见，哈密顿方法存在很大缺陷，因而被放弃.20 世纪 20 年代初期，由哈佛大学数学家Huntington（惠丁顿）提出了一个新方法，简述如下.Huntington（惠丁顿）方法众所周知，p i/ni 表示第 i 个单位每个代表名额所代表的人数.很显然，当且仅当 pi/ni 全相等时，名额的分配才是公平的.但是，一般来说，它们不会全相等，这就说明名额的分配是不公平的，并且 pi/qi 中数值较大的一方吃亏或者说对这一方不公平.同时我们看到，在名额分配问题中要达到绝对公平是非常困难的.既然很难作到绝对公平，那么就应该使不公平程度尽可能的
26、小，因此我们必须建立衡量不公平程度的数量指标.不失一般性，我们考虑 A，B 双方席位分配的情形（即 s=2）.设 A，B 双方的人数为 p1,p2，占有的席位分别为 n1,n2，则 A，B 的每个席位所代表的人数分别为 p1/n1，p 2/n2，如果 p1/n1=p2/n2，则席位分配是绝对公平的，否则就是不公平的，且对数值较大的一方不公平.为了刻划不公平程度，需要引入数量指标，一个很直接的想法就是用数值|p 1/n1-p2/n2|来表示双方的不公平程度，称之为绝对不公平度，它衡量的是不公平的绝对程度.显然，其数值越小，不公平程度越小，当|p 1/n1-p2/n2|=0时，分配方案是绝对公平的
27、.用绝对不公平度可以区分两种不同分配方案的公平程度，例如： ,2.4,1,0,912022nPpnp , 212211显然第二种分配方案比第一种更公平.但是，绝对不公平度有时无法区分两种不公平程度明显不同的情况： ,2,10,10,2221 nPnpnp , 212211第一种情形显然比第二种情形更不公平，但它们具有相同的不公平度，所以“绝对不公平度”不是一个好的数量指标，我们必须寻求新的数量指标.这时自然想到用相对标准，下面我们引入相对不公平的概念.如果 p1/n1p2/n2，则说明 A 方是吃亏的，或者说对 A 方是不公平的，称 ),( 122121 npnrA为对 A 的相对不公平度；如
28、果 p1/n1p2/n2，此时 .),(.),(21AArr与前一种情形相比后一种更公平.建立了衡量分配方案的不公平程度的数量指标 rA，r B 后，制定分配方案的原则是：相对不公平度尽可能的小.首先我们作如下的假设：（1）每个单位的每个人都具有相同的选举权利；（2）每个单位至少应该分配到一个名额，如果某个单位，一个名额也不应该分到的话，则应将其剔除在分配之外；（3）在名额分配的过程中，分配是稳定的，不受任何其他因素所干扰.假设 A，B 双方已经分别占有 n1，n 2 个名额，下面我们考虑这样的问题，当分配名额再增加一个时，应该给 A 方还是给 B 方，如果这个问题解决了，那么就可以确定整个分
29、配方案了，因为每个单位至少应分配到一个名额，我们首先分别给每个单位一个席位，然后考虑下一个名额给哪个单位，直至分配完所有名额.不失一般性，假设 p1/n1p2/n2，这时对 A 方不公平，当再增加一个名额时，就有以下三种情形：情形 1：p 1/（n 1+1） p2/n2，这表明即使 A 方再增加一个名额，仍然对 A 方不公平，所以这个名额应当给 A 方；情形 2：p 1/（n 1+1）p2/(n2+1)，这表明 B 方增加一个名额后，对 A 方更加不公平，这时对 A 的相对不公平度为.1)()1,(22npnrA公平的名额分配方法应该是使得相对不公平度尽可能的小，所以若情形 1 发生，毫无疑问
30、增加的名额应该给 A 方；否则需考察 rB(n1+1,n2)和 rA(n1,n2+1)的大小关系，如果 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1)，则增加的名额应该给 A 方，否则应该给 B 方.注意到 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1)等价于，)1()(22np而且若情形 1 发生，仍然有上式成立.记，)1(2iinpQ10则增加的名额应该给 Q 的值较大的一方 .上述方法可以推广到 s 个单位的情形，设第 i 个单价的人数为 pi，已经占有 ni 个名额，i=1,2,，s ，当总名额增加一个时，计算，)1(2iinpQ则这个名额应该分给 Q 值最大的那个单位 .表 23 是利用
31、惠丁顿法重新分配三个系 21 个名额的计算结果.丙系保住了险些丧失的一个名额.表 23 惠丁顿法分配 21 个名额的结果n 甲系 乙系 丙系12345678910115304.5(4)1768.2(6)884.1(7)530.5(10)353.6(11)252.6(13)189.4(16)147.3(17)117.9(19)96.4(20)80.41984.5(5)661.5(8)330.8(12)198.5(14)132.3(18)94.5578（9）192.7(15)96.3(21)11 个 6 个 4 个（3）模型评注 名额（席位）分配问题应该对各方公平是理所当然的，问题的关键是在于建立
32、衡量公平程度的即合理又简明的数量指标.惠丁顿法所提出的数量指标是相对不公平值 rA，r B，它是确定分配方案的前提.在这个前提下导出的分配方案分给 Q 值最大的一方 无疑是公平的.但这种方法也不是尽善尽美的，这里不再探讨.5森林救火模型森林失火了！消防站接到火警后，立即决定派消防队员前去救火.一般情况下，派往的队员越多，火被扑灭的越快，火灾所造成的损失越小，但是救援的开支就越大；相反，派往的队员越少，救援开支越少，但灭火时间越长，而且可能由于不能及时灭火而造成更大的损失，那末消防站应派出多少队员前去救火呢？（1）问题分析 如题中所述，森林救火问题与派出的消防队员的人数密切相关，应综合考虑森林损
33、失费和救援费，以总费用最小为目标来确定派出的消防队员的人数使总费用最小.救火的总费用由损失费和救援费两部分组成.损失费由森林被烧毁的面积大小决定 ，而烧毁面积与失火、灭火（指火被扑灭）的时间（即火灾持续的时间）有关，灭火时间又取决于参加灭火的队员的数目，队员越多灭火越快.救援费除与队员人数有关外，也与灭火时间长短有关.救援费可具体分为两部分：一部分是灭火器材的消耗及消防队员的薪金等，与队员人数及灭火时间均有关；另一部分是运送队员和器材等一次性支出，只与队员人数有关.设火灾发生时刻为 t=0，开始救火时刻为 t=t1，灭火时刻为 t=t2，t 时刻森林烧毁面积为 B（t） ，则造成损失的被烧毁的
34、森林的面积为 B（t 2） ，而 是森林被烧毁的速度，也表示了火势蔓延的程d度.从火灾发生时刻开始到火被扑灭的过程中，被烧毁的森林的面积是不断扩大的，因而 B（t）应是时间 t 的单调非减的函数，即11.从火灾发生到消防队员到达并开始救火这段时间内，火势是越来越大的，即20,tdtB.开始救火以后，即 时，如果队员灭火能力足够强，火势会越来越小，12,tt 21t即 ，并且当 t=t2 时， .212,0ttdtB0dtB在建立数学模型之前，需要对烧毁森林的损失费、救援费及火势蔓延程度 作出合理的假设.dtB（2）模型假设 森林中树木分布均匀，而且火灾是在无风的条件下发生的； 损失费与森林烧毁
35、面积 B（t 2）成正比，比例系数为 c1，即烧毁单位面积的损失费为 c1； 从失火到开始救火这段时间内，火势蔓延程度 与时间 t 成正比，比例系数为 ，称之dtB为火势蔓延速度，即 ;0,1ttd 派出消防队员 x 名，开始救火以后（ ） ，火势蔓延速度降为 （线性化） ，其中x可视为每个队员的平均灭火速度，且有 ，因为要扑灭森林大火，灭火速度必须大于火势 x蔓延的速度，否则火势将难以控制； 每个消防队员单位时间费用为 c2（包括灭火器材料的消耗及消防队员的薪金等） ，救火时间为 t2-t1，于是每个队员的救火费用为 c2(t2-t1)；每个队员的一次性支出为 c3(运送队员、器材等一次性支
36、出) .对于假设 3 可作如下解释：由于森林中树木分布均匀，且火灾是在无风条件下发生的，因而火势可看作以失火点为中心，以均匀速度向四周呈圆形蔓延，因而蔓延半径 r 与时间 t 成正比，又因为烧毁面积 B 与 r2 成正比，故 B 与 t2 成正比，从而 与 t 成正比.dB（4）模型建立 总费用由森林损失费和救援费组成.由假设 2，森林损失费等于烧毁面积 B（t 2）与单位面积损失费 c1 的积，即 c1B(t2)；由假设 5，救援费为 c2x(t2-t1)+c3x，因此，总费用为.xC31)(由假设 3，4，火势蔓延速度 在 内线性地增加，t 1 时刻消防队员到达并开始救火，dt0此时火势用
37、 b 表示，而后，在 内，火势蔓延的速度线性地减少（如图 26） ，即21,),(0, 212ttxtdB因而有 .xbtb12,12烧毁面积为 202,1)(tbtdB恰为图 26 中三角形的面积. 图 26 与时间 t 的关系dtB由 b 的定义有 ，于是)(121txt,212 xbtbt所以，cxcxbcxC321)(2)(其中只有派出的消防队员的人数是未知的.问题归结为如下的最优化问题： .0.)(min0xtsC（5）模型求解这是一个函数极值问题.令 ，容易解得dx.231cb（6）模型分析与改进 应派出的（最优）消防队员人数由两部分组成，其中 是为了把火扑灭所必须的最低限度,因为
38、 是火势蔓延速度，而 是每个队员的平均灭火速度，同时也说明这个最优解满足约束条件，结果是合理的. 派出的队员数的另一部分，即在最低限度基础之上的人数，与问题的各个参数有关.当队员灭火速度 和救援费用系数 c3 增大时，队员数减少；当火势蔓延速度 、开始救火时的火势 b 及损失费用系数 c1 增加时，消防队员人数增加；当救援费用系数 增大时，队员人数也增大.改进方向：i 取消树木分布均匀、无风这一假设，考虑更一般情况；ii 灭火速度是常数不尽合理，至少与开始救火时的火势有关；iii 对不同种类的森林发生火灾，派出的队员数应不同，虽然 （火势蔓延速度）能从某种程度上反映森林类型不同，但对 相同的两种森林，派出的队员也未必相同；iv 决定派出队员人数时，人们必然在森林损失费和救援费用之间作权衡，可通过对两部分费用的权重来体现这一点.
