1、1第八章 一阶电路分析由一阶微分方程描述的电路称为一阶电路。本章主要讨论由直流电源驱动的含一个动态元件的线性一阶电路。含一个电感或一个电容加上一些电 阻元件和独立电源组成的线性一阶电路，可以将连接到电容或电感的线性电阻单口网络用戴维宁诺顿等效电路来代替（如图 81 和 82 所示）。图 8-1 图 8-2我们的重点是讨论一个电压源与电阻及电容串联，或一个电流源与电阻及电感并联的一阶电路。与电阻电路的电压电流仅仅由独立电源所产生不同， 动态电 路的完全响应则由独立电源和动态元件的储能共同产生。仅由动态元件初始条件引起的响应称为零输入响应。仅由独立电源引起的响应称为零状态响应。动态电路分析的基本方
2、法是建立微分方程，然后用数学方法求解微分方程，得到电压电流响应的表达式。81 零输入响应一、RC 电路的零 输入响应图 8-3(a)所示电路中的开关原来连接在 1 端， 电压源 U0 通过电阻 Ro对电容充电，假设在开关转换 以前， 电容电压已经达到 U0。在 t=0 时开关迅速由 1 端转换到 2 端。已经 充电的电容脱离电压源而与 电阻 R 并联，如图(b)所示。图 8-3我们先定性分析 t0 后电容电压 的变化过程。当开关倒向 2 端的瞬间，电容电压不能跃变，即由于电容与电阻并联，这使得 电阻电压与电容电压相同，即电阻的电流为0C)(0UuR2该电流在电阻中引起的功率和能量为电容中的能量
3、为随着时间的增长，电阻消耗的能量需要 电容来提供， 这造成 电容电压的下降。一直到电容上电压变为零和电容放出全部存储的能量为止。也就是电容电压从初始值 uC(0+)=U0 逐渐减小到零的变化过程。 这一 过程变化的快慢取决于电阻消耗能量的速率。为建立图(b)所示电路的一阶微分方程，由 KVL 得到由 KCL 和电阻、电容的 VCR 方程得到代入上式得到以下方程这是一个常系数线性一阶齐次微分方程。其通解 为代入式(81) 中，得到特征方程其解为称为电路的固有频率。于是电容电压变为式中 K 是一个常量，由初始条件确定。当 t=0+时上式变为根据初始条件求得最后得到图 83(b)电路的零输入响应为R
4、Ui0)(tdiRWtitp 022)()()( )(1)(Ctt0RutuCid)18(0dCtustKte)()28(01R3Cs中0 te)(CRttut)0(0C)(Uu0K3从式 84 可见，各电压电流的 变化快慢取决于 R 和 C 的乘积。令 t =RC，由于 t 具有 时间的量纲，故称它 为 RC 电路的时间常数。引入 t 后，式 84 表示为图 84 RC 电路零输入响应的波形曲 线下面以电容电为例 ，说明电压的变化与时间常数的关系。tceUtu0)(当 t=0 时，u C(0)=U0，当 t= 时 ，uC( )=0.368U0。表 81 列出 t 等于0， ，2 ，3 ，4
5、，5 时的 电容电压值，由于波形衰减很快，实际上只要经过 45 的时间就可以认为放电过程基本结束。t 0 23 45 uc(t) U0 0.368U0 0.135U0 0.050U0 0.018U0 0.007U0 0电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为计算结果证明了电容在放电过程中释放的能量的确全部转换为电阻消耗的能量。由于电容在放电过程中释放的能量全部转换为电阻消耗的能量。电阻消耗能量的速率直接影响电容电压衰减的快慢，我 们可以从能量消耗的角度来说明放电过程的快慢。例如在电容电压初始值 U0 不 变的条件下，增加电容 C，就增加电容的初始储能，使放电过程的时间 加长；若增加电阻 R，电阻电
6、 流减小， 电阻消耗能量减少，使放电过程的时间 加长。这就可以解释当时间常数 t=RC 变大，电容放电过程会加长的原因。例 8-1 电路如图 85(a)所示，已知电容电压 uC(0-)=6V。t=0 闭合开关，求 t 0 的电 容电压和电容电流。)c48()0( e)( bda 0CRtUtiuttRtt )c58(0 e)(bda0CR ttiutt 22R1d)e(d)(CtRtiW4图 8-5解：在开关闭合瞬间，电容电压 不能跃变，由此得到将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻，其 电 阻值为得到图(b)所示电路，其 时间常数为根据式 85 得到电阻中的电流 iR(t)可以用与 i
7、C(t)同样数值的电流源代替电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)二、RL 电路的零输入响应我们以图 86(a)电路为例来 说明 RL 电路零输入响应的计 算过程。图85 例81 V6)0()(Cuk13oRs. 02630mAe6.d)()(V203 C2 0UtuittttmAe2.6.3)( 00Cttti 5图 8-6电感电流原来等于电流 I0，电感中储存一定的磁场能量，在 t=0 时开关由 1 端倒向 2 端，换路后的 电路如图(b)所示。在开关转换瞬间，由于电感电 流不能跃变，即 iL(0+)= iL(0-)= I0 ，这个电感电流通过电阻 R 时引起能量的消耗，这就造成电感电
8、流的不断减少，直到电流变为零为止。综上所述，图(b)所示 RL 电路是电感中的初始储能逐渐释放出来消耗在电阻中的过程。与能量变化 过程相应的是各电压电流从初始 值，逐 渐减小到零的过程。列出 KCL 方程代入电感 VCR 方程得到以下微分方程这个微分方程与式(81)相似，其通解 为代入初始条件 iL(0+)=I0 求得 K=I0最后得到电感电流和电感电压的表达式为其波形如图所示。RL 电路零输入响应也是按指数规律衰减，衰减的快慢取决于常数 。由于 =L/R 具有时间的量纲，称 为 RL 电路的时间常数。图 8-7例 8-2 电路如图 88(a)所示，开关 S1 连接至 1 端已经很久，t=0
9、时开关 S 由 1 端倒向 2 端。求 t0 时的电感电流 iL(t)和电感电压 uL(t)。0LRiuidtiuLR)68(it)(e)(tKtitR)b78( d)(a 0L 0teItiutRt6图 8-8解：开关转换瞬间，电感电流不能 跃变，故将连接到电感的电阻单口网络等效为一个的电阻，得到的电路如图(b)所示。该电路的时间常数为根据式 87 得到电感电流和电感电压为通过对 RC 和 RL 一阶电路零输入响应的分析和计算表明，电路中各电压电流均从其初始值开始，按照指数 规律衰减到零，一般表达式为因为电容或电感在非零初始状态时具有初始储能，各元件有初始电压电流存在，由于电阻要消耗能量，一
10、直要将储能元件的储能消耗完，各电压电流均变为零为止。82 零状态响应初始状态为零，仅仅由独立电 源(称为激励或输入)引起的响 应，称为零状态响应。本节只讨论由直流 电源引起的零状态响应。一、RC 电路的零状 态响应图 8-9(a)所示电路中的电容原来未充电，u C(0-)=0。t=0 时开关闭合，RC 串联电路与直流电压源连 接， 电压源通过电阻对电容充 电。其电压电流的变化规律，可以通 过以下计算求得。(a) t0 的电路图 8-9其电压电流的变化规律，可以通 过以下计算求得。以电容电压为变量，列出图(b)所示电路的微分方程A1.0)()0(Liims2H.3中R)0( Ve210.d)(
11、e3331L 0 ttiuIttttft e)(SCRUui)8(dt7这是一个常系数线性非齐次一阶微分方程。其解答由两部分组成，即式中的 uCh(t)是与式（88）相 应的齐次微分方程的通解，其形式与零输入响应相同，即式(89)中的 uCp(t)是式(88)所示非齐次微分方程的一个特解。一般来说，它的模式与输入函数相同。对于直流电源激励的电路，它是一个常数，令将它代入式(88)中求得因而式中的常数 K 由初始条件确定。在 t=0+时由此得到代入式(810)中得到零状态响应为其波形如图(810)所示。图 810 RC 电路的零状态响应曲线从上可见，电容电压由零开始以指数 规律上升到 US，经过
12、一个时间常数变化到(1-0.368) US=0.632US，经过(45)t 时间后电容电压实际上达到US。电容电流则从初始值 US/R 以指数规律衰减到零。零状态响应变化的快慢也取决于时间常数 t =RC。当时间常数 t 越大，充 电过 程就越长。)9()CphCt)0(e)( htKtRtstQtu)(Cp )8(dSCUtSp)(t )108(e CphCtutRt0)0(SU)e1() CRttu)b8(0ed)( a1 S CSttiuRtt)e1()Cttu C(ti8例 8-3 电路如图 8-11(a)所示，已知电容电压 uC(0-)=0。t=0 打开开关，求 t0 的 电容电压
13、uC(t),电容电流 iC(t)以及电阻电流 i1(t)。图 8-11解：在开关闭合瞬间，电容电压 不能跃变，由此得到先将连接于电容两端的含源电阻单口网络等效于戴维宁等效电路，得到图(b)所示电 路，其中电路的时间常数为当电路达到新的稳定状态时，电容相当开路，由此求得按照式(811)可以得到为了求得 i1(t)，根据 图（a）所示电路，用 KCL 方程得到二、RL 电路的零状态响应RL 一阶电路的零状态响应与 RC 一阶电路相似。图 8-12 所示电路在开关转换前，电感电流为零，即 iL(0-)=0。当 t=0 时开关由 a 倒向 b，其电感电流和电感电压的计算如下：图 812 RL 电路的零
14、状态响应以电感电流作为变量，对图(b)电路列出电路方程这是常系数非齐次一阶微分方程，其解答 为30oRV12ocU0)(Cu)0(Cu3oRV12ocUs30F04612)(ocC)0(Ae4.030d)( )(Ve413 1 6C c tuti tUttt )().)(41 StIti tSLIiRU)128( 0dtt3e)()( S S LphLIKItiti tt9式中 t =L/R 是该电 路的时间常数。常数 K 由初始条件确定，即由此求得最后得到 RL 一阶电路的零状 态响应为其波形曲线如图 813 所示。图 813 RL 电路零状态响应的波形曲线例 84 电路如图 8-14(a)
15、所示，已知电感电流 iL(0-)=0。t=0 闭合开关，求 t0 的 电感电 流和电感电压。图 8-14解：开关闭合后的电路如图(b)所示，由于开关闭合瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即将图(b)中连接电感的含源电阻单口网络用诺顿等效电路代替，得到图(c)所示 电路。由此电路求得时间常数为按照式(814)可以得到假如还要计算电阻中的电流 i(t)，可以根据图(b) 电路，用欧姆定律求得例 8-5 图 8-15(a)为一个继电器延时电路的模型。已知继电器线圈参数为：R =100W，L=4H，当线圈 电流达到 6mA 时，继电器开始动作，将触头接通。从开关闭合到触头接通 时间称为延时时间。 为
16、了改变 延时时间，在电路中串联一个电位器，其电阻 值可以从零 到 900W 之间变化。若US=12V，试求 电位器电阻值变化所引起的延时时间的变化范围。0)0(SLIiiSIK)e1( tLRti)b48()0ed)( a (1S LtIRtiutt0)(0Liis5.84oRA)e1(.)20Ltti)V.0d)(e1.202L ttiuttt A)e5.0124e36)(V)( 20tttti 10图 8-15解：开关闭合前，电路处于零状 态， iL(0-)=0。开关转换瞬间电感电压有界，电感电流不能跃变，即 iL(0+)=iL(0-)=0。将 电路用图 8 15(b)所示诺顿等效电路代替
17、，其中电感电流的表达式为设 t0 为延时时间，则有由此求得当 Rw=0W 时，t =0.04s当 Rw=900W 时 ，t =0.004s83 完全响应由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称 为 全响应。下面讨论 RC 串联电路在直流电压 源作用下的全响应。 电路如 图 8-16(a)所示，开关连接在 1 端为时已经很久， uC(0-)=U0。t=0 时开关倒向 2 端。 t 0 时的电路如图 8-16(b)所示。图 8-16为了求得电容电压的全响应，以 电容电压 uC(t)为变量，列出图(b)所示电路的微分方程其解为代入初始条件oWscWo RUIRS)e1( oSLtUimA6)
18、e1( oS0L0tiS0lni s05.216l4.)(1l 30Lo0 it m7.ln.)(ln3S0o0Uit)158()0dSCtUutRS phe)()(KttRCt11求得于是得到电容电压以及电容电流的表达式第一项是对应微分方程的通解 uCh(t)，称为电路的固有响应或自由响应，若时间常数 t 0，固有响 应将随时间增长而按指数规律衰减到零，在这种情况下，称它为瞬态响应。第二项是微分方程的特解 uCp(t)，其变化规律一般与输入相同，称为强制响应。在直流输入时，当 t时， uC(t)=uCp(t) 这个强制响应称为直流稳态响应。以上两种叠加的关系，可以用波形曲线来表示。利用全响
19、应 的这两种分解方法，可以简化电路的分析 计算， 实际电路存在的是电压电 流的完全响应。(a) 全响应分解为固有响应与 强制响应之和(b) 全响应分解 为零输入响 应与零状态响应之和 图 8-17例 8-6 图 8-18(a)所示电路原来处于稳定状态。 t=0 时开关断开，求t0 的 电 感电流 iL(t)和电感电压 uL(t)。图 8-18解：在 t0 时的电路中，用诺顿等效电路代替连接电感的含源电阻单口网络，得到图(b)所示 电路，该电 路的微分方程为S0C)(UKuSKS 0Ce)()tuRCtS S0CphC)()() ttuRt中中 168eS 0UtA25.04V)(SLUi12其
20、全解为式中代入上式得到代入初始条件可以得到于是其中第一项是瞬态响应，第二 项是稳态响应。 电路在开关断开后，经过(45)t 的时间 ，即经过(8 10)ms 的过渡时期，就达到了稳态。电感电流 iL(t)的全响应也可以用分别计算出零输入响应和零状态响应，然后相加的方法求得。电感电 流 iL(t)的零输入响应为电感电流 iL(t)的零状态响应为iL(t)的全响应为零输入响应与零状态响应之和电感电压的全响应可以利用电感元件的 VCR 方程求得)0(dscLotIitR)()()(Lp LphLtiKetiti tA2.0 ms20.5H1sc0 ItiRA.e)(Ltti25.0)(Lii.K)0
21、(A).e. tte25.0 t)A1(.0 p“ tt)0(Ve5.2d0Lttiu13例 8-7 电路如图 8-19(a)所示。已知 uC(0-)=4V，uS(t)=(2+e-2t)V，求 电容电压 uC(t)的全响应。图 8-19解：将全响应分解为(零输入响 应) (2V 电压源引起的零状态响应)(e -2t 电压 源引起的零状态响 应) 。现在分别计算响应的几个分量然后相加得到全响应。首先列出图(a)电路的微分方程和初始条件1. 求电路的零输入响应见图 (b)电路列出齐次微分方程和初始条件求得2.求 2V 电压源引起的零状态 响应 见图(c) 电路列出微分方程和初始条件由此求得3. 求
22、 2e-2tV 电压 源引起的零状态响应见图(d)电路列出微分方程和初始条件其解为设)0( A)2.0.5e1() 5 “L ttitittV4)0( )18()0)e2dCuttt4)0( )198()0dCutttttRe)(s1FC 0)()208(2dCutt)e1()S“ ttU)(280edC2tut)()()(“Cp“pCh“ tuKtttAu2e14并将它代入到式 821 所示微分方程中可以得到由此求得代入上式代入初始条件，t=0 时，由此得到 K=1,最后求得零状态响应4.最后求得全响应如下84 三要素法本节专门讨论由直流电源驱动的只含一个动态元件的一阶电路全响应的一般表达式
23、，并在此基础上推 导出三要素法。一、三要素法仅含一个电感或电容的线性一阶电路，将 连接动态元件的 线性电阻单口网络用戴维宁和诺顿等效电路代替后，可以得到 图 8-20(a)和(b)所示的等效电路。图 820 (a)RC 一阶电路 (b)RL 一阶电路图(a)电路的微分方程和初始条件 为图(b)电路的微分方程和初始条件为上述两个微分方程可以表示为具有统一形式的微分方程其通解为如果 t0，在直流输入的情况下，t 时，f h (t)0，则有tttA22ee ttu Cp1)( ttu2“Ce1)(0)(“ Vt中中中中2)e3( 4)( 2Cttt t图820 (a)RC一阶电路 (b)RL一 阶电
24、路0Coco)280(dUuttR0Lsco)3(IittG(248 )(dftAtKtft phe)()15因而得到由初始条件 f (0+)，可以求得于是得到全响应的一般表达式这就是直流激励的 RC 一阶电 路和 RL 中的任一响应的表达式 (可以用叠加定理证明) 。其波形曲线如图 821 所示。由此可见，直流激励下一阶电路中任一响应总是从初始值 f (0+)开始，按照指数规律增长或衰减到稳态值 f ()，响 应变化的快慢取决于电路的时间常数 t 。图 821 直流激励下一阶电路全响应的波形曲线 由此可见，直流激励下一阶电 路的全响应取决于 f (0+)、 f ()和 t 这三个要素。只要分
25、别计算出这三个要素，就能够确定全响应，也就是说，根据式(8-25) 可以写出响 应的表达式以及画出 图 8-21 那样的全响应曲线，而不必建立和求解微分方程。这种 计算直流激励下一阶电路响 应的方法称为三要素法。用三要素法计算含一个电容或一个电感的直流激励一阶电路响应的一般步骤是:1. 初始值 f (0+)的计算(1) 根据 t0 的电路，将电容用开路代替或电感用短路代替，得到一个直流电阻电路，再从此电路中计 算出稳态值 f ()。3. 时间常数 t 的计算先计算与电容或电感连接的线性电阻单口网络的输出电阻 Ro，然后用以下公式 t =RoC 或 t =L/Ro 计 算出时间常数。 4. 将
26、f (0+)，f ()和 t 代入下式得到响应的一般表达式和画出图 821 那样的波形曲线。例 8-8 图 8-22(a)所示电路原处于稳定状态。 t=0 时开关闭 合，求 t0的电容电压 uC(t)和电流 i(t)，并画波形图。图 8-22解：1. 计算初始值 uC(0+)开关闭合前，图(a)电路已经稳定，电容相当于开路，电流源电流全部流入 4W 电阻中，此 时电容电压 与电阻电压相同由于开关转换时电容电流有界， 电容电压不能跃变，故2. 计算稳态值 uC()开关闭合后，电路如图(b)所示，经过一段时间，重新达到 稳定状态， 电容相当于开路，根据用开路代替电容所得到一个电阻电路，运用叠加定理
27、求得 3.计算时间常数 t计算与电容相连接的电阻单口网络的输出电阻，它是三个电阻的并联 时间常数4. 将 uC(0+)=8V, uC()=7V 和 t=0.1s 代入式(8 25)得到响应的一般表达式 V8A24)0(C 7V52104V214)(C u214oRs.0Fo)(e)()( fftft )0(A )e5.01(.e)5.1() 10 tti tt17求得电容电压后，电阻电流 i(t)可以利用欧姆定律求得也可以用叠加定理分别计算 2A 电流源，10V 电压源和电容电压 uC(t)单独作用引起响应之和电阻电流 i(t)还可以利用三要素法直接求得由于电路中每个响应具有相同的时间常数，不
28、必重新 计算，用三要素公式得到值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变，i (0+)=1Ai(0-)=1.667A，因而在电流表达式中，标明的时间范围是 t0，而不是t0。例 8-9 图 8-23 示电路中，开关 转换前电路已处于稳态，t=0 时开关 S由 1 端接至 2 端，求 t0 时的电感电流 iL(t)，电阻电流 i2(t)，i3(t)和电感电压 uL(t)。 图 8-23解：用三要素法计算电感电流。1. 计算电感电流的初始值 iL(0+) 直流稳态电路中， 电感相当于短路，此时电感电流为开关转换时，电感电压有界。电感电流不能跃变，即2. 计算电感电流的稳态值 iL()0(Ve17
29、e)78(010C tutt )0(A)0.5e1 2e710)(V)(0c ttuti tCt)0(A0.5e1 321)(C“ ttuititt.2V)(18CiumA102)(i)(Li18开关转换后，电感与电流源脱离，电感储存的能量释放出来消耗在 电阻中，达到新的稳态时，电感电流为零，即3. 计算时间常数 t与电感连接的电阻单口网络的等效电阻以及时间常数为4. 计算 iL(t)， uL(t)， i2(t)和 i3(t)。将 iL(0+)=10mA,iL()=0 和 t=110-7s 代入式(825) 得到电感电流的表达式然后根据 KCL，KVL 和 VCR 求出其它电压电流)0(551
30、)() )0(207 77771 1032 3103tmAemAeeiti tVKt ttL tt例 8-10 图 8-24(a)所示电路在 t=0 时闭合开关，求 电容电压 uC(t)和电流 i2(t)的零状态 响应。图 8-24解：在开关闭合以后，与电容连 接的含有独立电压源和受控源的 电阻单口网络用图 8-24(c)所示的戴 维宁等效电路代替，其中10k1027o R)(Li )0(mAe10e)01() 7713 tt tt)( d73Litut21S2oc)()(RUriU19用外加电源法求图 824(b)所示电阻单口网络的输出电阻 Ro时间常数为用三要素公式得到电容电压的表达式从图
31、 824(a)电路中开关闭合后的 电路求得电流 i2(t)二、包含开关序列的直流一阶电 路本小节讨论的直流一阶电路中包含有在不同时刻转换的开关，在开关没有转换的时间间隔内，它是一个直流一 阶电路，可以用三要素法来计算。对于这一类电路，我们可以按照开关 转换的先后次序，从 时间 上分成几个区间，分别用三要素法来求解 电路的响应。图 8-25解：1. 在 0t0.1s 时间范围内响 应的计算S1 闭合后，i L(0+)=iL(0-)=0，处于零状态，电感电流为零状态响应。可以用三要素法求解2. 在 t0.1s 时间范围内响应的计算仍然用三要素法，先求 t=0.1s 时刻的初始值。21212o )(
32、)()(RriiriRu21)C(r 0)e1()(e() S21 ocC URrtutt s1.02HA 5.02V)(1S RRUi ).()e(.1L tt)s( e7.2181)()2(90 otutt20此后的电感电流属于零输入响应，i L()=0。在此时间范围内电路的时间常数为根据三要素公式（825）得到电感电流 iL(t)的波形曲线如图(b)所示。在 t=0 时，它从零开始，以时间常数 t1=0.1s 确定的指数规律增加到最大值 0.316A 后，就以时间常数t2=0.0667s 确定的指数规律衰减到零。例 8-12 图 8-26(a)所示电路中，开关断开已经很久， t=1s 时
33、开关 S 闭合，t =2s 时开关 S 重新断开，试求 t0 电容电压 uC(t)和电阻 电压 uo(t)。 图 8-26解：本题要求计算电容电压和 1.6k 电阻电压，先将电路其余部分用戴维宁等效电路代替，得到开关 S 断开和闭合时的等效电路如图 826(b)和(c)所示，再从时间上分段计算。1. 1st2s 区间 内响应的计算0.316A)e1(5.0).Lis067.3212R).(e36.)()s1.0(5.L2 stittt 0)1.(A.).()s1.(5.L2 stit tt 图8-2621根据得到电容电压为2. t2s 区间内响应的计算得到用三要素法也可以求出电压 uo(t)，
34、读者可以检验以下计算结果是否正确。画出 uC(t)和 uo(t)的波形如图 826(d)和(e) 所示。三、分段恒定信号激励的一阶电 路通过电路中的开关可以将一个直流电源接通到某些电路中，它们所起的作用等效于一个分段恒定信号的时变电源。例如 图(a) 所示包含的开关电路，其输出电压 u(t)等效于图(b)所示的一个时变电压源，其电压波形如图827(c)所示。假如 t=t0 时刻开关再由 2 端转换到 1 端，使其输出电压为零，此时图(a)电路等效于产生图(d)所示的脉冲波形的时变电压源。图 827 利用开关的转换产生分段恒定信号例如对于图(b)所示波形的电压源作用于图(a)所示的 RC 串联电
35、路，用三要素法容易画出 iC(t)、uC(t)的波形，如图(c)和(d)所示。注意到电容电压的波形是连续的，而电容电流波形在 t=0 时是不连续的。图 8-28 用三要素法求分段恒定信号激励的一阶电路响应s9.012503.6V,)(16CC)s21( 410)(9.1Cteut25V6)(,8.e0)(63 C9./1Cu8.)2(t22例 8-13 电路如图 8-29(a)所示，独立电流源的波形如图(b)所示，求电感电流的响应，并画出波形曲 线。图 8-29解：按照波形的具体情况，从时间 上分三段用三要素法求电 感电流的响应。1. t0 , iS(t)=0，由此得到2. 0t1ms , i
36、S(t)=10mA(1) 计算初始值 iL(0+)(2) 计算稳态值 iL()(3) 计算时间常数 t(4) 利用三要素公式得到3. 1mst0 时，e (-t)=0，如图(d)所示。图 830 阶跃函数当直流电压源或直流电流源通过一个开关的作用施加到某个电路时，有时可以表示为一个阶跃电压或阶跃电流作用于该电路。例如图 (a)所示开关电路，就其端口所产生的电压波形 u(t)来说，等效于图(b)所示的 阶跃电压源 U0e(t)。图(c)所示开关电路，就其端口所产生的电流波形 i(t)来说，等效于图(d) 所示的阶跃电流源 I0e(t)。图 831 用阶跃电源来表示开关的作用与此相似，图(e) 所
37、示电路等效于图(f) 所示阶跃电压源 U0e (-t)；图(g) 所示电路等效于图 831(h) 所示阶跃电流源 I0e(-t)；引入阶跃电压源和阶跃电流源，可以省去电路中的开关，使电路的分析研究更加方便，下面举例加以说明。24例 8-14 电路如图 832(a)所示，求 t0 时电感电流 iL(t)。图 832解：图(a)电路中的阶跃电压源 10e(-t)V，等效于开关 S1 将 10V 电压源接入电路；阶跃电流源 2e(t)A，等效于开关 S2 将 2A 电流源接入电路，如图(b)所示。就电感 电流来说，图 (a)和(b)是等效的。根据 图(b)电路，用三要素法容易求得电感电流 iL(t)
38、。1. 计算电感电流的初始值 iL(0+)2. 计算电感电流的稳态值 iL()3. 计算电路的时间常数 t4. 根据三要素公式写出电感电流的表达式此题说明如何用三要素法来计算含有阶跃电压源和阶跃电流源的电路。阶跃函数还可以用来表示时间上分段恒定的电压或电流信号，例如图8-33(a)所示方波电压信号，可以用图(b)所示两个阶跃电压源串联来表示；图(c) 所示方波电流信号，可以用图(d)所示两个阶跃电流源并联来表示。对于线性电路来说，这种表示方法的好 处在于可以应用叠加定理来 计算电路的零状态响应，在此基础上，采用积分的方法还可以求出电 路在任意波形激励时的零状态响应图 8-33A5.01V0)(
39、Li2)(Li 5ms0.)1(.oHR)(A)e5.( )20Lttitt25例 8-15 用阶跃电流源表示图 8-33(b)所示的方波电流，再次求解电路中电感电流的响应，并画出波形曲 线。图 8-33解：图(b)所示的方波电流，可以用两个阶跃函数 iS(t)=10e (t)-10e (t-1ms)mA 表示。由于该电路是线性电路，根据 动态电路的叠加定理，其零状态响应等于 10e(t)和-10e (t-1ms)两个阶跃电源单独作用引起零状态响应之和。1. 阶跃电流源 10e(t)mA 单独作用时，其响应为2. 阶跃电流源-10e(t-1ms)mA 单独作用时，其响 应为3. 应用叠加定理求
40、得 10e(t)和-10e( t-1ms)共同作用的零状态响应为分别画出 和 的波形，如曲 线 1 和 2 所示。然后它们相加得)(tiLti到 iL(t)波形曲线 ，如曲 线 3 所示。二、阶跃响应单位阶跃信号作用下电路的零状态响应，称 为电路的阶跃 响应，用符号 s(t)表示。它可以利用三要素法计算出来。 对于图(a) 所示 RC 串联电路，其初始值 uC(0+)=0，稳态值 uC()=1，时间常数为 t=RC。用三要素公式得到电容电压 uC(t)的阶跃响应如下所示。对于图(b)所示 RL 并联电路，其初始值 iL(0+)=0，稳态值 iL()=1，时间常数 为 t=L/R。利用三要素公式
41、得到电感电流 iL(t)的阶跃响应如下所示。图 8-35mA )(10)0Lti ss1“tit )( 0 10 )ms“ tt)(e1)(ttsRC)(e1tsLR26以上两个式子可以用一个表达式表示如下：其中时间常数 t=RC 或 t=L/R。已知电路的阶跃响应，利用叠加定理容易求得在任意分段恒定信号激励下线性时不变电路的零状态响应，例如 图 8-36(b)所示信号作用图 8-36(a)所示 RC 串联电路时，由于图(b)所示信号可以分解为下面所示的若干个延迟的阶跃信号的叠加。图 8-36图 836 RC 串联电路在分段恒定信号激励下的零状态响应其电容电压 uC(t)的零状态响 应可以表示
42、为例 8-16 图 8-37(a)是 RC 分压器的电路模型， 试求输出电压 uC2(t)的阶跃响应。图 8-37 RC 分压器的电路模型解：由于将图(a)所示电路中的 电压源用短路代替后， 电容 C1 和 C2 并联等效于一个电容，说明该电 路是一阶电路，其时间常数为现在计算初始值 uC2(0+)。在 t0 时，该电路是由 1V 电压 源激励的一阶电路，可以用三要素法计算。当 t电路达到直流稳态时， 电容相当开路，输出电压的稳态值为用三要素公式得到输出电压的表达式为由上可见，输出电压的稳态分量由两个 电阻的比值确定，其暂态分量还与两个电容的比值有关。我 们改变电容 C1 可以得到三种情况：当
43、 R1C1=R2C2 时，暂态分量为零，输出电压马上达到稳态值，这种情况称为完全补偿；当 R1C1R2C2 时，暂态分量不为零， 输出电压要经过一段时间才达到稳态值，前者称 为欠补偿，后者称 为过补偿。* 86 冲激函数和冲激响应一、 冲激函数图 8-38在介绍冲激函数之前，先看图 8-38(a)所示电路，开关原来倒向 a 点，由 2V 电压源对电容 C1 充电，使其 电压达到 2V，电容上有 2 库仑电荷。开关在 t=0 时刻倒向 b 点后，将有 1 库仑电荷从电容 C1 上移动到电容 C2 上，使电容上的电压逐渐达到 uC1()=uC2()=1V。当电阻 R 为不同数值时，电容上的电压 u
44、C2(t)以及电荷移动所形成的电容电流 iC(t)，如图(c)和(e)所示。0)()0(2C1uV212Cu)(212CRV )(e)(21212 ttu28由图 8-38 可见，当电路中的电阻分别为 R=2W、1W、0.5W 时，u C2(t)和 iC(t)的波形如图所示。注意到 电容 C1 上移动到电容 C2 上的电荷量，即电容电流对时间的积分(电容 电流对时间轴之间的面积) 均 为 1 个单位，即路中电阻 R 趋于零时，电容电压 uC2(t)波形趋于一个单位阶跃，如图(d)所示。而电容电流 iC(t)的波形将 变为初始值 iC(0+)趋于无限大，时间常数无限小(波形的 宽度趋于零)，而面
45、 积( 电荷量)为一个单位的脉冲，这个极限的波形称为单位冲激电流，用 d(t)表示。当且仅当其满足以下两个性质时，一个无界的信号 d(t)称为单位冲激函数当图 8-38(a)电路中电压源的电压增大时，从 电容 C1 上移动到电容 C2的电荷量以及相应的电流脉冲的面积也将增加，此 时图(f)得到的冲激电流为 Ad(t)。例如电压源电压 US=20V，开关在 t=5s 时刻由 a 点倒向 b 点，则冲激电流发生在 t=5s 时刻，根据式 8-28，所 产生的冲激电流应该 表示为这个冲激电流使电容 C2 在 t = 5s 时刻，迅速获得 10 库仑的电荷，使 1F 电容 C2 的 电压压发生 10V
46、 的跃变，由 uC2(5-)=0V 跃变到 uC2(5+)=10V。这是一个延迟的阶跃，如图(c)所示。由于冲激电流在 t=5s 时刻，将 10库仑电荷迅速投到 5F 电容的极板上，使 电容电压发生 2V 的跃变，由 uC(5-)=0V 跃变 到 uC(5+)=2V。图 839 冲激电流通过电容引起电容电压发生阶跃从以上叙述可以看出单位阶跃函数与单位冲激函数之存在以下关系5.0de 0. S 0 UtiQRt)28(0 ,1d)(012 2t中A)5(10)ti V)5(d)5)( Sttitqt-)308( d)( 2929二、冲激响应单位冲激信号作用下电路的零状态响应，称 为电路的冲激响
47、应，用符号 h(t)表示。计 算任何线性时不变电路冲激响应的一个方法是先求出电路的阶跃响应 s(t)，再将它对时间求导即可得到冲激响应，即利用下式由电路的阶跃响应计算出电路的冲激响应例如图 835(a)所示 RC 串联电路的单位阶跃响应为其冲激响应为由于 t=0 时，而 t0 时，t )=0，因此得到，最后得到图 8-40 所示 RC 串联电路电容电压的冲激响应。与此相似，可以得到图 8-41 所示 RL 并联电路中电感电流的冲激响 应。图 8-40 图 8-41以上两种情况的冲激响应可以用一个表达式表示如下：计算冲激响应的另一种方法是先求出面积为 1 个单位的矩形脉冲的响应，然后求脉冲宽度趋于零的极限。当0 时，P D(t)趋向于单位冲激，如图(g) 所示，即)318(dt)( e()ttsRCt )(e1)(e1dt tRChtRCt ( t0)e1tRC图840
