1、辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 5.2.1 页2 化二次型为标准形教 学 目 的 通过 2 学时的教学，使学生理解化二次型为标准形的定理及其矩阵形式，基本掌握化二次型为标准形的配平方法与矩阵合同变换方法教 学 内 容本节讨论用非退化的线性替换化简二次型的原理与方法2.1 配平方方法可以认为，二次型中最简单的形式是只包含平方项的二次型 (1)221nxdxd这一节的主要结果是定理 5.2.1 数域 F 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成平方和(1)的形式证 下面的证明实际上是一个具体把二次型化成平方和的方法，其思路就是中学里学过的“配方法” 我们对文字的个数 n 作归纳
2、法当 n=1 时，二次型就是21)(xaf已 经 是 平 方 和 了 现 假 定 对 n1 元 的 二 次 型 ， 定 理 的 结 论 成 立 再 设)(),(21 jiijijjiaxf 分三种情形来讨论1) 中 至 少 有 一 个 不 为 零 ， 不 妨 设 这 时),(nia 0121xf nijijnjjxaxa2211ijijjjnjja2)()(，nijijjj xbxxa211这 里 是 的 一 ijijnjjnijij aab22 )( nx,32个二次型令辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 5.2.2 页，nnjjyxyayx 211这是一个非退化线性替换，它使ni
3、jijnybaf 2121),(由归纳假定，对 有非退化线性替换nijijyb2，nnn nycyczz 3233232能使它变成平方和2zdzd于是，非退化线性替换，nnycycz 2221就使 变成),(21nxf，22121),( nzdzaf 即变成平方和了根据归纳法原理，定理得证2)所有 ，但是至少有一 ，不妨设 令0ia)(0jj 012anzxzx 3212它是非退化线性替换，且使 2121),(xaf )(zza，这时上式右端是 的二次型，且 的系数不为零，属于第一nz,21 21种情况，定理成立辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 5.2.3 页3) 由对称性，有 0
4、112naa 01312naa这时 nijjixxf221),(是 n1 元 二 次 型 ， 根 据 归 纳 假 定 ， 它 能 用 非 退 化 线 性 替 换 变 成 平 方 和 综上，定理得证 二次型 经过非退化线性替换所化成的平方和称为),(21nxf的一个标准形 ),(21nxf例 1 化 二 次 型 为 标 准 形 312136, xxf 解法 1 作非退化线性替换，3212yx则 3213212121321 )()(6)(),( yyyxf 384y38y再令 321zy则 221218),(zxfn 23216)(zz最后令 321wz则得其平方和 2321216),(xf 将这
5、几次线性替换的结果汇总，得 32321 1001wx 3210w2.2 矩阵合同变换方法定义 1 设 AM n(F)，若在 F 上对 A 施行一次列的初等变换，又对 A 施行一次相应的行的初等变换，则称对 A 施行一对相应的初等变辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 5.2.4 页换或一次初等合同变换不难发现，用矩阵论的语言定理 5.2.1 可以叙述为定理 5.2.2 若 Mn(F)是对称矩阵，则可经过 F 上有ijaA)(限次相应的初等合同变换把 A 变为B=diag ， (2)0,21 rc这里 r=rankA当 r0 时， 因此存在 F 上 n 阶可逆矩,c阵 P，使得P证 先对
6、 A 的阶 n 用数学归纳法证明 AB当 n=1 时定理显然成立今设 n1若 A=0，则 A 已是对角形式设 A，我们分两种情形证明：1)设 A 的主对角线上元素不全为零，例如 若 i1，则交0ia换 1、i 两列，再交换第 1、i 两行，便把 换到左上角因此可不妨i设 用 乘 A 的第 1 列加到第 j 列，再用 乘第0aja ja1 行 加 到 第 j 行 ， 便 把 A 的 (j， 1)、 (1， j)元 素 都 变 为 0 注 意 A 对 称 ， = ，故所作变换是一次初等合同变换这样1经过有限次相应初等合同变换，A 便化为T=diag ),(1a根据初等矩阵与初等变换的关系，知 AT
7、于是由 A 对称知道 T 也对称，因此 n1 阶矩阵 对称现在对 可用归纳假设：对 施行1 1有限次相应初等合同变换便可将 化为合符要求的对角阵而 的1任一次相应初等合同变换显然与 T 的某一次相应初等合同变换效果是一致的因而此况定理成立2)若 ，由于 A0，故必有某 ，niai,21,0 ,0jiijaj把 A 的第 j 列加到第 i 列，再把第 j 行加第 i 行，所得矩阵的(i,i )元素为 ，再由情形 1)也知结论成立2ij设 是所作有限次相应初等合同变换的列变换所对应的初tP,1等矩阵则BPABAtttt )()(1121 令 ，则 ，显然 P 是可逆阵于是 AB ，且t1r=ran
8、kB=rankA 定理 5.2.2 给 出 了 定 理 5.2.1 的 第 二 证 明 定 理 5.2.2 还 给 出 了 具 体化 简 的 方 法 ： 若 ， 则 tttP 11, ,1tnI所以 A 经过一次一次初等合同变换化为 B， 经1tPnI过一次一次相应列初等变换化为 P为了进一步简化计算，我们来证明定理 5.2.3 设 A 是 F 上的 n 阶对称矩阵，若 是有限个消法矩P辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 5.2.5 页阵 的乘积，i 1，且使)(1kTi，10AdP其中 是 n1 维行向量， M n1(F)，则证 由假设，P 是有限个 的乘积，i 1则用 P 右乘
9、时，)(1kTi A的第 1 列不变，变动的仅是 的元素，所以有A 10AdP但易知 是对称矩阵，故 =0，所以 1由定理 5.2.3 知道，只要能找到由有限个消法矩阵 ，ij ，其)(kTj乘积 使P， （3） 0*),(),(1 PdPAI rn则这个 的转置 P 就是要求的可逆矩阵，它使 成为对角矩 A阵换句话说，只要对(A，I n)作有限次行的消法变换(相应初等矩阵为，ij) ，当把 中的 A 化为上三角矩阵时， 中的kTj ,(I ),(nI也就同时化为 ，且使ndiag )0,(1 rd例 2 设，20A求可逆矩阵 P，使 为对角矩阵解 逐次用行消法变换(相应初等矩阵为 ，ij )
10、，将 化(kTj ),(3IA为(3)式的形式： 1021),(3IA 1020123)(行行 加 到 第第 行倍 加 到 第行 的第辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 5.2.6 页 1002132行行 加 到 第第于是，取，则 diag(1,2,0)10PAP实际计算并不一定要把 中的 A 化为标准的上三角矩阵，只),(nI需化为关于主对角线对称的每对元素中至少有一个为 0 即可，即ij， 和 中至少有一个是 0 就行这是因为，再作相应的列变换，ijaji则可化为对角矩阵了例如 二次型 321221321 44),( xxxxf 的矩阵为，012A则 01241),(3IA 10
11、24312)(31行倍 加 到 第行 的第 行倍 加 到 第行 的第 (4) 102/43094/3加 到 第 行行 的第于是，取，14/30P让 X=PY，则 2213219),( yyxf 例 1 的解法 2 由于 的矩阵是),(3xf，01A需先对 A 作一次消法合同变换使得到的矩阵的主对角线上有非零元素，然后再按定理 5.2.3 去作：辽 东 学 院 教 案 纸课程：高等代数 第 5.2.7 页10310),(3IA 行行 加 到 第第 12 1032(右边部分不动) 0232列列 加 到 第第 102/20/131)/(行行 加 到 第第 行加 到 第行 的第 3/6/2)4(2倍倍倍于是，取，102/P让 X=PY，则 23213216),( yyxf 例 1 的两种解法的结果不完全一样，说明化数域 F 上的二次型为平方和，其结果不唯一课外作业：P265：1、1)、4)；2、1）；3；4
