1、1利用函数思想解题策略刘厚顺函数是高中数学中的重要内容，函数思想是最基本的数学思想函数的有关概念、性质以及几类典型的常用函数是函数思想的载体，解题时可利用的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、有界性、连续性、特殊点处的函数值、函数图象的变化趋势、函数图象的某种对称性等去解决问题1利用函数概念例 1 曲线 C 是定义在 R 上的函数 yf(x)的图象，则( )A曲线 C 与直线 x1 可能有两个交点 B曲线 C 与直线 x1 一定有一个交点C曲线 C 与直线 x1 一定有两个交点 D曲线 C 与直线 y1 有且仅有一个交点分析与解：对于函数 y=f(x)定义域为 A，值域为 B，则对任
2、 xA，都有唯一的 yB 与之相对应，故选 B例 2 若函数 yf(x)存在反函数，则方程 f(x)C(C 为常数)A有且只有一个实根 B至少有一个实根 C至多有一个实根 D没有实根分析与解：函数 yf(x)存在反函数，则此函数的对应必是一对一的，若 C 在函数 f(x)的值域中，则必有唯一实根，若 C 不在函数 f(x)的值域中，则无实根，选 C2利用函数的奇偶性奇偶性(即对称性)是函数的又一重要性质，常利用它进行区间过渡，即将不同区间的问题转化到同一区间中进行研究，从而达到化难为易之目的(1)利用函数奇偶性解方程(组)例 3 解方程 (3x 3-4)3+4x3+x-4=0 (只求实数根)分
3、析与解：原方程可变为(3x 3-4)3+(3x3-4)=-(x3+x).，令f(x)=x3+x，易证 f(x)是奇函数且在 R 上是增函数，方程就是 f(3x3-4)=-f(x)=f(-x)。由 f(x)的单调性知 3x3-4=-x，即 3x3+x-4=0，此方程显然有一根为 1，故原方程就是(x-1)(3x 2+3x+1)=0，因为 3x2+3x+1=0 无实根，所以 x=1 为原方程的实数根。（2）利用函数奇偶性求值例 4设(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7=a0+a1sinx+a2sin2x+ +a42sin42x, 求 a1
4、+a5+a9+a41的值。分析与解：令 f(x)=(2-3sinx+4sin2x+5sin3x)7(2+3sinx+4sin2x-5sin3x)7= a0+a1sinx+a2sin2x+a42sin42x, 易证 f(x)是 R 上的偶函数，故 a1=a3=a5=a41=0，2所以 a1+a5+a9+a41=0.（3）利用函数奇偶性证明不等式例 5求证：0 时，1-4x0，且 a1，试比较 xloga(1-x)与 xloga(1+x)的大小。分析与解：设 f(x)=xloga(1-x)-xloga(1+x)=xloga x1. 因为 f(x)=-xloga x1=-xloga( x1)-1=x
5、loga =f(x)，所以 f(x)是偶函数，图像关于 y 轴对称。若 a1，由已知得-11，所以loga x10, xloga 1xloga(1+x).3综上，当 a1 时，xlog a(1-x)xloga(1+x).3利用函数的单调性单调性是函数的重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性，可将函数值间的关系转化为自变量间的关系研究，从而达到化繁为简的目的。特别是在比较数式大小，证明不等式，求值或最值，解方程（组）等方面应用十分广泛。例 8已知不等式 123121nnloga(a-1)+ 32对于一切大于 1 的自然数 n 都成立，求实数 a 的取值范围。分析：注意到不等式仅仅左边是与 n
6、有关的式子，从函数的观点看，左边是关于 n 的函数，要使原不等式成立，转化为这函数的最小值大于右式，如何求这个函数的最小值呢？这又是一个非常规问题，应该从研究此函数的单调性入手。解：设 f(n)= nn21321(nN, n2).f(n+1)-f(n)=( )()-( n21)=121nn= )2(n0, f(n)是关于 n(nN,n2）的递增函数，则 f(n)f(2)=127.要使不等式成立，只须 12loga(a-1)+ 30，且 a1，易得函数定义域为 x1，即 ax+1.解：令 y1= ，y 2=x+1，在同一坐标系内画出这两个函数的图象（如图 1） ，然后“看图说话” ，找出 y1在
7、图象在 y2的图象上方时所对应的x 的集合。易得，原不等式解集为-5,2). 例 13已知 n 为正整数，实数 a1，解关于 x的不等式。 xalog-4 2a3l1xnalog)2(1 3)2(nloga(x2-a).(1991年全国高考理 25 题) 解：将原来不等式化简得 3)(1nlogax 3)(1nloga(x2-a)(1)作函数 y1=x 和 y2=x2-a 的图象（如右图）因 x0，且 x2-a0, x .由 x=x2-a 解得两图象交点的横坐标为 x0=41a, 因而当 n 为奇数时(1)x2此时原不等式解集为x| a 241。6利用函数的值域求函数的值域，涉及到众多数学知识
8、，构成了中学数学的重要横向知识体系，同时也为利用函数值域解题提供了广阔的天地，尤其对某些含参5数的不等式，在分离参数的基础上，通过求函数的值域进而达到确定参数的取值范围，从而避免了对参数的繁锁讨论。例 14已知不等式 1cos 2x+sinx+a 417,对于一切 xR 恒成立，求a 的取值范围。解：令 f(x)=cos2x+sinx+a=-sin2x+sinx+1+a=-(sinx- 21)2+ 45+a. f min(x)=-1+a, fmax(x)= 45+a. 要使命题成立，只须417)(maxinf即 17a解得 2a3.例 15若方程 sin2x+cosx+a=0 有解，求实数 a
9、 的取值范围。解：由方程得 a=cos2x-cosx-1，设 f(x)=cos2x-cosx-1, 要方程有解，只须 a 在 f(x)的值域内即可，而 f(x)=(cosx-1)2- 45, -1cosx1, - 45f(x)1, -45a1.例 16若 cos2x-32kcosx-4k, x0, 4时恒成立，求实数 k 的范围。解：由 cos2x-32kcosx-4k, 得 k xcos2, x0, 2,令 f(x)= xcos2，只须 kfmax(x),而 f(x)= xcos2=-(2-cosx)+ xcos2+44-2 2,当 2-cosx=xcos2即 cosx=2-2 时取等号，
10、k4-2 .7利用一次函数的保号性某此数学问题，通过构造一次函数，将问题转化为判断一次函数 f(x)在区间a,b上函数值的符号问题，从而使问题获解。例 17若对一切|P|2, PR，不等式(log 2x)2+Plog2x+12log2x+P 恒成立，求实数 x 的范围。解：原不等式整理为 f(P)=(log2x-1)P+(log2x-1)20, 要使 f(P)在-2P2 上恒成立，只须 0)(f， 即 0)1)(log(l3x解得 log2x3 故 x(0, 21)(8, +).6例 18已知|a|a+b+c.证：构造函数 f(x)=(bc-1)x+2-b-c, 这里|b|0f(1)=bc-1
11、+2-b-c=(1-b)(1-c)0 一次函数 f(x)=(bc-1)x+2-b-c, x(-1,1)的图象在 x 轴上方，这就是说，当|a|0，即abc+2a+b+c.8利用二次函数的性质二次函数的应用十分广泛，当所给问题含有形如 m+n=p, mn=q 的等式，或含有与二次函数的判别式相似的结构时，常可通过构造相关的二次函数来促使问题的解决。例 19设二次函数 f(x)=ax2+bx+c(a0)，方程 f(x)-x=0 的两个根 x1, x2满足 00，二次函数 F1(x)=f(x)-x 的开口向上，其顶点横坐标x1，又 F1(0)=c0，f(x 1)=0, 所以当 00，又 x1x2= ac, c-x1=ax1x2-x1=x1(ax2-1)0，及4 3，得5sin23, e2=( ac)2=tt1sin1sin42, 其中 t=sin2(15, 43，知 f(t)=t1是增函数，故 f( 25)e2f( 43)即 1e2 7, 1e 72.函数思想作为中学数学的主线，其思想的高瞻性、应用的广泛性、解法的多样性、思维的创造性确定了它在高考数学试卷中函数的比重仍然很大，不仅会出现有关函数性质巧妙组合的小题，而且会出现融入各方面知识的函数的压轴题，考查学生推理、论证的能力，以适合高校选拔人才的需要。
