1、数学思想方法河南省虞城县李老家乡第二初级中学；高华增数学思想方法一般是指人们在数学的发生、形成、发展过程中总结概括出来的数学规律的本质认识，是利用数学知识去解决问题的思维策略和指导思想，它为数学知识的学习和运用提供了方向，是解决数学问题的“向导” ，数学思想的产生并作用于数学学习的整个过程中，尤其是在解决复杂的综合题时，数学思想的合理运用起着关键性的决定作用，数学思想方法是数学思想的具体体现，不仅是学习和运用数学知识的解决数学问题应具备的、最基本的思想方法而且是新课标改革的方向和中考试题解题特征常见的数学思想方法有：化归思想方法、数形结合思想方法、分类讨论思想方法、数学建模思想方法、方程思想方
2、法、函数思想方法、整体思想方法，对此类问题的突破，方法具体如下：类型一：化归思想方法: 重难点突破：解决问题的基本思想就是化未知为已知，把复杂的问题简单化，把生疏的问题熟悉化，把实际问题数学化，不同的数学问题相互转化，也体现了把不易解决的问题转化为有章可循，容易解决的问题的思想【例 1】 如下图中每个阴影部分是以多边形各顶点为圆心，1 为半径的扇形，并且所有多边形的每条边都大于 2，则第 n 个多边形中，所有扇形面积之和是_(结果保留 )第1个图形 第2个图形 第3个图形分析：本题考察了扇形面积和 n 边形内角和公式，解题关键是：是求第 n 个图形中(n2) 个半径为 1 的扇形的面积之和解析
3、： ，答案；2180-2)3601S 2n类型二：数形结合: 重难点突破： 根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合，充分利用这种结合探究解题思路，使问题得以解决；【例 2】(09 重庆)如图，在矩形 ABCD 中，AB2，BC1,动点 P 从点 B 出发，沿路线 BCD 作匀速运动，那么ABP 的面积 S 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致是 ( )(D)(C)(A)P1233A1O33 O11BNCDO OXXY Y分析：本题考查点是运动变化为前提，根据几何图形的面积变化特征，通过分段讨论，确立相应函数关系，进而确定函
4、数图象，这是一道典型的数形结合与分类讨论的综合题，是这几年中招试题常见题型，解题关键是能否充分利用分类的讨论思想，难点是能否把所有情况分别讨论，很多同学因考虑不全而丢分解析：当点 P 在 BC 上时，即 0x1 时(B)X31 3 XY Yx2PBAS121PB 当点 P 在 CD 上时，即 1x3 时答案：BC2121PAB类型三：分类讨论思想方法: 重难点突破： 被研究问题包含多种可能情况，而不能一概而论，此时我们必须按可能出现的所有情况来分别讨论解决，得出各种情况下相应的结论在涉及到此问题时，要遵循不重复、不逸漏任何一种情况和每种可能情况都要按照同一标准进行讨论的原则，也是解决问题的关键
5、【例 3】(07 成都) 在平面直角坐标系 x0y 中，已知一次函数ykxb(k0)的图象经过点 P(1.1)，与 x 轴交于点 A，与 y轴交于点 B，且 tanABO3，那么点 A 的坐标是_解析：关键是分两种情况讨论；答案：(2.O)或(4.O)【例 4】已知一个等腰三角形两内角的度数比为 1:4，则这个等腰三角形顶角的度数为 ( )A20 0 B120 0 C20 0或 1200 D36 0分析：此题需要分类讨论；当顶角与底角之比为 1:4 时，设顶角为 x0，则有 x4x4x180 0，解得 x20，此时顶角为200；当底角与顶角之比为 1:4 时，设底角为 x0，则有xx4x180
6、 0，解得 x30，此时顶角为 1200；故选(C)【例 5】(09 哈尔滨)如图，在平面直角坐标系中，点 O 是坐标原点，四边形 ABCD 是菱形，点 A 的坐标为(3.4)，点 C在 x 轴的正半轴上，直线 AC 交 y 轴于点 M，AB 边交 y 轴于点H，求直线 AC 的解析式连接 BM，如图 ，动点 P 从点 A 出发，沿折线 ABC 方向以2 个单位/秒的速度向终点 C 匀速运动，设PMB 的面积为 S(S0)，点 P 的运动时间为 t 秒，求 S 与 t之间的函数关系式(要求写出自变量 t 的取值范围)；在的条件下，当 t 为何值时，MPB 与BCO 互为余角，并求此时直线 OP
7、 与直线 AC 所夹锐角的正切值分析：中，利用点 A 的坐标求出 OA 的长度为 5，由于四边形 ABCD 为菱形，则四条边相等，所以点 C 的坐标为(5.0)，由点 A 与点 C的坐标，利用待定系数法P1EA BCOMHxy图A BCOMHxy图EP即可求出直线 AC 的解析式；由图形可知，点 P 在线段 AB 上运动与在线段 BC 上运动，PMB 的面积是不一同的，所以要分两种情况分别计算，利用三角形的面积公式，分别表示出两种情况下的三角形的面积的函数解析式；可先假设此种情况成立，然后由此种情况推出相应的结果，注意还要如一样分两种情况解答，若直接求此角的正切值，会比较困难，我们可通过角的转
8、化，求与其相等的角的正切，这个相等角在一个直角三角形中，这样就可利用正切的定义求出相应的值了解析：过点 A 作 AEx 轴，垂足为 E(如图)点 A 的坐标为( 3.4)，A E4，OE3 5OE2四边形 ABCD 为菱形，OCCBBAOA5点 C 的坐标为(5.0) 设直线 AC 的解析式为 ykxb,则解得： 直线 AC 的解析式为： 25x1-y直线 AC 的解析式为： 与 y 轴交于点 M，M25x1-y )(0.0M ，如图，当点 P 在 AB 上运动时，25由题意得，0H4，HM 35kb03kb021-k5bS 23t)-(51MHBP21即 S (0t )4t3-当点 P 在
9、BC 上运动时，记为 P10CMBCM，C0CB，CMCM，0MCBMC，MBM0 ，MBCM0C90 025S )-(t21BMP21即 S ( t5)45-tA BCOMHxy图3EPP1Qk当点 P 在 AB 上时，设 0P 与 AC 交于点 Q，连接 0B 交 AC 于点k，A0CABC，A0MABMMPBBC090 0，BA0BC0，BA0A0H90 0MPBA0H，MPBMBHMPMB，MHPBPHBH2，APAHPH321，t 21AB0C，PAQ0CQ，又AQPCQ0AQPCQ0， ，AQ51C0APQAC61在 RtAEC 中，AC 548E22AQ ，QC35246131在
10、 Rt0HB 中，0B 52422H0BAC0B，0KKB，AKCK0K ，AKKC255QKAKAQ ，tan0QC 34QK043当点 P 在 BC 边上运动时如图A BCOMHxy图EPPQkBHMPBM90 0，MPBMBHtanMPBtanMBH 432在 RtMBP，PB ，2t5 ，t31042MPBtan310625PCBCPB5 5310由 PC0A，同理可证PQC0QA， 31AOPCQQC ，QKKCQC5AC4150K ，tan0QA 1K0综上所述，当 t 时，MPB 与BC0 互为余角，直线 0P 与直21线 AC 所求锐角的正切值为 ；当 t 时，MPB 与BC0
11、 互43625为余角，直线 0P 与直线 AC 所求锐角的正切值为 1类型四：数学建模思想方法：重难点突破：从分析问题的数量关系入手，通过抽象、简化、假设引进变量等处理过程，将实际问题用数学思想方式表达，建立数学模型，用数学方法求解，可根据实际问题的不同，建立方程(组)、不等式( 组) 、函数、几何等模型，培养提高应用数学知识分析问题、解决问题的能力；【例 6】(07 临沂市)如图，某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为节约资源，现要按图中所示的方法从这些边角料上截取矩形(阴影部分 )铁皮备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长 x、y 应分别为 ( )Ax10，y14 Bx14，y10 C
12、x12，y15 Dx15，y12分析：如图，截取矩形铁皮，则矩形其 FD Cxy208中一个顶点可取在 DC 或 BC 边上，由于使截取矩形面积最大，因此只需讨论顶点在 BC 边上，当矩形面积最大时，求边长，实质上是确定二次函数顶点坐标问题解析：作 CEAB 于 E，则 CEDA ，FNBCEB， ，即BENF8-24y0x整理得 3045-xy因此 (8y24)3y45-)(S2矩 形当 ，即 时， 最大，答案(D)125-30y10矩 形S【例 7】某校九年班为毕业购买留念品，欲购买价格分别为2 元，4 元和 10 元的留念品，每种留念品至少购买一件，共买16 件，恰好用去 50 元，若
13、2 元的留念品购买 a 件，用含 a 的代数式表示另外两种留念品的件数；请你设计购买方案，并说明理由.解析；设 4 元的留念品买 x 件，10 元的留念品买 y 件.，根据题意得axy162a 4x10y504 的留念品为 件，10 元的留念品为 件3a4537-a11 解得，1 0a13 7-a由题意得E BA 24 N解得 34a-5ya1a为正整数， a 10、11、12 、13当a10 时，x5 ，y1当a11时，x ，y (不合题意，舍去)34当a12时，x ，y (不合题意，舍去)75当a13 时，x1 ，y2购买方案一：2元的买 10件，4元的买5件，10 元的买1 件.购买方案
14、二：2元的买 13件，4元的买1件，10 元的买2 件.类型题五：方程思想方法：重难点突破；根据题意设定合适的未知数，寻求题中的等量关系，列出方程(组) 并通过列方程(组) 来求解，最后再进行验证是否符合题意，并得出结论；【例 8】小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，请你根据图中的信息，若小明把 100 个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约为 ( )A106cm B110cm C114cm D116cm14cm9cm解析：本题由图示提供的信息可设一个纸杯高度 xcm，在一起两纸杯间距离为 ycm，根据题意得x2y9 x7x7y14 y1x(1001)y7991106(cm)，
15、答案（A）类型六：函数思想方法；重难点突破；根据题中的条件及所给数量关系，构造函数关系，使问题在函数关系中实现转化【例 9】凯里市某大型酒店有包房 100 间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费 100 元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高 20 元，则减少 10 间包房租出，若每次提高 20 元的这种方法变化下去设每间包房收费提高 x（元） ，则每间包房的收入为 y1 （元） ，但会减少 y2 间包房租出，请分别写出y1、y 2 与 x 之间的函数关系式解：依题意，得 y1100x202为了投资少而利润大，每间包房提高 x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为 y（元） ，请写出
16、 y 与 x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，请说明理由解：依题意得 x)21-)(0(1y即 250)-(x21y依题意得当 x40 或 60 可使包房收入最大y解得当 x40 时，1000.54080（间）当 x60 时，1000.56070（间）为了投资少而利润大， 取 x60每间包房每天晚餐应提高 60 元可获得最大包房费收入，最大包房费收入为 11200 元类型七：整体思想方法；重难点突破；由于题目按常规不容易求出某一( 或多个) 未知量时，可打破常规，依据题目的结构特征，把一组数或一个代数式看作一个整体，从而使问题得到解决【例 10】(08
17、天津) 若 ，则 9)(x21_)-(x21的 值 为解析： 4-(x 2221 ，答案；54-)(x1【例 11】关于 x 的方程 kx2(k2)x 0 有两个不相等的4k实数根求 k 的取值范围；是否存在实数 k，使方程的两根的倒数等于 0，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由解析：依题意得设关于 x 的方程的两根分别为 x1，x 2根据根与系数的关系得，K2k-214x21若 ，则 ，即 ，0x21 021 01kx60500112001125040(k2) 24k 04kK0解得：k1 且 k0解得：k2 k1 且 k0k2 不合题意，舍去所以，不存在实数 k，使方程的两个实数的倒数和等于 0
