1、第一章 概率论的基本概念基础训练 I一、选择题1. 以 表示事件“甲种产品畅销，乙种产品滞销” ，则其对立事件 为：（ D ） 。A AA）甲种产品滞销，乙种产品畅销； B）甲乙产品均畅销；C）甲种产品滞销； D）甲产品滞销或乙种产品畅销.2、设 , , 是三个事件，则 表示（ C ） 。BAA） , , 都发生； B） , , 都不发生；C） , , 至少有一个发生； D） , , 不多于一个发生3、对于任意事件 ，有 （ C ） 。,)(APA） ； B） ；)(BP )()(ABPC） ； D） 。4、已知 5 个人进行不放回抽签测试，袋中 5 道试题（3 道易题，2 道难题） ，问第
2、3 个人抽中易题的概率是( A ) 。A） ； B） ； C） ； D） .3/3/4/43/105、抛一枚硬币，反复掷 4 次，则恰有 3 次出现正面的概率是（ D ） 。A） B） C） D） 1/61/81/0/46、设 ， ， ，则下列结论正确的有（ A ） 。()0.P()0.7(|).8PBA） 相互独立； B） 互不相容；, ,C） ； D） 。B)()(BP二、填空题1.设 是随机事件，则事件“ 、 都不发生， 发生”表示为 , “, ACCA至少有两个发生 ”表示成 。 AB2.设 、 互不相容， ， ，则 0.3 ；4.0)(P7.0)()(3. 某市有 住户订日报，有 住
3、户订晚报，有 的住户至少订这两种报纸中50%6585%的一种，则同时订这两种的住户百分比是： ；34.设 , , ，则/1)()(CBP)()(CPA8/1)(A三件事至少有一个发生的概率为： ；A、 /5. 若 、 互不相容,且 则 0 ；若 、 相互独立，,且,0BB则 。,0)(AP)/(B(P6、已知 ， ，则 = 1 / 18 。13,1/4A()1/6B)(ABP三、计算题1从一批产品中取出一个产品进行检验（每次取出的产品不放回） ，以 表示“第 次取ii到的是合格品” ，试用 表示 下列事件：i)3,21(1）三次都取到合格品； 2）三次中至少有一次取合格品；3）三次中恰有两次取
4、到合格品； 4）三次中至少有两次取到合格品；5）三次中一次也未取到合格品； 6）三次中至多有一次取到合格品；解： 1） ；2） ；3） ；3A1A3211AA4） ；25） ；6）2设 ， 。在下列三种情况下求 的值：()1/3PA()1/B)(ABP1） ； 2） ； 3） 。()1/8PA解：因 1) ；2） ；3） 。()/()()/6()3/83.假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。设某时期内甲河流泛滥的概率为 0.1；乙河流泛滥的概率为 0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为 0.3，试求：（1）该时期内这个地区遭受水灾的概率；（2）当乙河流泛
5、滥时,甲河流泛滥的概率。解：设 =甲河流泛滥， =乙河流泛滥，AB由题意，该地区遭受水灾可表示为 ，于是所求概率为：A(1) )()()(PP)/()(ABP27.031.20.(2) 15.0.3)(/)(/(BAB4有甲、乙、丙三门火炮同时独立地向某目标射击，命中率分别为 、 、 ,求：.203.51）至少有一门火炮命中目标的概率；2）恰有一门火炮命中目标的概率。解：设 分别表示甲、乙、丙火炮命中目标，则C、 、1） ()1()1()()1.87.PABPAPC2） BAB(0.45、有三个形状相同的箱子,在第一个箱中有两个正品,一个次品;在第二个箱中有三个正品,一个次品;在第三个箱中有两
6、个正品,两个次品.现从任何一个箱子中,任取一件产品,求取到正品的概率。解: 设 Bi=从第 i 个箱子中取到产品(i=1,2,3)，A=取得正品。由题意知 =B1+B2+B3 ，B1,B2,B3 是两两互不相容的事件。P(B1)=P(B2)=P(B3)=1/3， P(A|B1)=2/3, P(A|B2)=3/4, P(A|B3)=2/4=1/2 由全概率公式得 P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.64 (或 23/36).6已知商场某产品由三个厂家提供，产品次品率分别为 、 、 ，销售份额分0.2.10.3别占 、 、 ，现消费者因为产品
7、问题提出索赔，但由于保存不善标志缺失，0.15.80.5如果你是商场负责人，想将这笔索赔转嫁给厂家，如何分摊最合理？解：设 表示产品为不合格品, 表示产品是由第 个厂家提供的, 由题可得:A)3,21(iBi， ， ，1().pB2().8p5.p， ， 0A03(A由全概率公式：12()()(.125Bp由贝叶斯公式: ； ；4.015.)(11 ApBBp 64.0)2A.20)(3A由上可见，比较合理的分配比例应为： ，即 26.1： ： 3： ：基础训练一、选择题1事件 又可表示为（ C ）BAA） B） C） D）ABA2设 则有（ D ）()0,PA) 互不相容； B) 相互独立；
8、和 和C) 或 ； D) 。 ()A()B()(PAB3设 和 互为对立事件，则下列不正确的结论为( B ) A) ； B) 和 独立； 0/PC) ； D) 。1)( 1)(4、设事件 是两个概率不为零的互不相容事件，则下列结论正确的是（ D ） BA,A） 互不相容； B） 与 相容；ABC） ； D） 。)()(P)(P5.某人射击时，中靶的概率为 3/4，如果射击直到中靶为止，则射击次数为 3 的概率为( C )A ) B) C) 3/4 D) 34/(2)/(4/12)/(3)4/(6如果 ，则下列结论不正确的有（ D ）()0,(),()(PABPAA） ； B） ；|)(PAC）
9、 相容； D） 互不相容。, ,二、填空题1. 设 表 示 第 次 命 中 目 标 ，则 逆事件为: 。ii)3,21(i321 321A2. 设事件 互不相容，且 则 。BA, ,(qBPpA)(Aqp3. 设 相互独立， 、 ，则 ；()0.P)0.4B0.54. 设 为随机事件， 则 =0.6；, ,3(,7)(5、设 ，则 0.4 。.).)|(,3.)|(ABAP6、设 那么：(1) 若 A,B 互不相容，则 0.3 ;006,P)(B(2) 若 A, B 相互独立，则 3 / 7 。)(P三、计算题1设 为两个事件且 ， ， 则, 6.0)(.0)(1）在什么条件下 取最大值，最大
10、值是多少？2）在什么条件下 取最小值，最小值是多少？()PAB解： ，()PAB1）当 时 最小， 取得最大值：()(0.62）当 时， 取得最小值为 。1)0.32. 已知 求 。,5.,4.,3.0)BAP)|(BA解： ()()10.351(| 4.(PBA3. 设 是两个事件， ，求 。,()1/3,|)/6)|(P解： 。1(7(|)()12(PABBAPAB4.甲、乙、丙 部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们需要工人看管的概率3分别为 、 、 ,求在这段时间内有机床需要工人照管的概率以及机床因无人照管0.12.5而停工的概率。解：设 依次表示三台机床需要人照管，依题意可知
11、 相互独立，ABC、 、 ABC、 、， ，()0.1P()0.2()0.15PC()0.38ABBP()()2()ABCAC0.1*2.015.*20.1*.5 .95、某厂有四条流水线生产同一种产品，该四条流水线的产量分别占总产量的15%、20%、30%、35%，它们的不合格率分别是 5%、4%、3%、2%，现从中任取一件问恰好取得不合格品的概率是多少？解：设 取出的为不合格品， 第 条流水线生产。:A:iB， ， ， %15)(BP20)(P%30)(P35)(4BP， ， ，4AA2A所以 1.5)( 6、三个箱子，第一个箱子中有 3 个黑球一个白球，第二个箱子中有 2 个黑球 3 个
12、白球，第三个箱子中有 3 个黑球 2 个白球，求：（1）随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球，这个球为白球的概率是多少？ （2）已知取出的球是白球，此球属于第三个箱子的概率是多少？解：设事件 表示“取出一球为白球” ， 表示“取到第 只箱子” ， ，则AiBi3,21i。3/1)(iBP由全概率公式得：（1） 125)4(3)|()(31 i iiAPAP由贝叶斯公式得：（2） 7)(|)|( 12533 BB综合训练一、填空题1. 设 为任意两个事件，则下列关系式成立的是（ D ） 。BA,A） ； B） ；)( ()AC） ； D） 。2. 对事件 ，下列命题正确的是：（ D ） 。
13、,A）如果 互不相容，则 , 也互不相容； B）如果 相容，则 , 也相B,ABA,B容；C）如果 互不相容，且 ，则 相互独立；, 0)(,)(P,D）如果 相互独立，则 , 也相互独立.3. 每次试验的成功率为 ，独立重复进行试验直到第 次才取得1pn次成功的概率为：（ B ） 。)1(nrA） ； B） ；rp rnrnC)(1C） ； D） .rnr)( rrp4设事件 同时发生时，事件 C 必发生，则正确的结论是（ B ） 。B,A） ； B） ；1)(P)(P 1)(PA)(PC） ； D） 。5设 互不相容，且 ，则下列结论正确的有（ C ） 。B, 0)(,)(AA） ； B）
14、 ；0)|(P)(|APC） ； D） .)(B二、填空题1从 1、2、3、4、5 五个数码中任取 3 个，组成没有重复数字的三位数，则这三位数是偶数的概率为 ；/2. 设 ，且 ，则 ；)()(BAPp)()(Pp13. 若 ，则方程 有实根的概率是 4/5 ；,6KU02Kx4.设事件 , 则 ；0.7,.5,.4,BA()B0.725.假设一批产品中一、二、三等品各占 60%，30%，10%，从中随机取出一种，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为 。3/三、计算题1矩形 中任取一点,求使方程 的解大于 的1,21:),(bab 0bax1/4概率.解：设 表示方程 的解大于 , 方程
15、的解为：A0x/4， 即 0ab（1）由(1)决定的区域与矩形相交区域的面积 ，故所求概率为135()248S。5/8()216PA2.某地区一工商银行的贷款范围内，有甲乙两家同类企业，设一年内甲申请贷款的概率为，乙申请贷款的概率为 ，当甲未申请贷款时，乙向银行申请贷款的概率为 ，.02.0 1.0求在乙未申请贷款时，甲向银行申请贷款的概率。解：设 表示甲申请贷款， 表示乙申请贷款，由题意可知：B； ； ，()0.25PA()0.2B()0.1PA则 1()()B(0.25)(.1323、玻璃杯成箱出售，每箱 只。已知任取一箱，箱中 、 、 只残次品的概率相应为0012、 和 ，某顾客欲购买一
16、箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机.8.地察看 只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。4试求：（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的该箱中，没有残次品的概率。解：设事件 表示“顾客买下该箱” ， 表示“箱中恰好有 件次品” ， ，则AiBi2,10i， ， ，8.0)(BP1.0)(1.0)(2P， ， 。 1|0 54|2091C192)|(4082CA1）由全概率公式得：； 20()()|.8.1iiiPABPA2）由贝叶斯公式：。000()|).(| .5944.(敏感问题调查)在调查家庭暴力（或吸毒、婚外恋等敏感问题）所占家庭的比例 时，p被调查者往往不愿回答
17、真相，这使得调查数据失真，为得到实际的 同时又不侵犯个人隐p私，调查人员将袋中放入比例是 的红球和比例是 的白球，被调查者在袋中0p001q任取一球窥视后放回，并承诺取得红球就讲真话，取得白球就讲假话，被调查者只需在匿名调查表中选“是” （有家庭暴力）或“否” ，然后将表放入投票箱，没人能知道被调查者是否讲真话和回答的是什么，如果调查表上声称有家庭暴力的家庭比例是 ，求实际比例1p？p解:对任何一个家庭，用 表示回答“是” ，用 表示实际是“是” ，利用全概率公式得到：BA)/()/()(1 BPAP)(10000 pqqp于是只要 ，则可得实际比例 的估计值：0 01)(qpAP5设某型号高
18、射炮，每门炮每发射一发炮弹击中敌机的概率为 0.6.现若干门炮同时各发射一发，问欲以 99%把握击中敌机，至少需要配置几门高射炮？解：设需配置 n 门高射炮，记 “第 i 门炮击中敌机” （i=1,n）, “敌机被击中”iAA要使12.nA12().)0.9nPA1212()() ()1(0.4)nn nPP即有不等式 ， 即得 ,0.4.9nlg.5264.37故而至少需要配置 6 门高射炮方能以 99%的概率击中敌机。6辨析题：判断下列命题是否为真，若不为真，请举一反例：1）若 ，则 为不可能事件；0)(AP2）若 ，则 为必然事件；13）若 互不相容，则 。B, )(1)(BPA解：反例：向区间 上随机投点，则 ，0,01Sx事件： ， ， ， .5Axx0.4Cx0.51Dx则 1） 、2） 、3）反例依次为事件 、 、 和 。AB
