1、河北科技大学教案用纸第 22 页第 4 次课 2 学时上次课复习： 0lim()li(),xxfffxAX，关 于 或 的 确 定 。本次课题（或教材章节题目）：第五节 无穷小与无穷大、第六节 极限的四则运算教学要求：1.理解无穷小、无穷大的概念， 2.掌握无穷小与无穷大的关系，3.掌握无穷小的性质，4.掌握极限的四则运算及复合函数极限的求法。 重 点：无穷小的概念及性质、极限的四则运算。难 点：复合函数的极限教学手段及教具：讲授内容及时间分配：无穷小的概念， 10 分钟无穷大的概念 5 分钟无穷小与无穷大的关系 10 分钟函数、极限及无穷小三者之间的关系 10 分钟无穷小的运算性质 15 分
2、钟极限的四则运算 25 分钟复合函数的极限 15 分钟课后作业P54 2. 3. 4.P63-64 1.(2)(3)(5)(7)(8)(9)(11) 3.参考资料河北科技大学教案用纸第 23 页1.5 无穷小与无穷大一、无穷小若 当 （或 ）时的极限为零，就称 为当 （或 ）)(xf0x)(xf0x时的无穷小，即有定义 1：对 若 ，使得当 时，有,)0(X0()X成立，就称 为当 时的无穷小，记为)(xf )(xfx。0limlixx，注：除上两种之外，还有 的情形。0,0xx：无穷小不是一个数，而是一个特殊的函数（极限为 0） ，不要将其与一个绝对值非常小的数混淆，因为任一常数不可能任意地
3、小，除非是 0，即 0 是唯一可作为无穷小的常数。【例 1】 因为 ，所以 当 时为无穷小；42)(lim2x42x2同理： ，所以 当 时为无穷小，0snx xsin定理 1：当自变量在同一变化过程 （或 ）中，0（i）具有极限的函数等于其极限值与一个无穷小之和，即： 为 的极限A)(xf。0(),()fxAxx其 中 或（ii）若一函数可表示为一常数与无穷小之和，那么该常数就是其极限。 0 0000lim(), ().)(.(),lim()x xf xfxAxxfAffAxxxf 证 明 ： 若 则 对 使 得 当 时 有令 显 然 当 时 ， （故 当 时 ,为 无 穷 小 ， 且 反
4、之 ， 设 ， 则 可 使 （ 在 0时 成 立 ， 故二、无穷大若当 或 时 ，就称 为当 或 时的无穷大。0x)(xf)(xf0x定义 2：若对 ，使得当 时，有0,XM )(0X，就称 当 时的无穷大，记作:xf)()(xf)(x河北科技大学教案用纸第 24 页。)(lim)(li0 xfxf注：同理还有 时的定义。)(,xf：无穷大也不是一个数，不要将其与非常大的数混淆。：若 或 ，按通常意义讲， 的极限不存在。)(li0xflifx )(xf【例 2】 可证明 ，所以当 时 为无穷大。21x 021x曲线的渐近线：一般地，若 是曲线 y=f(x)的一条水平渐近线。lim(),xfcy
5、则若 是曲线 y=f(x)的一条垂直渐近线。0 0lim(),xf则定理 2：当自变量在同一变化过程中时，（i）若 为无穷大，则 为无穷小。 （ii）若 为无穷小，且 ，)(f)(1xf )(xf 0)(xf则 为无穷大。)(1xf（证明略）1.6 极限运算法则定理 1：有限个无穷小的和仍为无穷小，即设 .0)lim(0li,lim证明：考虑两个无穷小的情形。 设 时 均为无穷小。0x, ,， 则1010,2 2. 对 于 当 时 ， 有 2x同 理 ， 当 时 ， 有10.2x2取 =min,， 则 当 时 ,同 时 成 立 . 故 也 是 无 穷 小 。注：可以推广到有限多个无穷小的代数和
6、的情形。但是，无穷多个无穷小的和不一定是无穷小，如： 2222(1)131limlim.n nn 定理 2：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小，即设 有界，u。0li0liu河北科技大学教案用纸第 25 页证明：证明 时的情况，设函数 在 的某邻域 内有界，即 ，0xu0x),(10xU0M当 时，有 ，又设 为当 时的无穷小，即 ，故对),(10UxMulim0x，当 时，有,),(0xUuM所以 ，即 为无穷小；同理可证 时的情形。lim0x x推论 1：常数与无穷小的乘积仍为无穷小，即若 为常数，k。lilik推论 2：有限个无穷小的乘积仍为无穷小，设。0)lim(0lilili 2121
7、 nn定理 3：若 ，则 存在，且BxgAxf)(,)(m(xgf。)(lili)(li fgxf 证明： 只证 ，过程为 ，对 ，当xf)(li 0x0,1时，有 ，对此 ， ，当 时，有10x2A22x，取 ，当 时，有2)(Bg,min10x 2)()()()()()( BxgAfBgxfxf所以 。Agfxli0其它情况类似可证。注：本定理可推广到有限个函数的情形。定理 4：若 ，则 存在，且Bxf)(lim,)(li )(lixgf。li)(limgfABxgf 证明：因为 ，由1.5 定理 1（i）f,li ,xf（ 均为无穷小） ，记 )()()( BABAxf，由定理 2 的推
8、论 1.2 及定理 1 为无穷小，再由1.5 定理BA1（iii） 。xgf)(lim推论 1： （ 为常数） 。)(lifcc推论 2： （ 为正整数） 。nnfli定理 5：设 ，则 。0)(li,)(BxgAx )(lim)(lixgfBAxgf河北科技大学教案用纸第 26 页证明：设 （ 为无穷小） ，考虑差：BxgAxf)(,)( ,)()(Bgf其分子 为无穷小，分母 ，我们不难证明A0)(2B有界（详细过程见书上） 为无穷小，记为 ，所以)(1B)(BA，由1.5 定理 1（ii） 。xgf)( xgf)(lim注：以上定理对数列亦成立。定理 6：如果 ，且 ，则 。)(xba)
9、(li,)(lia【例 1】 。xbabaxxxx 00000(lim【例 2】 。nnli00推论 1：设 为一多项式，当nn axxaxf 11)(。)(li 000100 fanx 推论 2：设 均为多项式，且 ，由定理 5， 。)(,xQP)(0xQ)()lim00xQPx【例 3】 。221lim(50)153x【例 4】 （因为 ） 。97397li550x 035注：若 ，则不能用推论 2 来求极限，这时需采用其它手段。)(Q【例 5】求 。32lim1xx解：当 时，分子、分母均趋于 0，因为 ，约去公因子 ，1x)1(x所以 。532li32li11 xxx河北科技大学教案用
10、纸第 27 页【例 6】求 。)13(lim1xx解：当 极限均不存在，故不能直接用定理 3，但当 时，,3 1x，所以12)(1123 xxx。)(lim(lim22131 xx【例 7】求 。li2x解：当 时， ，故不能直接用定理 5，又 ，考虑：042x，42lim2x由1.5 定理 2（ii） 。2limx【例 8】设 为自然数，则nba,0,0。 时当 时当 时当 mnbaxbmmnnx 0li10 证明：当 时，分子、分母极限均不存在，故不能用1.6 定理 5，先变形：mnmnxmnnx xbbaabxbaa 1010 lili时当 时当 时当 mnba000100 【例 9】
11、。sin1lmlsixx河北科技大学教案用纸第 28 页【例 10】证明 为 的整数部分。xx,1lim证明：先考虑 ，因为 是有界函数，且当 时， ，xx01x所以由1.6 定理 2 。lim0)1(li0li xxx定理 7：设函数 在 时极限为 a ，即 但在 的某个u0().a0x去心邻域内， 且 则复合函数 当 时的极限也存在，,alim(),ufAf且有 0lixaf（ 证明略 ）定理 7 表明：如果函数 满足定理的条件，那末在作代换 时，()fux及 ()ux可将 0 0limli,lim.x axf a写 作 其 中例如， 。10lilitxtte因此，在求复合函数的极限时，如需作变量代换，可将新的变量的极限代入。
