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类型无穷小与无穷大MicrosoftWord文档.doc

  • 上传人:s36f12
  • 文档编号:7146325
  • 上传时间:2019-05-07
  • 格式:DOC
  • 页数:3
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    关 键  词:
    无穷小与无穷大MicrosoftWord文档.doc
    资源描述:

    1、初 学 者 应 当 注 意 的 是 , 无 穷 小 量 是 极 限 为 0 的 变 量 而 不 是 数 量 0, 是 指 自 变 量 在一 定 变 动 方 式 下 其 极 限 为 数 量 0, 称 一 个 函 数 是 无 穷 小 量 , 一 定 要 说 明 自 变 量 的 变 化趋 势 。 例 如 x2 4 是 x 2 时 的 无 穷 小 量 , 而 不 能 笼 统 说 x2 4 是 无 穷 小 量 。 无穷 小 量 通 常 用 小 写 希 腊 字 母 表 示 , 如 、 、 等 , 有 时 候 也 用 (x)、 (x)等 ,表 示 无 穷 小 量 是 x 的 函 数 。 无 穷 小 量 有

    2、下 列 性 质 :1、 有 限 个 无 穷 小 量 代 数 和 仍 是 无 穷 小 量 。 2、 有 限 个 无 穷 小 量 之 积 仍 是 无 穷 小量 。 3、 有 界 函 数 与 无 穷 小 量 之 积 为 无 穷 小 量 。 4、 常 数 和 无 穷 小 量 的 乘 积 也 为 无 穷小 量 。 5、 恒 不 为 零 的 无 穷 小 量 的 倒 数 为 无 穷 大 , 无 穷 大 的 倒 数 为 无 穷 小 。 无 穷 大 定 义 有 了 无 穷 小 的 概 念 , 自 然 会 联 想 到 无 穷 大 的 概 念 , 什 么 是 无 穷 大 呢 ?当 自 变 量 x 趋 于 a 时 ,

    3、 函 数 的 绝 对 值 无 限 增 大 , 则 称 f(x)为 当 x a 时 的 无 穷 大 。记 作 lim f(x)= , x a 同 样 , 无 穷 大 不 是 一 个 具 体 的 数 字 , 而 是 一 个 无 限 发 展 的 趋 势 , 任 何 无 论 多 大 的 常数 , 都 小 于 + 。 另 外 ,无 穷 小 也 是 可 以 根 据 趋 近 于 零 的 速 度 进 行 比 较 的 趋 近 于 零 的 速 度 高 的 无 穷 小 叫 做 相 对 趋 近 于 零 的 速 度 低 的 无 穷 小 为 高 阶 无 穷 小 ; 速度 相 同 为 等 阶 无 穷 小 彭 哲 也不 能

    4、找 到 一 个 绝 对 值 比 所 有 非 0 的 实 数 的 绝 对 值 都 小 的 实 数 .从 这 个 意 义 上 来 说 ,并不 存 在 一 个 确 定 的 无 穷 小 数 .但 我 们 在 实 际 的 应 用 中 必 须 要 有 一 个 无 穷 小 数 的 概 念 .因 此 我 们 可 以 人 为 地 定 义 ,存 在 一 个 数 ,它 的 绝 对 值 小 于 任 意 给 定 的 非 0 实 数 的 绝 对值 .这 个 数 就 叫 作 无 穷 小 数 .在 现 实 中 并 不 能 找 到 一 个 与 这 个 数 完 全 相 符 合 的 确 定 的 数 ,所 以 无 穷 小 数 这 个

    5、 概 念 其 实 是 无 限 近 似 地 反 映 了 这 一 现 实 .但 是 我 们 必 须 引 进 这 一 概念 ,如 果 不 引 进 这 一 概 念 ,很 多 时 候 我 们 将 无 法 表 述 ,我 们 将 无 法 更 接 近 地 反 映 现 实 .为 了 和 后 面 的 无 穷 小 数 区 分 开 来 ,我 们 不 妨 把 这 个 无 穷 小 数 叫 作 绝 对 无 穷 小 数 . 同 理 , 不 能 找 到 一 个 数 使 它 的 绝 对 值 大 于 任 意 给 定 的 实 数 的 绝 对 值 大 数 区 分 开来 前 面 我 们 定 义 了 绝 对 无 穷 大 数 和 绝 对 无

    6、 穷 小 数 ,为 了 实 践 的 需 要 ,我 们 还 必 须 定 义相 对 无 穷 大 数 和 相 对 无 穷 小 数 . 我 们 规 定 绝 对 值 大 于 任 意 给 定 的 有 限 实 数 的 绝 对 值 的 实 数 为 无 穷 大 数 (相 对 无 穷大 数 ).同 样 我 们 规 定 绝 对 值 小 于 任 意 给 定 的 非 0 的 有 限 实 数 的 绝 对 值 的 数 为 无 穷 小 数(相 对 无 穷 小 数 ). 不 能 找 到 一 个 绝 对 值 比 所 有 有 限 实 数 都 大 的 有 限 实 数 ,所 以 所 谓 的 有 限 实 数 也 只是 和 无 限 实 数

    7、 相 对 而 言 的 ,离 开 了 无 限 实 数 我 们 将 无 法 理 解 有 限 实 数 .无 限 实 数 与 有 限实 数 之 间 并 没 有 绝 对 的 分 割 线 .如 果 一 个 实 数 ,必 可 以 找 到 一 个 确 定 的 实 数 ,使 之 大 于这 个 实 数 的 绝 对 值 .必 可 以 找 到 另 一 个 确 定 的 实 数 ,使 之 小 于 这 个 实 数 的 绝 对 值 .则 这个 实 数 就 是 有 限 实 数 . 相 对 无 穷 大 数 和 相 对 无 穷 小 数 满 足 于 实 数 的 一 切 特 性 . 绝 对 无 穷 大 数 和 绝 对 无 穷 小 数

    8、虽 是 现 实 中 不 存 在 的 数 ,但 经 过 恰 当 的 解 释 可 以 参与 实 数 运 算 .绝 对 无 穷 大 数 的 绝 对 值 加 上 任 何 正 数 还 是 无 穷 大 数 ,这 是 绝 对 无 穷 大 数 的最 基 本 的 特 点 .这 一 特 点 规 定 了 绝 对 无 穷 大 数 的 一 切 特 点 ,也 由 此 规 定 了 绝 对 无 穷 小 数的 一 切 特 点 . 关 于 无 穷 小 的 概 念 , 我 来 补 充 几 句 : 其 实 无 穷 小 到 底 有 多 大 , 虽 无 法 数 量 化 , 但 却是 可 以 形 象 地 表 达 出 来 的 。 无 穷 小

    9、 的 极 限 绝 对 不 是 0, 这 是 正 确 的 , 因 为 既 然 叫 小 ,那 么 这 个 数 一 定 比 0 大 , 否 则 直 接 叫 0 算 了 , 为 什 么 还 称 作 无 穷 小 呢 ? 那 么 无 穷 小 的极 限 到 底 是 个 什 么 数 呢 ? 具 体 的 数 字 恐 怕 神 仙 也 不 能 说 出 , 但 在 数 学 王 国 里 而 不 是 现 实世 界 中 , 这 个 无 穷 小 却 可 以 让 你 亲 眼 看 到 它 的 真 实 样 子 , 它 的 样 子 就 是 几 何 学 中 的 点 。点 是 一 个 绝 对 奇 妙 的 空 间 量 , 它 没 有 大

    10、小 , 无 法 度 量 , 要 多 小 就 有 多 小 , 无 数 个 点 罗 在一 起 也 只 是 一 个 点 , 一 小 段 线 段 上 的 点 足 以 同 宇 宙 中 所 有 的 点 一 一 对 应 , 把 整 个 世 界 上所 有 的 点 都 集 中 在 这 条 线 段 上 , 也 不 会 拥 挤 , 因 为 它 没 有 大 小 , 我 们 这 个 世 界 是 由 点 构成 的 , 因 此 点 绝 对 不 是 0, 更 不 是 一 无 所 有 , 如 果 没 有 的 话 , 它 无 法 构 成 世 界 。 它 比 0大 , 比 无 穷 小 小 , 它 是 无 穷 小 的 极 限 , 但

    11、 它 也 不 是 什 么 有 , 说 它 有 , 它 却 没 有 , 说 它 没有 , 它 却 有 , 它 就 处 在 似 有 非 有 的 状 态 。 点 构 造 了 数 学 奇 特 的 美 , 玄 而 又 玄 。 数 学 是 世界 上 最 精 确 的 科 学 , 完 美 而 无 遗 漏 。 无 穷 小 绝 对 不 是 0。 无 穷 小 只 是 无 限 趋 于 0, 本 来 就 比 0 大 , 本 来 就 不 是 0, 又怎 么 会 直 接 叫 它 0 呢 ? 但 是 它 的 极 限 却 是 0。 事 实 上 , 以 0 为 极 限 的 函 数 就 是 无 穷 小 。显 然 上 一 段 的 说

    12、 法 是 不 正 确 的 。 但 用 “点 ”来 比 喻 “无 穷 小 ”还 是 蛮 形 象 的 。 如 果 说“点 ”是 理 论 中 的 概 念 , 那 么 无 穷 小 也 是 。 上 一 段 认 为 点 的 大 小 介 于 0 和 无 穷 小 之 间 ,也 显 然 是 不 正 确 的 , 正 确 的 说 法 应 为 点 等 价 于 无 穷 小 。无穷小量是数学分析中的一个概念,用以严格地定义诸如“最终会消失的量” 参 1 、“绝对值比任何正数都要小的量”等非正式描述。在经典的微积分或数学分析中,无穷小通常它以函数、序列等形式出现,例如,如果一个序列 如果满足如下性质: 对任意的预先给定的正实数 ,存在正整数 使得 在 时必定成立;或用极限符号把上述性质简记为则序列 a 被称为 时的无穷小量 注 1 。在非标准分析中,无穷小量也和实数一样被视为具体的“数”,这些数比零大,但比任何实数都小。前面用序列来定义无穷小量的经典方法或多或少有些难于处理,而“非标准”的无穷小量

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