1、11 经济 2 班内部学习资料 ZY排列定义 从 n 个不同的元素中，取 r 个不重复的元素，按次序排列，称为从 n 个中取 r 个的无重排列。排列的全体组成的集合用 P(n,r)表示。排列的个数用 P(n,r)表示。当 r=n 时称为全排列。一般不说可重即无重。可重排列的相应记号为 P(n,r),P(n,r)。组合定义 从 n 个不同元素中取 r 个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从 n 个中取 r 个的无重组合。组合的全体组成的集合用 C(n,r)表示，组合的个数用 C(n,r)表示，对应于可重组合有记号 C(n,r),C(n,r)。 排 列 组 合 的 基 本 理 论
2、 和 公 式排 列 与 元 素 的 顺 序 有 关 ， 组 合 与 顺 序 无 关 如 231 与 213 是 两 个 排 列， 2 3 1 的 和 与 2 1 3 的 和 是 一 个 组 合 (一 )两 个 基 本 原 理 (是 排 列 和 组 合 的 基 础 ) (1)加 法 原 理 ： 做 一 件 事 ， 完 成 它 可 以 有 n 类 办 法 ， 在 第 一 类 办 法 中 有m1 种 不 同 的 方 法 ， 在 第 二 类 办 法 中 有 m2 种 不 同 的 方 法 ， ， 在 第 n 类办 法 中 有 mn 种 不 同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N m1
3、 m2 m3 mn种 不 同 方 法 (2)乘 法 原 理 ： 做 一 件 事 ， 完 成 它 需 要 分 成 n 个 步 骤 ， 做 第 一 步 有 m1种 不 同 的 方 法 ， 做 第 二 步 有 m2 种 不 同 的 方 法 ， ， 做 第 n 步 有 mn 种 不同 的 方 法 ， 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N m1m2m3mn 种 不 同 的 方 法 这 里 要 注 意 区 分 两 个 原 理 ， 要 做 一 件 事 ， 完 成 它 若 是 有 n 类 办 法 ， 是分 类 问 题 ， 第 一 类 中 的 方 法 都 是 独 立 的 ， 因 此 用 加 法 原 理 ； 做
4、 一 件 事 ， 需 要11 经济 2 班内部学习资料 ZY分 n 个 步 骤 ， 步 与 步 之 间 是 连 续 的 ， 只 有 将 分 成 的 若 干 个 互 相 联 系 的 步 骤 ，依 次 相 继 完 成 ， 这 件 事 才 算 完 成 ， 因 此 用 乘 法 原 理 这 样 完 成 一 件 事 的 分 “类 ”和 “步 ”是 有 本 质 区 别 的 ， 因 此 也 将 两 个 原理 区 分 开 来 (二 )排 列 和 排 列 数 (1)排 列 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m(m n)个 元 素 ， 按 照 一 定 的 顺 序排 成 一 列 ， 叫 做 从 n 个
5、不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 排 列 从 排 列 的 意 义 可 知 ， 如 果 两 个 排 列 相 同 ， 不 仅 这 两 个 排 列 的 元 素 必 须 完全 相 同 ， 而 且 排 列 的 顺 序 必 须 完 全 相 同 ， 这 就 告 诉 了 我 们 如 何 判 断 两 个 排 列是 否 相 同 的 方 法 (2)排 列 数 公 式 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m n)个 元 素 的 所 有 排 列 当 m n 时 ， 为 全 排 列 Pnn=n(n 1)(n 2)321 n！ (三 )组 合 和 组 合 数 (1)组 合 ： 从 n 个
6、不 同 元 素 中 ， 任 取 m(m n)个 元 素 并 成 一 组 ， 叫 做 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m 个 元 素 的 一 个 组 合 从 组 合 的 定 义 知 ， 如 果 两 个 组 合 中 的 元 素 完 全 相 同 ， 不 管 元 素 的 顺 序 如何 ， 都 是 相 同 的 组 合 ； 只 有 当 两 个 组 合 中 的 元 素 不 完 全 相 同 时 ， 才 是 不 同 的组 合 (2)组 合 数 ： 从 n 个 不 同 元 素 中 取 出 m(m n)个 元 素 的 所 有 组 合 的 个 这 里 要 注 意 排 列 和 组 合 的 区 别 和 联 系 ，
7、 从 n 个 不 同 元 素 中 ， 任 取 m(m n)个 元 素 ， “按 照 一 定 的 顺 序 排 成 一 列 ”与 “不 管 怎 样 的 顺 序 并 成 一 组”这 是 有 本 质 区 别 的 例 题 分 析 1 首 先 明 确 任 务 的 意 义 例 1. 某 城 市 有 4 条 东 西 街 道 和 6 条 南 北 的 街 道 ， 街 道 之 间 的 间 距相 同 ， 如 图 。 若 规 定 只 能 向 东 或 向 北 两 个 方 向 沿 图 中 路 线 前 进 ， 则 从 M 到N 有 多 少 种 不 同 的 走 法 ? 分 析 ： 对 实 际 背 景 的 分 析 可 以 逐 层
8、 深 入 （ 一 ） 从 M 到 N 必 须 向 上 走 三 步 ， 向 右 走 五 步 ， 共 走 八 步 。 （ 二 ） 每 一 步 是 向 上 还 是 向 右 ， 决 定 了 不 同 的 走 法 。 （ 三 ） 事 实 上 ， 当 把 向 上 的 步 骤 决 定 后 ， 剩 下 的 步 骤 只 能 向 右 。 从 而 ， 任 务 可 叙 述 为 ： 从 八 个 步 骤 中 选 出 哪 三 步 是 向 上 走 ， 就 可 以 确 定走 法 数 ， 本 题 答 案 为 ： =56。 2 注 意 加 法 原 理 与 乘 法 原 理 的 特 点 ， 分 析 是 分 类 还 是 分 步 ， 是 排
9、 列 还是 组 合 例 2 从 6 双 不 同 颜 色 的 手 套 中 任 取 4 只 ， 其 中 恰 好 有 一 双 同 色 的取 法 有 _。 11 经济 2 班内部学习资料 ZY(A)240 (B)180 (C)120 (D)60 分 析 ： 显 然 本 题 应 分 步 解 决 。 （ 一 ） 从 6 双 中 选 出 一 双 同 色 的 手 套 ， 有 6 种 方 法 ； （ 二 ） 从 剩 下 的 十 只 手 套 中 任 选 一 只 ， 有 10 种 方 法 。 （ 三 ） 从 除 前 所 涉 及 的 两 双 手 套 之 外 的 八 只 手 套 中 任 选 一 只 ， 有 8 种方 法
10、 ； （ 四 ） 由 于 选 取 与 顺 序 无 关 ， 因 （ 二 ） （ 三 ） 中 的 选 法 重 复 一 次 ， 因 而共 240 种 。 3 特 殊 元 素 ， 优 先 处 理 ； 特 殊 位 置 ， 优 先 考 虑 例 3 对 某 件 产 品 的 6 件 不 同 正 品 和 4 件 不 同 次 品 进 行 一 一 测 试 ，至 区 分 出 所 有 次 品 为 止 。 若 所 有 次 品 恰 好 在 第 五 次 测 试 时 被 全 部 发 现 ， 则 这样 的 测 试 方 法 有 多 少 种 可 能 ? 分 析 ： 本 题 意 指 第 五 次 测 试 的 产 品 一 定 是 次 品
11、， 并 且 是 最 后 一 个 次 品 ，因 而 第 五 次 测 试 应 算 是 特 殊 位 置 了 ， 分 步 完 成 。 第 一 步 ： 第 五 次 测 试 的 有 C(4.1)种 可 能 ； 第 二 步 ： 前 四 次 有 一 件 正 品 有 C(6.1)中 可 能 。 第 三 步 ： 前 四 次 有 P(4.4)种 可 能 。 共 有 种 可 能 。 4 捆 绑 与 插 空 例 4. 某 人 射 击 8 枪 ， 命 中 4 枪 ， 恰 好 有 三 枪 连 续 命 中 ， 有 多 少 种 不 同的 情 况 ? 分 析 ： 连 续 命 中 的 三 枪 与 单 独 命 中 的 一 枪 不 能
12、 相 邻 ， 因 而 这 是 一 个插 空 问 题 。 另 外 没 有 命 中 的 之 间 没 有 区 别 ， 不 必 计 数 。 即 在 四 发 空 枪 之 间 形成 的 5 个 空 中 选 出 2 个 的 排 列 ， 即 P(5.2)。 4 间 接 计 数 法 .(1)排 除 法 例 4 正 方 体 8 个 顶 点 中 取 出 4 个 ， 可 组 成 多 少 个 四 面 体 ? 分 析 ： 所 求 问 题 的 方 法 数 =任 意 选 四 点 的 组 合 数 -共 面 四 点 的 方 法 数 ， 共 C(8.4)-12=70-12=58 个 。 5 挡 板 的 使 用 例 5 10 个 名
13、 额 分 配 到 八 个 班 ， 每 班 至 少 一 个 名 额 ， 问 有 多 少 种 不 同 的分 配 方 法 ? 分 析 ： 把 10 个 名 额 看 成 十 个 元 素 ， 在 这 十 个 元 素 之 间 形 成 的 九 个 空 中， 选 出 七 个 位 置 放 置 档 板 ， 则 每 一 种 放 置 方 式 就 相 当 于 一 种 分 配 方 式 。 因 而共 36 种 。 6 注 意 排 列 组 合 的 区 别 与 联 系 ： 所 有 的 排 列 都 可 以 看 作 是 先 取 组 合 ，再 做 全 排 列 ； 同 样 ， 组 合 如 补 充 一 个 阶 段 (排 序 )可 转 化
14、 为 排 列 问 题 。 11 经济 2 班内部学习资料 ZY例 6. 用 数 字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组 成 没 有 重 复 数 字 的 四 位 数 ， (1)可 组 成 多 少 个 不 同 的 四 位 数 ? (2)可 组 成 多 少 个 不 同 的 四 位 偶 数 ? (3)可 组 成 多 少 个 能 被 3 整 除 的 四 位 数 ? (4)将 (1)中 的 四 位 数 按 从 小 到 大 的 顺 序 排 成 一 数 列 ， 问 第 85 项 是 什 么 ? 分 析 ： （ 1） 有 个 。 （ 2） 分 为 两 类 ： 0 在 末 位 ， 则 有 种 ： 0 不 在 末
15、 位 ， 则 有 种 。 共 +种 。 （ 3） 先 把 四 个 相 加 能 被 3 整 除 的 四 个 数 从 小 到 大 列 举 出 来 ， 即 先 选 0， 1， 2， 3 0， 1， 3， 5 0， 2， 3， 4 0， 3， 4， 5 1， 2， 4， 5 它 们 排 列 出 来 的 数 一 定 可 以 被 3 整 除 ， 再 排 列 ， 有 ： 4()+=96 种 。 （ 4） 首 位 为 1 的 有 =60 个 。 前 两 位 为 20 的 有 =12 个 。 前 两 位 为 21 的 有 =12 个 。 因 而 第 85 项 是 前 两 位 为 23 的 最 小 数 ， 即 为 2301。 7 分 组 问 题 例 7. 6 人 分 乘 两 辆 不 同 的 车 ， 每 车 最 多 乘 4 人 ， 则 不 同 的 乘 车 方 法 为_。 分 析 ： （ 一 ） 考 虑 先 把 6 人 分 成 2 人 和 4 人 ， 3 人 和 3 人 各 两 组 。 第 一 类 ： 平 均 分 成 3 人 一 组 ， 有 种 方 法 。 第 二 类 ： 分 成 2 人 ， 4 人 各 一 组 ， 有 种 方 法 。 （ 二 ） 再 考 虑 分 别 上 两 辆 不 同 的 车 。 综 合 （ 一 ） （ 二 ） ， 有 种 。
