1、数学思维与数学文化论文本学期我选修了数学思维与数学文化这门选修课，通过对这门课的学习研究，虽然只有短短的十周左右，让我对于数学思维在理论研究和实际生活中的应用有了更深刻的认识，同时我也了解了许多数学文化的知识，培养了我对于数学的认知能力，特别加深了我对于高等数学这门原本有些陌生的课程的理解与认识。下面结合本学期选修课所了解的内容，就高等数学的思维方法与高等数学的文化做一个简单的论文报告。高等数学史以经典微积分为主要内容的。在选修课的前几节，老师向我们介绍了微积分的一些数学历史。微积分的思想萌芽，特别是积分学，部分可以追溯到古代。我们已经知道，面积和体积的计算自古以来一直是数学家们感兴趣的课题，
2、在古代希腊、中国和印度数学家们的著述中，不乏用无限小过程计算特殊形状的面积、体积和曲线长的例子，这便是积分学最早的应用。与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大极小值等问题。古希腊学者曾进行过作曲线切线的尝试，如阿基米德论螺线中给出过确定螺线在给定点处的切线的方法；阿波罗尼奥斯圆锥曲线论中讨论过圆锥曲线的切线，等等。但所有这些都是基于静态的观点，把切线看作是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”而与动态变化无干。古代与中世纪中国学者在天文历法研究中曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，如郭守敬授时历中求
3、“月离迟疾”(月亮运行的最快点和最慢点)、求月亮白赤道交点与黄赤道交点距离的极值(郭守敬甚至称之为“极数”)等问题，但东方学者以惯用的数值手段(“招差术” ，即有限差分计算)来处理，从而回避了连续变化率。总之，在 17 世纪以前，真正意义上的微分学研究的例子可以说是很罕见的。提到微积分的发展，老师向我们着重介绍了牛顿，开普勒，笛卡尔，莱布尼茨，拉格朗日等人的生平事迹与他们当时所处的社会环境，以及他们对于微积分的发展做出的不同贡献。德国天文学家、数学家开普勒在 1615 年发表的测量酒桶的新立体几何中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确
4、定曲边形的面积和旋转体的体积。意大利数学家卡瓦列里在其著作用新方法促进的连续不可分量的几何学(1635)中发展了系统的不可分量方法笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方圆有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的。17 世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。老师在上课
5、时曾与我们研究讨论过牛顿的一席话，牛顿说他之所以会取得巨大的成就，是因为他站在巨人的肩膀上。其实牛顿并不是谦虚，他的确是吸收了前辈们对于还未成形的微积分的研究成果。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的几何学和沃利斯的无穷算术对他影响最深，正是这两那著作引导牛顿走上了创立微积分之路。在牛顿以前，面积总是被看成是无限小不可分量之和，牛顿则从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，以往虽然也曾被少数人在特殊场合模糊地指出，但牛顿却能以足够的敏锐的能力将这种互逆关系明确地作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础正如牛顿本人在流数简论中所说：一旦反微分问
6、题可解，许多问题都将迎刃而解。这样，牛顿就将自古希腊以来求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数术亦即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。这是他超越前人的功绩，正是在这样的意义下，我们才可说牛顿发明了微积分。然而，在了解了牛顿对于微积分做出的重大贡献的同时，老师还向我们提到，牛顿和莱布尼茨的微积分是不严格的，特别在使用无限小概念上的随意与混乱，这使他们的学说从一开始就受到怀疑和批评。牛顿因此一生都没发表过论文，因为早前只要他一发表论文就会招来许多的批评。欧洲大陆的数学家们则力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难。在 18 世纪，这方面的代表人物
7、是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。18 世纪的数学家们一方面努力探索在微积分中注入严密性的途径，一方面又不顾基础问题的困难而大胆前进，极大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，其紧密程度是数学史上任何时期都无法比拟的，它已成为 18 世纪数学的鲜明特征之一。微积分的这种广泛应用成为新思想的源泉，从而也使数学本身大大受益，一系列新的数学分支在18 世纪逐渐成长了起来。选修课上老师的一句话曾给我了些许的困惑，就是数学家一般都是哲学家，学习数学的人比学习哲学的人要更严谨更有逻辑。但随着时间的推移，通过选修课对于数学思维文化的一些了解，我逐渐释然起来。我了解到，数学和哲学同为两门最古老的学科。从
8、古代常量数学,到近代变量数学及现代数学理论的形成过程中,哲学在推动其发展、揭示其内涵方面起到了重要作用。而数学也以其高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性为哲学的发展提供依据和论证。可以说,在人们不断地对自我和大自然的认识过程中,数学和哲学都得到了很大的发展。举一个简单的例子，当我们同学进行微积分运算时,实际上实现了事物从一个数量层次到另一个数量层次的质变。这种质变是经历了一个无限的变化过程才发生的。在大学课程中学习高等数学时，有许多量用代数或几何方法是不可求的,但运用极限,我们就可以让不可求变为可求,不易求变为易求,这在哲学上就是极限的思想。在现生活中,由于人的能力的局限,我们对事物的研究
9、不可能穷其所有,亦不可能面面俱到,我们所看到、听到的仅仅是事物的一部分。,我们可以将对一个事物局部的个别的认识上升为对整体的具有一般规律性的认识，哲学上的方法叫“归纳”,与微分相对应,数学上叫积分。由此相应地我们就可以“由点到线”、“由线到面”、“由面到体”因此，哲学与数学相互促进相互照应，哲学对于高数的学习有指导作用，二者相辅相成。选修课的学时虽然不多，但是通过对于数学思维文化的学习我对于高等数学有了更深的理解与认识，我感受到我们大学生若能充分调动求知的欲望，回报社会的愿望来学习数学，就可以激发智慧，陶冶性情，感受到学习数学的乐趣。我们通过学习研究高等数学，不仅要学习它的思维模式，而且要继承它那勇于向前探索，不断创新的精神。在我们以后的学习和工作中，也要发扬和传播这种精神，激发大家的爱国热情，振兴民族科学。建设管理与房地产学院 丁彦昭 20110731 2012.5
