1、按一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number） 。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项） ，排在第二位的数称为这个数列的第 2 项排在第 n 位的数称为这个数列的第 n 项。目录由来 三角形数 正方形数概念 表示方法 等差数列 定义 缩写 等差中项 通项公式 前 n 项和 性质 应用等比数列 定义 缩写 等比中项 通项公式 前 n 项和 前 n 项和与通项的关系 性质 应用等和数列 定义 性质 练习一般有 特别数列 特殊数列 前 N 项和 著名数列 定理口诀展开由来 三角形数 正方形数概念 表示方法 等差数列 定义
2、缩写 等差中项 通项公式 前 n 项和 性质 应用等比数列 定义 缩写 等比中项 通项公式 前 n 项和 前 n 项和与通项的关系 性质 应用等和数列 定义 性质 练习一般有 特别数列 特殊数列 前 N 项和 著名数列 定理口诀展开编辑本段由来三角形数传说古希腊毕达哥拉斯（约公元前 570-约公元前 500 年）学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数。比如，他们研究过 正方形数由于这些数可以用如右图所示的三角形点阵表示，他们就将其称为三角形数。类似地， 被称为正方形数，因为这些数能够表示成正方形。因此，按照一定顺序排列的一列数成为数列。三角形点阵编辑本段概念数
3、列的函数理解：数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集 N*或其有限子集 1，2，3，n的函数，其中的1，2，3，n不能省略。用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a.列表法；b。图像法；c.解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。数列的一般形式可以写成简记为an ，项数有限的数列为“有穷数列”（finite sequence） ，项数无限的数列为“无穷数列”（infinite sequence） 。数列的各项
4、都是正数的为正项数列；从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；如：1，2，3，4，5，6，7；从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列；如：8，7，6，5，4，3，2，1；从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做摆动数列；各项呈周期性变化的数列叫做周期数列（如三角函数） ；各项相等的数列叫做常数列（如：2，2，2，2，2，2，2，2，2） 。通项公式：数列的第 N 项 an 与项的序数 n 之间的关系可以用一个公式 an=f(n)来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式（注：通项公式不唯一） 。递推公式：如果数列an的第 n 项与它
5、前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。数列中项的总数为数列的项数。特别地，数列可以看成以正整数集 N*（或它的有限子集1，2，n）为定义域的函数 an=f(n)。如果可以用一个公式来表示，则它的通项公式是 a(n)=f(n).并非所有的数列都能写出它的通项公式。例如： 的不同近似值，根据精确的程度，可形成一个数列 3，3.1，3.14，3.141，它没有通项公式。数列中的项必须是数，它可以是实数，也可以是复数。用符号an 表示数列，只不过是“ 借用”集合的符号，它们之间有本质上的区别：1.集合中的元素是互异的，而数列中的项可以是相同的。2.集合中的元素是无
6、序的，而数列中的项必须按一定顺序排列，也就是必须是有序的。编辑本段表示方法如果数列an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如 。数列通项公式的特点：（1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不唯一。 （2）有些数列没有通项公式如果数列an 的第 n 项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如 an=2a(n-1)+1 (n1)数列递推公式的特点：（1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不唯一。 （2）有些数列没有递推公式有递推公式不一定有通项公式编辑本段等差数列定义一般地，如果一个数列从第 2
7、 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列（arithmetic sequence） ，这个常数叫做等差数列的公差（common difference） ，公差通常用字母 d 表示，前 N 项和用 Sn 表示。缩写等差数列可以缩写为 A.P.（Arithmetic Progression） 。等差中项由三个数 a，A，b 组成的等差数列可以堪称最简单的等差数列。这时， A 叫做 a 与 b 的等差中项（arithmetic mean） 。有关系：A= （a+b）/2通项公式an=a1+(n-1)da1=S1(n=1)时an=Sn-S(n-1) (n2)时an=kn+b
8、(k,b 为常数) 推导过程： an=dn+a1-d 令 d=k，a1-d=b 则得到 an=kn+b前 n 项和倒序相加法推导前 n 项和公式：Sn=a1+a2+a3+an=a1+(a1+d)+(a1+2d)+a1+(n-1)d Sn=an+(an-d)+(an-2d)+an-(n-1)d 由+得 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+(a1+an)（n 个）=n(a1+an)故 Sn=n(a1+an)/2等差数列的前 n 项和等于首末两项的和与项数乘积的一半：Sn=n(a1+an)/2=n*a1+n(n-1)d/2Sn=(d/2)*n2+(a1-d/2)n性质且任意两项 am，an 的关
9、系为：an=am+(n-m)d它可以看作等差数列广义的通项公式。从等差数列的定义、通项公式，前 n 项和公式还可推出：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=ak+an-k+1，k1,2,，n若 m，n，p，qN*，且 m+n=p+q，则有am+an=ap+aq,p,q 可以相同，也可以不同，但以下不成立：若 m+n=p,则 am+an 不=apS2n-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)（an+1）Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，Snk-S(n-1)k成等差数列，等等。前 n 项和=（首项+ 末项）项数 2项数=（末项- 首项）公差+1首项=2 前 n 和项数- 末项末项=
10、2 前 n 和项数- 首项设 a1,a2,a3 为等差数列。则 a2 为等差中项，则 2 倍的 a2 等于 a1+a3，即 2a2=a1+a3。应用日常生活中，人们常常用到等差数列如：在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级。若为等差数列，且有 an=m,am=n.则 a(m+n)=0。其于数学的中的应用，可举例：快速算出从 23 到 132 之间 6 的整倍数有多少个算法不止一种，这里介绍用数列算令等差数列首项 a1=24（24 为 6 的 4 倍） ，等差 d=6,;于是令 an = 24+(n-1)*60 时，则可把 an 看作自变量 n
11、的函数，点(n,an)是曲线 y=a1/q*qx 上的一群孤立的点。（2）求和公式：Sn=na1(当 q=1 时)Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-a1qn)/(1-q)=a1/(1-q)-a1/(1-q)*qn ( 即 A-Aqn)(前提：q 不等于 1)任意两项 am，an 的关系为 an=amq(n-m)（3）从等比数列的定义、通项公式、前 n 项和公式可以推出： a1an=a2an-1=a3an-2=akan-k+1，k1,2,，n（4）等比中项：aqap=ar2，ar 则为 ap，aq 等比中项。记 n=a1a2an ，则有 2n-1=(an)2n-1，2n+1=(an+1
12、)2n+1另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底对数后构成一个等差数列；反之，以任一个正数 C 为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂 Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。编辑本段等和数列定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。对一个数列，如果其任意的连续 k（k2）项的和都相等，我们就把此数列叫做等和数列性质必定是循环数列证明：对任意正整数 n，有 an + an+1 + + an+k-1 = an+1 + an+2 + + an+k， 所以对任意正整数
13、n，an = an+k，如果这个数列有 n+k 项的话。练习1、下面一列整数中（每个字母或括号都代表一个整数） ，任意相临的 3 个整数的和都是20，则 x+y+z=？ x，2， （） ， （） ， （） ，4， （） ，y， （） ， （） ，z2 （2004 年湖南省理科实验班联合招生考试数学卷第 2 试第三题） 圆周上放着 120 个正数（不一定是整数） ，今知其中任何相连的 35 个数的和都是 200证明：这些数中的每一个数都不超过 30 （旁注：题目中“相连”即“ 相邻”之意） 答案： 第 1 题 ： x=14,y=2,z=2 ， 故： x+y+z=18 ； 第 2 题 ： （120,35）=5 ，使 5 个数为一组，每 7 组的和是 200，那么每组有 200/72）请教：数列“2、 3、5、8、13 、21、34、55、89、144“从第 3 项起，前 2 项之和即等于本项数。请问，这应是什么数列？并请写出它的“通项公式”和“前 N 项和公式”。编辑本段定理口诀等差等比两数列，通项公式 N 项和。两个有限求极限，四则运算顺序换。数列问题多变幻，方程化归整体算。数列求和比较难，错位相消巧转换，取长补短高斯法，裂项求和公式算。归纳思想非常好，编个程序好思考：一算二看三联想，猜测证明不可少。还有数学归纳法，证明步骤程序化：
