1、归纳推理在数学中的应用及其对我们的意义摘 要：逻辑学是一门应用广泛的科学，其他学科总是会有不少思想方法或直接或间接来源于逻辑学。本文主要以几个数学问题作为例子论述其中一种推理方法：归纳推理。然后分析归纳推理在科学研究和现实生活中的意义。关键字：完全归纳推理； 不完全归纳推理； 数学问题； 归纳推理的意义；科学归纳推理；0 引言。 归纳推理是归纳逻辑的基本内容，它是从个别性质是推出一般性知识的推理，它分为完全归纳推理和不完全归纳推理1。这种推理属于合情推理和放大性推理，其中不完全归纳推理的前提与结论的联系是或然的。然而它们是探求新知识的重要方法。归纳推理对我们认识生活，科研创新等等有很大帮助。1
2、. 完全归纳推理 完全归纳推理是一种演绎推理，这种推理要求考察事物的每一个对象，因此推出的结论具有必然性。2这种方法在数学中的表现为枚举法。尽管这种方法要求较高，但有时解决问题不得不求助于这个方法。例如曾经困扰大多数数学家的四色定理：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。 ”用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用 1，2，3 ，4 这四个数字之一来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。 ”美国伊利诺大学哈肯阿佩尔合作编制一个很好的程序，就在 1976 年 6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了 1200 个
3、小时，作了 100 亿判断，终于完成了四色定理的证明，轰动了世界。3可见他们证明它用的就是枚举法。这种方法的应用是建立在所有的情况都能列举的基础上的。它对于可能出现的情况有无限种的命题是无能为力的。2. 不完全归纳推理先看一个例子：十个圆最多把平面分成多少部分？这样的题目，一开始会给人一种无法处理的错觉，是这样吗？其实，我们把十个圆减少一点就可以很容易得到答案的，然后在这些答案的基础上，归纳出十个圆时的结果。具体做法如下：然而这里的关系还不是很明显，对归纳造成一定影响，但是表格中增加一行后，归纳起来就容易多了。圆个数 n 1 2 3 4 5 份数 f(n) 2 4 8 14 22 圆个数 n
4、1 2 3 4 5 份数 f(n) 2 4 8 14 22 f(n)-f(n-1) 2 4 6 8 圆个数 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10份数 f(n) 2 4 8 14 22 32 44 58 74 92不难归纳出 f(n)-f(n-1)=2(n-1)，即最后的一行是一个偶数列，依次补全余下的几个空格得故得到十个圆最多把平面分成 92 个部分。这里是典型的不完全归纳推理的应用。所谓不完全推理，就是根据一类事物中，部分对象具有（或不具有）某种属性，推出该类事物都具有（或不具有）某种属性的归纳推理。4但是，这种推理结论与前提之间没有必然联系，有些时候还是会因此而出错的。比如，黄鱼用
5、鳃来呼吸，鲫鱼用鳃来呼吸，鲤鱼用鳃来呼吸，带鱼用鳃来呼吸，青鱼用鳃来呼吸，所以所有鱼都是用鳃来呼吸的，这显然是错的，因为有的鱼（如鲸鱼）是用肺来呼吸的。再比如上个例子中，如果我们只注意到这个表的前几个数据，就会妄加断言 f(n)=2n因此，不完全归纳推理并不像归纳推理那样，得到一定正确的结论。要确保得到结论的正确性，就必须要借助演绎推理的办法。各种各样的数学归纳法由此产生，尽管它们被称为归纳法，但用这些方法借助正确的逻辑推理形式得到的结论具有必然性，这些方法是演绎推理的方法，而非归纳推理的方法。由不完全推理得出的结论，有时尽管没有找到反例，但我们不能因此认定它就是正确的，哲学上讨论的休谟问题说
6、明了这些结论的或然性。虽然，不完全归纳推理推出的结论具有或然性，但是我们可以提高结论的可靠程度。首先，列举的数量越多，考察的范围越广，推理的可靠程度越高。另外，注意寻找有没有相反的事例。由于枚举推理的结论是否可靠，关键在于有没有反例，因此，在尽可能地列举事例后，注意观察一下有无反例是必要的。如果有一个反例就不能推出一个结论；如果没有发现反例，那么推出的一般结论，虽然具有或然性，但也是有一定可靠性的。4再举一个例子：广场上有 99 个间谍，每个间谍间距离均不同，每个间谍只盯着离自己最近的间谍，求证：至少有一人没被盯着。初看题目，我们很容易会被 99 这个如此大的数字吓到而失去了解题的思路。但是，
7、我们完全可以仿照“十个圆最多把平面分成多少部分？”这道题目的做法。从简单的情形入手，便于我们做不完全归纳。我们的目的就是尽量使所有人都被盯。要是只有 1 个间谍 A，他肯定没被盯着。要是只有 2 个间谍 A,B，他们肯定是互盯的。有 3 个间谍 A,B,C ，每个间谍间距离均不同，不妨设三个距离中 AB 相距最近，那么C 肯定是没有被盯着的。有 4 个间谍 A,B,C,D ，每个间谍间距离均不同，如果六个距离中最短的两个分别为AB,CD，那么 AB 互盯,CD 也互盯。有 5 个间谍 A,B,C,D,E ，每个间谍间距离均不同，要使所有人都被盯，不论谁盯着谁，每个人只能得到一个盯（因为总盯数跟
8、人数相等） ，因此不能有人被两个人盯着，否则必有人没被盯。考虑距离最近的两个间谍不妨设为 A,B，那么 AB 必互盯，为了不让有人得到两个盯，A,B 必须不被任何人盯，所以 A,B 必须要独立与这个系统之外，所以把 A,B 从这个系统中剔除，于是只剩下 3 个间谍，转化成 的情况。根据以上分析，我们不难看出，间谍个数为偶数时，我们总可以构造出存在间谍没被盯的情况，而间谍个数为奇数时，无论我们如何费尽心机，都至少有一个人没被盯。这样，我们来证明 99 个间谍就容易多了。关健在于 99 是个奇数。解题过程就是认识到最短距离的两个人必须是对视的。然后证明若其它人再盯这两个人，即有人得到两个盯，必然导
9、致有f(n)-f(n-1) 2 4 6 8 10 12 14 16 18圆个数 n 1 2 3份数 f(n) 2 4 8人没被盯，因此剩下的九十七个人就跟这两个人是独立的。这样就把 99 个人变成 97 个人了，以此类推，最后必剩下一个人没被盯！证毕。至于间谍个数为偶数时，我们总可以构造出存在间谍没被盯的情况，我们可以这样构造，让他们成对存在，即是每对都离其他人很远很远，于是，每一对都必定是对视的，这样就构造出没有人被盯的例子。间谍数为奇数时，不能这样构造是因为他们无法都成对存在。3.研究归纳推理的意义 归纳推理可以发现新的结论。数学推理是特别强调演绎推理（或称逻辑推理）的；但是演绎推理的结论
10、其实都是蕴含在前提当中，与演绎推理相对应的另一种推理是合情推理，如归纳推理，类比推理等都是合情推理。归纳可以发现新的结论，但是归纳推理发现的新结论可能是正确的，也可能是不正确的，还要靠演绎推理来证明或证否。 5虽然归纳推理无法保证结论与前提具有必然关系，但是，它是获得新思路，新发现的一种观点，一种手段。正如空间中的欧拉公式 V-E+F=2 的发现，正是通过对四面体，五面体，六面体，七面体，八面体等一系列多面体的归纳，然后推出一般的多面体遵循的等式，与归纳推理所不同的是，归纳出一般的等式后，还需要严密的演绎推理。尽管归纳推理不能帮助我们证明一个结论，但是很多时候，一个结论的发现必须得借助归纳推理
11、。归纳推理有助于我们更好的认识事物的本质，尤其是科学归纳推理很好地反映这一特性。科学推理以对因果联系的分析为基础，它所得到的结论要比以经验为主要依据的枚举归纳推理的结论可靠得到。比如我们对太阳从东边升起的认识，如果单纯地建立在每天的观察的基础上，那么这样的认识是不深入的。如果我们在这个现象的基础上，稍加分析，便可得到太阳这个活动的本质是地球的自转方向，如果地球的自转方向不再是自西向东，而是自东向西，那么太阳就不再是从东边升起来的了。这样归纳推理也可以帮助我们从本质上去认识事物。在科学研究中广泛应用的一种归纳推理方法是科学归纳推理，这种推理的结论要比枚举归纳推理的结论可靠程度要高得多。归纳推理不
12、仅指导着人类的科研，还指导人们去生活得更好。比如我们可以从往年的春运客车票价都会大幅度提价，归纳出以后也是如此，因此过年用的东西要尽早准备好。再如，每次地震前夕都会有一些奇特的现象发生，我们归纳出这个以后，一旦发现有怪异的现象就应当引起我们的足够重视，就应该提前做好应对灾难的准备。因而，归纳推理是一种能知道我们生活的更好的推理方式。参考文献： 1南开大学哲学系逻辑学研究室 编著：逻辑学基础教程（第二版） 152 页；南开大学出版社；2008-072南开大学哲学系逻辑学研究室 编著：逻辑学基础教程（第二版） 153 页；南开大学出版社；2008-073百度百科-“四色定理”4南开大学哲学系逻辑学研究室 编著：逻辑学基础教程（第二版） 157 页；南开大学出版社；2008-075顾沛 编著；数学文化 189 页；高等教育出版社； 2008-06
