1、(此文档为 word 格式，下载后您可任意编辑修改！)本科生毕业论文 （ 设 计 ）数列极限的几种求法二级学院 ： 数学与计算科学学院专 业 ： 数学与应用数学年 级 ：学 号 ：作者姓名 ：指导教师 ：完成日期 ： 2013 年 5 月 5 日 A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他数列极限的几种求法专业名称：数学与应用数学作者姓名： 指导教师： 论文答辩小组组 长： 成 员： 论文成绩： 目录1 引言 12 关于数列极限两种最常见的求法 12.1 定义法 .12.2 两边夹原则 .33 几种判别数列极限存在的方法 43.1 单调有界定理 .43.2 柯西收敛准则 .64 利用函
2、数性质求极限 104.1 海涅定理 .104.2 重要极限的应用 .125 其它方法 145.1 施笃兹定理法 .145.2 级数性质法 .175.3 定积分定义法 .175.4 错位法与拆分法 .191数列极限的几种求法摘 要：主要介绍了极限的几种求法,并以几个实例来加以说明.关键词：数列;极限;求法Several Methods of Finding the Sequence limitAbstract: Several methods of Finding the sequence limit are introduced and some examples are used to ex
3、plait them.Keyword：sequence ; limit; solution1 引言数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础.同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛.虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等.因此通过比较研究，实例对比总结结论以获得对知识更深的理解就显得极其重要.2 关于数列极限两
4、种最常见的求法2.1 定义法定义 2.1.14 设 为数列 , 为实数,若对任给的正数 总存在正整数 使na ，N得当 时有 则称数列 收敛于 实数 称为数列 的极限,并记Nn,n na， an作 或 .lima()例 2.1.21 设 证明.0liaxn .limaxn2证明 因为 故 (取 ), ,有.0limaxn21，Nn.axannn 于是 由 的任意性知,412axn.limxn例 2.1.36 用 语言证明N).1(0lian证明 设 由于 所以 由二项式定理得,ua,a.u,2)(2)(1)( unn 因此 ,)(0uann解此不等式得 应取,12.12N用 语言表述即为: 即
5、N,0.)(2a当 时，有n,)1(2unan这就说明了 .0limn小结 设通过以上例子总结出运用 论证法的大致步骤:”“N-任意给定 )(i；令 ；Axn推出 )(i；)(取 再用 语言顺述并得出结论.v，NN-以上是对已知数列极限存在的情况下求数列极限,那么对于一个给定的数列,当它满足什么条件时才能保证这个数列的极限存在呢?下面给出的迫敛性法则有助于我们找到结论.32.2 两边夹原则定理 2.2.12 设收敛数列 , 都以 为极限 ,数列 满足存在正整数nabanc当 时有， 则数列 收敛，且，0N0n，ncac.liman例 2.2.2 5 求极限 .sin)1(lim2kkn解 利用
6、 得,si613xx 22632sin1kkn从而 63121 )()( nnkk 2121 )(si kknk 又由于 nnnknk ,0)(163163所以有 ,65)()(lim)(lim1021212 dxknnk故 .65si)(li21nkn例2.2.3 4 求极限 （北京大学1999年）.1sin21iilmn 解 由题意立即可得 21sini1sinsiin.si2siisinn4又有 )1sin2sinsi(lmn sisi(i1li n)in2in(sili n.i10xd同理可得 .2)1sinsini(lmn因此 .sin2si1il nn小结:运用两边夹原则的关键在于
7、将数列 进行适当地放大与缩小 ,一般是从nc数列 本身结构出发 ,将其通项放大后得数列 ,缩小后得数列 并使 与nc a，nbna的极限都存在且相等,放缩的技巧基本上类似应用 定义法证数列极限时的b “-N常用方法,关键在于掌握不等式放缩的各种方法.但事实上很多数列不一定就有一定规律的或者很容易使用两边夹原则就可以求之的,而且有的数列是有极限还得进行判断,这时就得引入判别数列极限存在的定理.我们已经知道,收敛数列必定有界,但有界数列却不一定收敛,那么对于有界数列,我们应该附加什么条件,才能保证它收敛呢?3 几种判别数列极限存在的方法3.1 单调有界定理定理3.1.1 1 在实数系中,有界的单调
8、数列必有极限.注: 定理中的两个条件（单调和有界）缺一不可,如数列 是有界的,但它不)(i n)1(5满足单调性,由以前学习所知,它的极限并不存在,又如数列 显然是单调的,但2n它无界,显然它的极限不存在.此定理中 “单调有界”的条件是充分的,然而并非必要.例如 的极限)(i nsi存在,但它不具备有单调性.例 3.1.22 设 求,21,0)(21,0 nxxnn .limxn（华南理工大学 1998 年）解 由题意可得, 且,0nx ,221)(21 nnn xxx又 ,0)(211 nnnnx所以数列 单调减少有下界，从而收敛.不妨设nx ,limax对 两端取极限可得 )(21nn )
9、,2(1a解得 ( 舍去)2a2a因此 .limn例 3.1.39 证明 enn )!1!321(li证明 令 则显然 是严格单调递增的，;!1nyn y又因为 121nn32121)(故 有上界.因此 收敛，另一方面，任意设定 当 时，nyny,kn6321!)2(1!)(1!)1( nnnn3)1()21(!)21(!3)1(!2 nnnn kk 由此式两端令 得,!1!321ke另外，又可看出 ek)1( 故由两边夹法则可知 nn )!1!32lim到目前为止,我们讨论一个数列 是否收敛时,总是和一个特定的数列 紧密a a联系在一起的,我们的任务只是验证数列 是否以 为极限,但事实上如果
10、预先不na告诉我们那个 ,如何从数列本身的特性来判断它是否收敛 ?另一方面,单调有界原理a只是数列收敛的充分条件,它只适合于一类特殊的数列-单调有界数列，因而它对求数列极限有很大的局限性.所以单调有界原理并不是收敛的特征性质，这也就要求我们必须寻找一个能够刻画数列收敛的特征,即从数列本身的结构出发，来研究收敛的充要条件.3.2 柯西收敛准则定理 3.2.14 数 列 收 敛 的 充 分 必 要 条 件 是 任 给 存 在 使 得na ，0，)(N当 时 ,都 有Nnm，nma )21.3(成 立 .注 : 我们令 则 这时 为正整数（当 时必有 ）.于是)(i,pn,pNnm上式可以改为 .a
11、这 样 我 们 就 得 到 柯 西 准 则 的 另 一 种 表 述 形 式 :7定 理 3.2.27 数 列 收 敛 的 充 要 条 件 是 :任 给 总 存 在 正 整 数 na,0,N使 得 时 ,对 一 切 正 整 数 都 有 Nn,p.nn )2.3(成 立 .显 然 ,柯 西 收 敛 准 则 的 两 种 表 达 形 式 等 价 ,他 们 各 有 方 便 之 处 .柯西收敛准则揭示了收敛数列的本质特征,它表明数列收敛时,对于下标充分)(i大的任意两项能相差任意小.利用柯西收敛准则来判断一个数列是否收敛(也是 方法)无需事先知)i “N道数列的极限是什么,只需根据数列本身的结构特征,恰当
12、的运用不等式,就能鉴别它的收敛性.例 3.2.35证 明 数 列 收 敛 .),21(!sin!3sin2i1sin a证 明 (证 法 一 )设 考 虑 下 式,m!sin)!2(si)!1(si mnnan !i)!(i)!(i mnn )1()2(1)(1.11nmn可 见 ,任 给 要 使 只 需 要 或 即 可 ,故 只 须 选 取 正,0,na1n整 数 则 当 时 ,有 所 以 由 定 理 4.11便 可 知，1NN,anm8收 敛 .na(证 法 二 )因 为 )!(sin)!2(sin)!1(si panp )!(i)!(i)!(i nn)(1()2(1)(1 pn nnpn
13、11可 见 ,任 给 要 使 只 需 要 或 即 可 ,故 只 须 选 取,0,npan1正 整 数 则 当 时 ,对 一 切 正 整 数 都 有 所 以 由 定，1NNn，p,napn理 4.12知 数 列 收 敛 .na注 :上 例 表 明 ,运 用 柯 西 收 敛 准 则 的 两 种 形 式 (定 理 4.11和 定 理 4.12)证 明 一个 数 列 的 收 敛 性 ,其 方 法 与 利 用 定 义 法 验 证 数 列 极 限 的 方 法 在 程 序 和 要 求“N上 是 类 似 的 .但 要 注 意 ,由 于 绝 对 值 不 等 式 和 都 有 两 个 下 标 ,而 所 要)1.()
14、2.(确 定 的 正 整 数 仅 与 有 关 ,而 与 或 无 关 ,故 在 放 大 或 时Nmpnmanpa必 须 设 法 把 下 标 或 去 掉 ,使 最 后 得 到 的 式 子 仅 含 有 如 下 例 :mp.例 3.2.45 已 知 证 明 数 列1q收 敛 .),21(32 nqan证 明 设 因 为,m9mqnqanm 21mnn qq21nnm1)(可 见 ， 任 给 要 使 只 需 要 或 即 可 ,故,0,nmaqnqln)(只 须 选 取 正 整 数 则 当 时 ,有 从 而qNl)1(nN,1anm由 定 理 4.11可 知 收 敛 .na与 此 同 时 ,上 述 柯 西
15、 收 敛 准 则 也 经 常 用 来 研 究 数 列 的 敛 散 性 ,为 此 我 们 又 给出 :定 理 3.2.57 数 列 发 散 的 充 要 条 件 是 :存 在 某 个 使 得 对 任 何 的na ,0自 然 数 ,必 有 和 ,使 得Nm0N0 .00nma此 定 理 是 柯 西 收 敛 准 则 的 反 面 叙 述 .例 3.2.63 证 明 数 列 发 散 .)3,21(312 nan证 明 由 定 理 并 设 考 虑 到，15.4,mmnan21)(1nmn1因 此 ,如 果 则 有 ,2nm21a10这 样 对 于 不 管 多 大 ,如 果 取 ，210N,2,100nmNn
16、则 并 且,mn 0002100 nanm从 而 发 散 .na最 后 ,我 们 强 调 指 出 ,利 用 以 上 定 理 分 析 解 决 数 列 问 题 时 ,必 须 正 确 指 出 使 用定 理 的 条 件 ,否 则 就 会 出 现 不 必 要 的 错 误 .如 对 柯 西 收 敛 准 则 中 和)1.4(式 中 的 它 只 与 有 关 ,而 与 及 都 无 关 ,如 果 不 注 意 这 一 条 件 就 会 出)12.4(，nmp现 错 误 .例 如 ,对 于 数 列 对 任 一 正 整 数 及 确 定 的)3,21(312 nan 正 整 数 取 当 时 ,即 时 ,恒 有，p，PNNp
17、pnanp 1111但 事 实 上 由 例 6我 们 知 ,数 列 是 发 散 的 . na4 利用函数性质求极限我们已经指出函数极限与数列极限的主要差别在于前者的变量连续地变化,后者的变量离散地变化(跳跃地变化).实际上,无论变量是离散地变化还是连续地变化,只要它们的变化趋势相同,从极限的意义来说,效果就都是相同的.基于这个事实,数列极限与函数极限之间应该存在着一定的关系,它们在一定的条件下应能相互转化,能够建立这种关系的就是下面的海涅 定理:)(Hein114.1 海涅定理定理4.11 2 的充分必要条件是：对于任意满足条件 Axf)(lim0 ,lim0xn且 的数列 有 ),21(0n
18、x,n .)(liAxfn例4.1.2 7 求极限 )0(),(li12nn解 1)( )(1212 nnnn xx11)(11nxnn由于 ，xxtxtttt l)l(limli00 由海涅定理我们知 .ln)1(li)(1xnx所以原式为).x(lim1nn2nxnxnnn l1limlili 1)(11 例 4.1.34 若 ,求 .（华南师大 1997 年）0,cbancba3lim12解 先考虑 3ln3ln 1111 xxxx cbacba而极限 lnlim111xxxx cxcbaxxx13lnli 1121112212 lnlnlnlimxcbacxxxxx abccbaxxx
19、 ln31llnlli 11所以 nnnn 3lim xxcbanxxn ecba 11ln11limli31ln313lacecebc小结:海涅定理揭示了变量离散地变化与连续地变化之间的内在关系,即在某种条件下,数列极限与函数极限可以相互转化.海涅定理有着广泛的应用,在解决问题时,根据海涅定理,我们可以把关于函数的极限问题转化为数列的极限问题;也可以把数列的极限问题转化为函数的极限问题.根据归结原则,若函数的极限存在，则同一极限过程的点列必存在且相等.对一些复杂的数列极限,可借助函数极限的方法去求解.因为函数的极限可用洛必达法则,泰勒公式,等价无穷小等很好的公式去求解.134.2 重要极限的
20、应用定理 4.2.14 两个特殊极限 ;1sinlim)(0xx.)(li)1(li)0 exxx 例 4.2.27 求极限 )4(tanlim解 记 为 则 令n1，x,0x),4(tan1xyx则 )4tan(lly2)4tan(lim)t(limli 2000 xsexyxxx 故 从而,li20eyx.)1(tanli 2en例 4.2.37 求极限 .)ln1l(ncotsi26limarnn解 利用等价无穷小得 )(l)l1l( 而 ,2limn所以 )ln1l(ncotsi26li arnn14narcn1)ot(si6lim2)cot(si6li3arn将 换为 ，则当 时有
21、于是利用洛必达法则有n1x,0x30)1cot(sin6limxxarx220 )1(coslixx )(slim2220 x故 .1)ln1l(ncotsi6lim2arnn小结:以上方法是利用重要公式求极限或转化为函数的极限,此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上,对所求式子作适当变形,从而达到求其极限的目的,这种方法灵活,有相当的技巧性.5 其它方法5.1 施笃兹定理法我们所学的施笃兹 公式也是求数列极限的一种有利工具,但需要满足一定)(stolz的条件:若数列 单调递增趋于 ,且 （可以为无穷大） ，那么nyAyxnn1lim,有了这样的公式我们在解决一类数列极限时可以简便求出其
22、解.Ayxnlim15定理5.1.1 2 若 严格增大,且无界; )(iny,i lyxnn1lm则 收敛，且 .nyx lnnn 1lili例5.1.2 5 设 为自然数 ,求下列各极限:p)(i1)2(3lmppnn)(i)(l2an解 设 则 单调递增，)(i ,15311pnppn yx ny且 y又因为 11)(2pnnyx)(!2)()(1pp)(121!2)()1( npnppp所以由 定理有 stolz 1)(3limppn2li1yxpnnn设 则由 知, 单调增,且)(i ,2nnayx，ny又因为 nnn ax12)1(21 16所以 nnnn ayx12lim1lim1
23、注意到 仍为 型 ,且满足 定理条件a2)(stolz0)1(2lim)12(12lili aannnn即 .0lim1nnyx故 .0lili12nnnyxa注: 本题个小题均为 型,通过恰当引入 应用 定理将问题转化为求)(i ,stolz的极限,各题中,为求出 的极限,均用到二项展开式.nyx1 nyx1由本题可见,为应用 定理,引进 后,应检验其是否满足定理条件，)(i stolzn并求极限 ,只有在确定此极限存在(包括为 时)方可用定理,若nnyx1lim不存在,不能推出 不存在,只能证明不能用此定理.nnyx1li nyxlim由第二小题可见,在同一题目中,只要定理条件满足 , 定
24、理可以连续使)(i stolz用.并由此题,结合数学归纳法,立即可得 其中 为任意给定的自然，0linkaka,1数.例5.1.3 2 设 ,试证: 存在时,)(lim1nnAnAnn21lim.limli21Ann 证明 因为 ，因此只须证明第一项趋于0，nnn 11)(为了利用 ，特令 ,0li1nA 1121, nnAaAa17则可知 ,且 0limna 12211 )()()( AAAnnn aa于是由 公式有，stolz)(i21nnAAnn )()(lim212111 aaaa nnn （应用 公式）nnn (2li3 stolz0)1(li)1(li nnn aa使用施笃兹公式可
25、解决一类比较复杂的数列极限,然而有些更显复杂的数列,也不满足已有的条件,这时就得另寻他法,我们注意到有时所求数列极限跟数项级数有一定的转化关系,于是我们就可以考虑是否可转化为级数类而求之?下面的例子就说明可以转化为级数的形式.5.2 级数性质法例 5.2.17 求极限 nn!2lim解 构造级数 用达朗贝尔判别法，,!n有 .12)(lim!2)1(2lim ennnn从而级数 收敛，,!n由收敛级数的必要条件知 .0!2limnn类似于利用级数性质法求数列极限,定积分作为数学分析学重要课程之一,巧妙利用定积分性质对求数列极限也会有很多帮助.185.3 定积分定义法定理5.3.1 7 若函数
26、为区间 上的连续函数，则利用定积分求极限)x(fb,a的基本形式为 bani dxfnif .)()(lm1例5.3.2 2 求极限 （中山大学 2010年）nn)12()(li解(积分法) 因为 n)()(1n n)1()(nnne)1l()1l()01l( 而 是 在 上的特殊积分和，n)l()1l()0ln( )1l(x,0又 dxdxdx )1(2ln)l()(l 10010 l)l(2ln12ln0 10xx原式 eeennnn 412ln)1l()1l()l(lim 解(级数法） 设 若 则,0nx,li1lxn.imlxn记 ,)2()(nn19则 nnnx )12()()1()
27、2(1 ，（ enn41)1(2故 .lim)(limnn xn例5.3.3 8 求极限 )1(si2sin(i1lin 解 )1(si2si(i1limnnini1sli.2si10x例5.3.4 4 求极限 （华南师大1997年）.1lim03dxnn解 因为 )(010013 nxn所以 1li03dxnn以上各种方法都很简便,各种变化都很有自己的规律性,实际上,以上这些方法的使用都少不了一些变化,以下的错位法和拆分法就是最常见的变化方法.5.4 错位法与拆分法例5.4.1 3 求极限 ).21231(limnn 解 ).231(li nn20 )21321(-)231(limnnn n
28、nnn 35li 1212 nnnn 2313li 112 nnn 22lim n1n1nn2)(1li nnn43limnn 21li .3limli3li nnnn例5.4.2 3 求极限 （华南师大).1ln()1l()21l(i 22n 1996）解 因为 ，nn1ll)1l(2于是 )l()3l()l( 222 )1ln3l1(n)l4ln （ 2ll12l 21故 原式 2lnl1lnim结语 本文就数列极限的几种求法进行了初步探讨,从上文可以看出要想求出一些数列的极限,而在题目中没有明显指出极限存在的条件下我们需要先判别数列的存在进而求之,在文中已经介绍了几种判别法,在求解的过程
29、中,先从已知出发跟哪种方法形式比较相近,在使用上面介绍的方法进行求解,这个过程往往并不是一个过程就可以解决的,通常需要几种方法的结合!例如数学归纳法,同时往往一道题也并非就只有一种求解方法,例4.1.3与例5.3.2等就可以使用多种方法进行求找数列极限.必须注意,以上很多实例都相对比较简单,事实上很多关于数列极限的问题都会结合函数极限以及其他问题,因此解决此类问题还需要多加联系加以巩固.22参考文献1 华东师范大学数学系编.数学分析上下册第三版M.北京:高等教育出版社,2009:28-34;2009:52-61.2 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京:高等教育出版社,2006（2）：5
30、7-62.3 张天德,韩振来.数学分析同步辅导及习题精解M.天津:天津科学技术出版社,2009(1):64-70.4 叶国菊,赵大方.数学分析学习与考研指导M.北京:清华大学出版社,2009(1):7-19.5 李惜雯.数学分析要点与解题M.陕西西安:西安交通大学出版社,2006(3):35-38.6 李学志,陶有德,敖涌.数学分析选讲M.北京:国防工业出版社,20101:16-18.7 可向东.数学分析的概念与方法M.上海:上海科学技术文献出版社,19881:121-189.8 孙涛.数学分析经典习题解析M.北京:高等教育出版社,20042:1-2.9 魏立明.一类数列极限求法的研究J.广西
31、贺州.梧州师范高等专科学校,2004(11):75-77.10 顾庆贺.证明数列极限存在的六种方法J.河北:邢台师范高专学报,1998(02):3-4.11 Hewitt E,Stromberg K R.Real and Abstact analysis-a-modern treament of the theory of functions of real variableM.New York:Springer,1994.23湛江师范学院本科生毕业设计（论文）开题报告论文题目 数列极限的几种求法学生姓名 梁德君 二级学院 数学与计算科学学院 开题日期2012 年 12 月20 日学 号 20
32、09224501 专 业 数学与计算科学学院 指导教师 邱建军 讲师1.本课题研究意义及国内外发展状况：数列极限是极限论的重要组成部分，而极限论是数学分析学的基础。同时极限论不仅在复变函数、实变函数、常微分方程、泛函分析等数学领域里应用广泛，而且在计算机技术、科学研究、工程技术等方面应用也日益广泛。虽然国内外学者对数列极限的性质、存在的判别、求法解法的研究已经相当系统、成熟，然而对于初学者而言，这部分知识他们并不容易接受，尤其是对数列极限的定义、数列极限存在判别方法的使用、数列极限的不同求法对不同题型的应用等。因此通过比较研究，实例对比总结结论以求获得对知识更深的理解就显得极其重要。2.研究内
33、容：1、数列极限的定义；2、数列极限存在的几种判别方法；3、利用函数性质求数列极限法；244、其他几种常见的求数列极限的方法。3.研究方法、手段和研究进度：（1）方法：资料查询、搜集法、归纳总结法、比较证明法、实例验证法（2）手段：图书馆资料搜集、网上资料查阅（3）研究进度：1、2012 年 12 月-2013 年 1 月图书馆和上网查询相关资料，选择研究方向及确定论文题目；2、2013 年 1 月-2013 年 3 月查阅相关资料，预定论文提纲在老师的指导下完成论文初稿：3、2013 年 3 月-2013 年 4 月根据指导老师的修改意见对论文进行修改并上交第二稿；4、2013 年 4 月-
34、2013 年 5 月按第二稿修改意见和论文撰写规范要求完成并上交论文定稿。 学生（签名）：梁德君4.参考文献：1 华东师范大学数学系编.数学分析上下册第三版M.北京：高等教育出版社，2009:28-34；2009:52-61.2 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法M.北京：高等教育出版社，2006（2）：57-62.253 张天德，韩振来.数学分析同步辅导及习题精解M.天津：天津科学技术出版社，2009(1):64-70.4 叶国菊，赵大方.数学分析学习与考研指导M.北京：清华大学出版社，2009(1):7-19.5 李惜雯.数学分析要点与解题M.陕西西安：西安交通大学出版社，2006(3):
35、35-38.6 李学志，陶有德，敖涌.数学分析选讲M.北京：国防工业出版社，20101:16-18.7 可向东.数学分析的概念与方法M.上海：上海科学技术文献出版社，1988（1）:121-189.8 孙涛.数学分析经典习题解析M.北京：高等教育出版社，20042:1-2.9 魏立明.一类数列极限求法的研究J.广西贺州.梧州师范高等专科学校，2004(11):75-77.10 顾庆贺.证明数列极限存在的六种方法J.河北：邢台师范高专学报，1998(02)：3-4.11 Hewitt E, Stromberg K R.Real and Abstact analysisamodern treame
36、nt of the theory of functions of real variableM.New York:Springer,1994.5.指导教师意见：指导教师（签名）：年 月 日5.二级学院意见：二级学院（盖章） 26年 月 日说明：开题报告应在教师指导下由学生独立撰写。在毕业论文（设计）开始二周内完成，交指导教师审阅，并接受二级学院和学校检查。湛江师范学院本科生毕业设计（论文）答辩记录论文题目 数列极限的几种求法学生姓名 梁德君 学 号 2009224501 答辩时间 2013 年 5 月 19 日二级学院 数学与计算科学学院 专业 数学与应用数学答辩记录问：数列极限的定义是什么？答：设 为数列， 为实数，若对任给的正数 ，总存在正整数 ，使na，N得当 时有 ，则称 数列收敛于 ，实数 称为数列 的N,na，ana极限，并记作 或 .limn()n问：什么叫柯西收敛准则？答：数列 收敛的充分必要条件是任给 ，存在 ，使得当na，0，)(N时，都有 成立。这就是柯西收敛准则。Nn， nma问：海涅定理讲的是什么？答：海涅定理讲的是 的充分条件是：对于任意满足条件Axf)(li0，且 的数列 有,lim0xn,21n,nx.)(limAxfn
