1、数学物理方法,李晓红 西南科技大学理学院2019/4/25,Mathematical physics,Maths,Physics,什么是数学物理学？,The curvature of spacetime around the source of the gravitational force,Mathematical physics,Application of mathematics to problems in physics Development of mathematical methods suitable for such applications Formulation of
2、physical theories,数学物理主要分支,数学物理,偏微分方程 1750s1930s,力学 热力学 电磁学,泛函分析,原子物理 量子力学,群论 拓扑,相对论 量子场论,遍历论 概率论,统计 物理,绪论,什么是数学物理方法？ Methods of mathematical physics,物理问题,数学问题,？,？,解,解的物理意义,本课程主要内容,数学物理方法,复变函数,数学物理方程,复变函数微积分 复变函数级数 Laplace，Fourier变换,三大方程建立及求解 波动-双曲 输运-抛物 Laplace-椭圆,二阶线性偏微分方程,预备知识,参考书目,数学物理方法，胡嗣柱、倪光炯
3、 （复旦大学） 数学物理方法，梁昆淼 （南京大学） 数学物理方法，吴崇试 （北京大学）,Bibliography,Methods of Modern Mathematical Physics, Michael Reed and Barry Simon I: Functional Analysis, Volume 1 II: Fourier Analysis, Self-Adjointness , Volume 2 ,学习方法,课程特点： 难度大；内容繁杂 学习建议： 多总结，多练习，多应用,课程考核,平时出勤 10% 作业 20% 期末考试 70%,第一篇 复变函数论,第一章 复数与复变函数,
4、第一节 复数及运算 第二节 区域与边界 第三节 初等复变函数 第四节 复变函数的多值性,第一节 复数及运算,复数的概念,复数相等,复数,形如z=x+iy的数被称为复数，其中x , yR。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1,z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1,复数相等,复平面,复数与平面向量一一对应,模,幅角,复数不能比较大小,P,复数的三种表示,代数表示： z=x+iy,三角表示： z=r(cos+isin),指数表示： z=rexp(i),注意,在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差2k,零点与无穷远点
5、,(1)复数零的幅角无意义，模为0.(2)无穷远点的模为，幅角没有意义.,无穷远点,复球面,复数的运算,设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数,复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则,乘法及乘方运算,两个复数相乘等于它们的模相乘，幅角相加,除法运算,两个复数相除等于它们的模相除，幅角相减,根式运算,对,共轭运算,复数z=x+iy的共轭复数为z*=x-iy,共轭复数为z*是复数z关于实轴的对称点,无穷远点实部、虚部、辐角无意义，模等于：,它和有限复数的基本运算为：,这些运算无意义：,无穷远点运算,课堂练习,答案,答案,答案,小结,复数的基本概念 复数的表示 无穷远点 复数的基本
6、运算,第二节 区域与边界,区域的概念,邻域,平面上以z0为中心，为半径的圆的内部的点所组成的集合，称为z0的 -邻域,|z-z0|,0|z-z0|,开集,设G为一平面点集，z0为G中任意一点，如果存在z0的一个邻域，使该邻域的所有点都属于G，那么称z0为G的内点。如果G内的每一个点都是它的内点，那么称G为开集。,区域,平面点集D称为一个区域，如果它满足下列两个条件：1. D是开集；2. D是连通的。,边界,设D为复平面上的一个区域，如果点 p不属于D，但是在 p的任何邻域内都包含有D中的点，这样的点 p称为D的边界点。D的边界点之全体称为D的边界，一般用D来表示。边界有正负方向之分。,闭区域,
7、区域D连同它的边界D一起构成闭区域，记为,1,单连通域与多连通域,设B为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于B ，则称B为单连通区域，否则称为多连通区域。,单连通域,多连通域,举例,用复数表示的平面点集,小结,领域，开集，区域，边界，闭区域 单连通域与多连通域,第三节 初等复变函数,复变函数之定义,设G是一个复数z=x+iy的集合。如果有一个确定的法则存在，按照这一法则，对于集合G中的每一个复数z，有一个或多个复数=u+iv与之对应，那么称复变数是复变数z的函数，或复变函数，记为=f(z)。,说明1,如果z的一个值对应着的唯一一个值，那么我
8、们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着多个的值，那么我们称f(z)是多值函数。,复变函数=f(z)可以写成=u(x,y)+iv(x,y)，其中是z=x+iy,z平面,平面,=iz=zexp(i/2),复变函数举例基本初等函数,指数函数,性质,举例,求z平面上带形区域-Rez+, 0Imz经 =ez 变换后在平面上的图形。,注意,复数指数函数与实数指数函数的比较,?如何由指数函数定义对数函数,对数函数,性质1,性质2,恒等式,下列式子不成立,举例,计算Ln2， Ln(-1) ，Ln(-i)，Ln(1+i),三角函数,性质,周期性,恒等式,非有界函数,注意 当我们讨论的范围是复变函数范畴内时，
9、 |sinz|和|cosz|完全可以大于1。原因是：,举例,求解sinz=0的全部根,注意周期性,2.求解sinz=2的全部根,只需加号!,反三角函数,只需加号!,幂函数,思考,如何取值可使幂函数成为单值，有限多值及无穷多值函数？,根式函数,对,双曲函数,性质,1. 以2i为周期,2. 与正弦函数、余弦函数的关系,3. 恒等式,反双曲函数,课堂练习,计算：,答案,答案,或:,答案,小结,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数,幂函数,根式函数,第四节 复变函数的多值性,举例1,多值性,来源于复数复角的不确定性。,支点,对于某一多值函数w而言，若自变量z在复平面上沿包围点a的任意闭合曲线环绕一
10、周回到原处时，对应的函数值w发生了改变，则a称为多值函数的支点。,阶数,当z绕支点n周回到原处，多值函数恢复原值，则说支点是n-1阶。阶数有限的支点叫代数支点，阶数无穷的支点叫超越支点。,性质,多值函数的支点必是奇点。,单值分支,单叶区域,扩大定义域,Riemann面,举例2,设 ，规定(2)=1, 讨论z沿C1或C2连续变化到原点时，函数(0)的值。,当z沿C1移动到z=0时，arg(z-1)|z=0=,当z沿C2移动到z=0时，arg(z-1)|z=0 =-,对数函数,性质1,Riemann面,意义,多值函数在它的Riemann面是唯一确定的。 多值函数在其Riemann面上可引入导数的概念。,1.1节作业,1.2节作业,1.3 节作业,1.4 节作业,
